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1、《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = α$ ， $∠ B A C = β$ ，点 $D$ 在过点 $A$ 的直线 $m$ 上运动，连接 $B D$ ，在 $B D$ 右侧作 $△ D B E$ ，使得 $△ A B C ∽ △ D B E$ ．

(1)、如图1，连接 $C E$ ，求证： $△ A B D ∽ △ C B E$ ；

(2)、当 $m ∥ B C$ ， $β = 90 °$ 时，连接 $C D$ ；
$i)$ 若 $α = 45 °$ 时， $B D$ 交线段 $A C$ 于点 $F$ ，如图2，当 $C D = C F$ 时，求 $∠ C D F$ 的度数：
$i i)$ 当 $α = 60 °$ 时，射线 $B E$ 交 $m$ 于点 $N$ ，当 $C D$ 的中点 $O$ 落在 $B E$ 上时，连接 $A E$ ，求 $\tan ∠ E A N$ 的值．

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3、如图1，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线： $y = a x^{2} + b x + 6$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $B$ 在点 $A$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $B C$ ，作直线 $A C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(6, 0)$ 且 $S_{△ A B C} = 24$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、若点 $P$ 在抛物线第一象限图象上，线段 $E F$ （点 $F$ 在点 $E$ 的左侧）是直线 $A C$ 上一段长度为2的动线段， $y$ 轴上一点 $Q (0, 2)$ ，连接 $Q E$ ， $Q F$ ， $P E$ ， $P F$ ，若四边形 $Q E P F$ 为平行四边形，求 $E$ 点的横坐标；

(3)、一次函数： $y = k x - 5 k + \frac{3}{2}$ （ $k \neq 0$ ）图象交二次函数于 $M$ ， $N$ 两点，抛物线上是否存在定点 $L$ ，连接 $L M$ ， $L N$ ，当点 $L$ 与点 $M$ ， $N$ 不重合时，总有 $∠ M L N = 90 °$ ，若存在，求定点 $L$ 的坐标，若不存在，请说明理由．

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4、2025年甲乙两家车商分别推出了 $M$ 型和 $L$ 型家用电车，已知一辆 $M$ 型家用电车比一辆 $L$ 型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆 $M$ 型家用电车和3辆 $L$ 型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用）

(1)、求 $M$ 型家用电车和 $L$ 型家用电车落地单价分别是多少万元？

(2)、为扩大市场占有率，甲车商决定对 $M$ 型家用电车降价 $m$ 万元，乙车商也决定对 $L$ 型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论：
①乙车商对 $L$ 型家用电车降价的金额是甲车商对 $M$ 型家用电车降价金额的一半；
②为保证 $M$ 型家用电车在消费者心目中的高端定位， $M$ 型家用电车落地单价不得低于 $L$ 型家用电车落地单价的 $120 %$ ；
为保证 $M$ 型家用电车的高端定位，求 $m$ 的最大值．

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5、已知一次函数： $y_{1} = a x + a$ ，二次函数： $y_{2} = a x^{2} + (2 + 4 a) x + 2 + 3 a$ ，当 $- 3 < x < - 1$ 时， $y_{1} > y_{2}$ 恒成立，则 $a$ 的取值范围是．

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6、问题情境：玩家在电脑上玩猜数字游戏，游戏规则是：从1到 $n$ 的自然数中猜数字，当玩家输入程序的数字正确的时候，电脑会恭喜玩家回答正确；当玩家输入的数字错误的时候，电脑会提示玩家正确的答案比输入的数字大或则小并继续游戏．
解决策略：小聪借助“二分法”原理，先将从1到 $n$ 的自然数由小到大排列，选取最中间的数或尽量靠中间的数将 $n$ 个数分成两部分，根据电脑提示逐步缩小范围，直至猜中数字．例如：
①当 $n = 3$ 时，小聪先输入中间的数字“2”，如果答案错误系统会提示正确答案与输入数字的大小关系，即再输入1次可一定正确，所以 $n = 3$ 时输入2次一定能猜中数字：
②当 $n = 5$ 时，小聪先输入中间的数字“3”，如果错误并提示正确答案比“3”小，再输入“2”，如果错误再输入“1”则一定正确；所以 $n = 5$ 时输入3次一定能猜中数字：
③当 $n = 8$ 时，小聪先输入尽量靠中间的数字“4”，如果正确答案比“4”大，再输入“7”，如果错误并提示正确答案比“7”小，再输入“6”，如果错误并提示正确答案比“6”小，再输入“5”则一定正确；所以当 $n = 8$ 时输入4次一定能猜中数字．
问题解决：借助“二分法”的原理，当 $n = 16$ 时，最少输入次可一定正确；当最少输入8次才能保证一定正确时，则 $n$ 的最大值为．

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 7$ ， $A D = 4$ ，点 $E$ 是线段 $A B$ 上的动点，点 $F$ 是线段 $D C$ 延长线上的动点，连接 $E F$ ，将四边形 $A D F E$ 沿 $E F$ 所在直线翻折，若 $D F$ 的中点落在点 $B$ 处，则线段 $D F$ 的长度是．

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8、若 $a$ ， $b$ 是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个不相等的实数根，则 $(\frac{b}{a} + \frac{a}{b} + 2) \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a - b}$ 的值为．

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9、如图， $△ A B C ≌ △ A^{'} B C^{'}$ ， $∠ A = 70 °$ ，点 $A^{'}$ 在 $A C$ 边上，则 $∠ A B A^{'}$ 的度数为．

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数： $y_{1} = m x + b (m > 0)$ 的图象与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与反比例函数： $y_{2} = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象交于 $A (2, y_{A})$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），过 $A C$ 的中点 $D$ 作线段 $A C$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $E$ ，交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $A F$ ， $A E$ ， $B E$ ．

(1)、如图1，当 $b = 4$ ，点 $D$ 的坐标为 $(1, 5)$ 时，求反比例函数的表达式和 $B$ 点坐标：

(2)、如图2，当 $b = 0$ ，连接 $B F$ 时， $S_{△ A B F} = 5$ ，求 $m$ 的值；

(3)、当 $m = 2$ 时，若 $△ A F D ∽ △ B E D$ ，求 $b$ 的值．

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11、如图， $A B$ ， $C D$ 是⊙ $O$ 的直径，连接 $D B$ ， $B C$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ A B$ 于点 $P$ ， $C E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，交⊙ $O$ 于另一点 $E$ ，过点 $C$ 作⊙ $O$ 的切线交 $D B$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求证： $C G = C F$ ；

(2)、求证： $△ F B C ∽ △ C B D$ ；

(3)、若 $\frac{C F}{C O} = \frac{3}{2}$ ， $D F = \frac{14}{5}$ ，求⊙ $O$ 的半径．

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12、数学兴趣小组的成员小王在观察点 $A$ 测得观察点 $B$ 在 $A$ 的正北方向，成员小刘在观察点 $B$ 测得观察点 $C$ 在 $B$ 的北偏西 $41 °$ 的方向上， $B C$ 距离为130米，成员小红在观察点 $C$ 测得观察点 $A$ 在 $C$ 的南偏东 $26.5 °$ 的方向上，求观测点 $A$ ， $B$ 之间的距离．（结果精确到 $1$ 米，参考数据： $\sin 26.5 ° \approx 0.45$ ， $\cos 26.5 ° \approx 0.89$ ， $\tan 26.5 ° \approx 0.50$ ， $\sin 41 ° \approx 0.66$ ， $\cos 41 ° \approx 0.75$ ， $\tan 41 ° \approx 0.87$ ）

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13、某学校准备组织学生进行周末游湖研学活动，有沧浪湖、北湖、锦城湖、青龙湖4个目的地选择，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个目的地），小强根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：

(1)、本次抽样调查的总人数为______，请将条形统计图补充完整．

(2)、扇形统计图中“青龙湖”对应的圆心角为______°，若该学校共有学生1200名，请估计参加“沧浪湖游湖研学”的学生有多少人？

(3)、研学活动有文艺类的 $A$ ：“现场绘画”， $B$ ：“情境写作”和实践类的 $C$ ：“水质调研”， $D$ ：“植被调研”共4项活动，为平衡活动方案，以班级为单位随机选择2种活动参加，请用画树状图或列表法求出某班级刚好抽到一个文艺类活动和一个实践类活动的概率．

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14、（1）计算： $3 \tan 30 ° - \sqrt{25} + |\sqrt{3} - 3| - {(2025 - π)}^{0}$ ；
（2）解不等式组： $\{\begin{array}{l} 3 x - 1 > - 4 ① \\ \frac{x + 3}{2} - 2 \leq \frac{x}{6} ② \end{array}$ ．

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15、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 分别交 $x$ 轴， $y$ 轴于点 $A$ ， $B$ ，点 $P$ 是直线 $A B$ 上一动点，连接 $O P$ ，则线段 $O P$ 的最小值为．

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16、2025年中国迎来了诸多科技成果的爆发，人形机器人便是其中之一．据称，某前沿科技公司研发的人形机器人的交互反应的时间在 $0.00035$ 秒左右，将 $0.00035$ 用科学记数法表示为．

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17、如图，在扇形 $A O B$ 中， $O A = 4$ ， $∠ A O B = 150 °$ ，则扇形 $A O B$ 的面积为．

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18、分式方程： $\frac{2}{x + 3} = \frac{5}{x - 3}$ 的解为．

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19、若实数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足： $|x - 3| + \sqrt{y + 1} + {(z + 2)}^{2} = 0$ ，则 ${(x + y)}^{2}$ 的值为．

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20、在 $△ A B C$ 中， $A B < A C$ ，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以 $A B$ 的长为半径作弧，交 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ ；②以A为圆心，以 $B D$ 的长为半径作弧，以 $D$ 为圆心，以 $A B$ 的长为半径作弧，两弧在 $A C$ 右侧交于点 $E$ ；③连接 $A E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，下列结论错误的是（）

A、 $∠ B C A = ∠ E A F$ B、 $△ D B A ≌ △ A E D$ C、 $\frac{C D}{C B} = \frac{D F}{D E}$ D、 $C F = A F$

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