相关试卷

1、小明的解题过程如下，请指出首次出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
先化简，再求值： $\frac{2 a}{a^{2} - 4} - \frac{1}{a - 2}$ ，其中 $a = - 1$ ．
解：原式 $= \frac{2 a}{a^{2} - 4} \cdot (a^{2} - 4) - \frac{1}{a - 2} \cdot (a^{2} - 4) \dots ①$
$= 2 a - (a + 2) \dots$ ②
$= a - 2 \dots$ ③
当 $a = - 1$ 时．原式 $= - 3$

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2、下列图标中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、腾讯云 B、微云人工智能 C、天元人工智能 D、阿里云

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3、

(1)、特例感知：如图1，已知在Rt $△$ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；

(2)、探索发现：如图2，已知在Rt $△$ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；

(3)、类比迁移：如图3，已知在 $△$ ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．

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4、如图，在Rt $△$ ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．

(1)、如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；

(3)、点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 $\frac{C M}{A C}$ ＜ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，请直接写出 $\frac{N C}{P C}$ 的值（用含k的式子表示）．

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5、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

(1)、【探究发现】如图①，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC=∠ADC= $90^{o}$ .求证：AD+AB=AC；

(2)、【拓展迁移】如图②，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC+∠ADC= $180^{o}$ .
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD的面积。

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6、在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，求 $D E$ 的长．
解：如图2，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A C D^{'}$ ，连接 $E D^{'}$ ．
由旋转的特征得 $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ， $∠ B = ∠ A C D^{'}$ ， $A D = A D^{^{'}}$ ， $B D = C D^{'}$ ．
∵ $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ D A E = 45 °$ ，
∴ $∠ B A D + ∠ E A C = 45 °$ ．
∵ $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ，
∴ $∠ C A D^{'} + ∠ E A C = 45 °$ ，即 $∠ E A D^{'} = 45 °$ ．
∴ $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ．
在 $△ D A E$ 和 $△ D^{'} A E$ 中，
$A D = A D^{^{'}}$ ， $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ， $A E = A E$ ，
∴①▲ ．
∴ $D E = D^{^{'}} E$ ．
又∵ $∠ E C D^{'} = ∠ E C A + ∠ A C D^{'} = ∠ E C A + ∠ B = 90 °$ ，
∴在 $R t △ E C D^{'}$ 中，②▲ ．
∵ $C D^{'} = B D = 3$ ， $C E = 4$ ，
∴ $D E = D^{'} E =$ ③▲ ．

(1)、【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．

(2)、【知识迁移】
如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上，满足 $△ C E F$ 的周长等于正方形 $A B C D$ 的周长的一半，连结 $A E 、 A F$ ，分别与对角线 $B D$ 交于M、N两点．探究 $B M 、 M N 、 D N$ 的数量关系并证明．

(3)、【拓展应用】
如图4，在矩形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上，且 $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ ．探究 $B E 、 E F 、 D F$ 的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．

(4)、【问题再探】
如图5，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点D、E在边 $A C$ 上，且 $∠ D B E = 45 °$ ．设 $A D = x$ ， $C E = y$ ，求y与x的函数关系式．

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7、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 是锐角， $E$ 是 $B C$ 边上的动点，将射线 $A E$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、当 $A E ⊥ B C$ ， $∠ E A F = ∠ A B C$ 时，
①求证： $A E = A F$ ；
②连结 $B D$ ， $E F$ ，若 $\frac{E F}{B D} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{菱形 A B C D}}$ 的值；

(2)、当 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ 时，延长 $B C$ 交射线 $A F$ 于点 $M$ ，延长 $D C$ 交射线 $A E$ 于点 $N$ ，连结 $A C$ ， $M N$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，则当 $C E$ 为何值时， $Δ A M N$ 是等腰三角形.

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8、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．

(1)、当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；

(2)、在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中 $△$ BDF的面积最大值；

(3)、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．

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9、综合与实践：已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ．

(1)、特殊情形：如图1，当 $D E$ // $B C$ 时， $D B$ $E C$ ．（填“＞”“＜”或“＝”）；

(2)、发现结论：若将图1中的 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

(3)、拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点 $P$ 是等腰直角三角形 $A B C$ 内一点， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $B P = 1$ ， $A P = 2$ ， $C P = 3$ ，求 $∠ B P A$ 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将 $△ B A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转90°得到 $△ C A E$ ，连接 $P E$ ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出 $∠ B P A$ 的度数．

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10、如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．

(1)、如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；

(2)、将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH= $\sqrt{2}$ CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

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11、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 5 = 0$ 的两实数根．

(1)、求 $m$ 的取值范围．

(2)、若 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 39$ ，求 $m$ 的值．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $B A = B C, O$ 是AC上的中点，延长BO至点 $D$ ，使得 $O B = O D, D E ⊥ B C$ 于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形．

(2)、若 $C D = 5, D E = 4$ ，求BD的长．

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13、某学校组织龙灯制作活动，每班精选一项进行年级评选，校学生会组织对同学的作品按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．对每个班的成绩进行整理，并绘制统计表．已知八年级各班成绩只有一个众数为9分，且a、b均为正整数．
八年级10个班成绩统计表
成绩／分
6
7
8
9
10
班级个数
1
3
a
b
1
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、 $a =$ ▲ ， $b =$ ▲ ；

(2)、八年级成绩的中位数为 ▲ 分；

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14、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ ；

(2)、 $(x - 2)^{2} = 4 x - 8$ ．

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15、计算：

(1)、 $3 \sqrt{3} - \sqrt{12}$ ；

(2)、 $(\sqrt{2} - 1)^{0} + \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$ ．

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16、如图，正方形ABCD中， $A B = 6$ ，点 $E$ 在边CD上，且 $C D = 3 D E$ ．将 $△ A D E$ 沿AE对折至 $△ A F E$ ，延长EF交边BC于点 $G$ ，连接AG、CF ．则下列结论：① $△ A B G ≅ △ A F G$ ；② $B G = C G$ ；③ $A G / / C F$ ；④ $S_{△ E G C} = S_{△ A F E}$ ；⑤ $∠ A G B + ∠ A E D = 14 5^{°}$ ，其中正确的序号是．

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17、如图，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD ，则四边形ABCD面积的最大值是．

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18、随着小英同学的不断努力，她的数学成绩在近两次考试中呈现出逐次递增的趋势。已知小英同学2月份的考试成绩为64分，而到了4月份，她的考试成绩提升至107分。若设小英同学这两次考试的平均增长率为 $x$ ，则根据题意，可列方程为：．

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19、如图所示，在梯形ABCD中， $A D / / B C, ∠ B = 7 0^{°}, ∠ C = 4 0^{°}$ ，若 $A D = 3, B C = 10$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交BC于点 $E$ ，则CD的长是.

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20、已知 $m$ 是一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的一个根，则 $m^{2} - 2 m =$ ．

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成绩／分	6	7	8	9	10
班级个数	1	3	a	b	1