相关试卷

1、如图
图1 图2 备用图

(1)、【问题发现】
如图1，在等腰直角 $△ A B C$ 中，点D是斜边 $B C$ 上任意一点，在 $A D$ 的右侧作等腰直角 $△ A D E$ ，使 $∠ D A E = 90 °$ ， $A D = A E$ ，连接 $C E$ ，则 $∠ A B C$ 和 $∠ A C E$ 的数量关系为；

(2)、【拓展延伸】
如图2，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点D是 $B C$ 边上任意一点（不与点B ， C重合），在 $A D$ 的右侧作等腰 $△ A D E$ ，使 $A D = D E .$ ， $∠ A B C = ∠ A D E$ ，连接 $C E$ ，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)、【归纳应用】
在（2）的条件下，若 $A B = B C = 6$ ， $A C = 4$ ，点D是射线 $B C$ 上任意一点，请直接写出当 $C D = 3$ 时 $C E$ 的长.

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2、【发现问题】
在2024年巴黎奥运会跳水女子双人10米跳台决赛中，中国选手陈芋汐和全红婵夺得金牌，跳水梦之队实现该项目七连冠.两位选手如同复制粘贴般上演“水花消失术”，令人叹为观止.我们把运动员从跳台上起跳、腾空到入水，近似看成是一条漂亮的抛物线.
【提出问题】
在如图所示的平面直角坐标系中，如果将运动员从点 $A$ 处起跳后的运动路线看作是抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她运动的竖直高度 $y$ （单位： $m$ ）与水平距离 $x$ （单位： $m$ ）之间有怎样的函数关系.

(1)、【分析问题】
小美完成一次试跳，记录仪记录了她运动时的竖直高度 $y$ 水平距离 $x$ 的几组数据如下：
水平距离 $x$ （ $m$ ）
3
3.6
4.2
4.8
5.2
竖直高度 $y$ （ $m$ ）
10
$11 \frac{1}{2}$
10
$5 \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6}$
请把上表中 $x$ ， $y$ 的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点，画出小美运动的抛物线草图，并求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

(2)、【解决问题】
双人10米跳台要求两位运动员同步完成动作.从数学的角度分析，至少要满足竖直距离的最大值及入水时入水点距跳台的水平距离分别相等.小美和小丽完成了一次双人10米跳台训练，小美的数据如上表中所示，小丽的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足函数关系 $y = - 5 x^{2} + 35 x - 50$ .
①用 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 分别表示小美，小丽在空中最高点的竖直距离，则 $k_{1}$ $k_{2}$ （填“＞”“＜”或“＝”）；
②在距水面高5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则容易失误.小美和小丽在空中调整好入水姿势时，水平距离恰好都是 $4 \frac{3}{5}$ 米，她们本次训练是否会失误，请通过计算说明理由.

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3、如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $C F$ .
图1 图2

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形.

(2)、如图②，连接 $C E$ ，若 $∠ F C B = 90 °$ ， $C E = 5$ ，求 $A B$ 的长.

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4、初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：

(1)、扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为 ▲ 度，并将条形统计图补充完整.

(2)、我校初三年级共有1200名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人.

(3)、此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率.

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5、

(1)、计算： $\sqrt{2} s i n 45 ° + t a n 60 ° - 2 c o s 30 ° t a n 30 ° + {(π - 3)}^{0}$

(2)、先化简再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 4 x + 4}$ ，其中 $x = {(\frac{1}{3})}^{- 1} + t a n 45 °$ .

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6、 $c o s 57 °$ $s i n 53 °$ （选填“＞”或“＝”或“＜”）.

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7、如图： $△ A B C$ 是边长为6的等边三角形， $P$ 是 $A C$ 边上一动点．由点 $A$ 向点 $C$ 运动（ $P$ 与点 $A 、 C$ 不重合），点 $Q$ 同时以点 $P$ 相同的速度，由点 $B$ 向 $C B$ 延长线方向运动（点 $Q$ 不与点 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $P E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，连接 $P Q$ 交 $A B$ 于点 $D$ ．

(1)、若设 $A P$ 的长为 $x$ ，则 $P C =$ ， $Q C =$ ．

(2)、当 $∠ B Q D = 30 °$ 时，求 $B D$ 的长．

(3)、点 $P ， Q$ 在运动过程中，线段 $E D$ 的长是否发生变化？如果不变，求出线段 $E D$ 的长；如果变化，请说明理由．

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8、如图， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中，其中 $A ， B ， C$ 的坐标分别为 $A (- 2, 1) ， B (- 4, 5) ， C (- 5, 2)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中，点 $A 、 B 、 C$ 的对应点分别为 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ （不要求写作法）；

(2)、写出点 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ 的坐标；

(3)、在x轴上找一点 $P$ ，当 $P A + P C$ 的值最小时，求 $△ P A C$ 的面积．

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9、如图，在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $D E ⊥ A B ， D F ⊥ A C$ ，求证： $B E = C F$ ．

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10、已知：如图， $B C // E F$ ， $B C = E F$ ， $A F = D C$ ，求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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11、如图，在平面直角坐标系中，三角形 $A_{1} A_{2} A_{3}$ ，三角形 $A_{3} A_{4} A_{5}$ ，三角形 $A_{5} A_{6} A_{7}$ ， …，是斜边在 $x$ 轴上，斜边长分别为 $2, 4, 6 \dots$ 的等腰直角三角形．若三角形 $A_{1} A_{2} A_{3}$ 的顶点坐标分别为 $A_{1} (2, 0) ， A_{2} (1, - 1) ， A_{3} (0, 0)$ ，则依图中所示规律， $A_{2025}$ 的坐标为（）

A、 $(- 1012, 0)$ B、 $(2, 1012)$ C、 $(1, - 1013)$ D、 $(1014, 0)$

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12、下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）

A、两个底边相等等腰三角形 B、斜边相等的两个直角三角形 C、两个等边三角形 D、有一个角是 $100 °$ ，腰长相等的两个等腰三角形

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13、如图用直尺和圆规作一个角的角平分线，能得出 $∠ A O P = ∠ B O P$ 的依据是（）

A、 $SSS$ B、 $SAS$ C、 $ASA$ D、 $AAS$

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14、点 $M (1, 2)$ 关于x轴对称点的坐标为（）

A、 $(1, + 2)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(1, - 2)$

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15、如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形。如图1，在四边形ABCD中，若 $∠ A D C = ∠ A B C$ ，且 $B D ⊥ A D$ ，则四边形ABCD为等垂四边形。

(1)、如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂四边形， $∠ D A B = ∠ D C B, A C ⊥ B C$ 。①在图2中，若 $∠ B = 3 0^{°}, ∠ A C D = 4 0^{°}$ ，则 $∠ D$ 的度数为 ▲ $^{°}$ ；
②在图3中，若 $C D / / A B, C M, A N$ 分别平分 $∠ A C D, ∠ C A B$ ，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由。

(2)、如图4，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ C = 5 0^{°}, ∠ A = α$ ，且 $α < 5 0^{°}, D$ 是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出 $∠ D$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）。

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16、数学活动课上，学习小组开展“剪拼正方形”实践活动，过程要求无损耗、无
重叠。

(1)、【初步尝试】如图1，长方形纸片ABCD可看作由2个全等的小正方形组成，E是AD的中点，沿着BE，CE剪2刀，得到3块图案，②，③，保持③不动，移动①，②，可以拼接成一个大正方形纸片BFCE。若AB=1，则BF=.

(2)、【深入实践】如图2，“十字形”纸片可看作由5个全等的小正方形组成，已知点A，
B在正方形网格的格点上，C，D是纸片边上的中点。沿着AB，CD将这个“十字形”纸片剪2刀，得到4块图案①，②，③，④，保持①不动，移动②，③，④，可以拼接成一个大正方形纸片。请在正方形网格中画出拼接后的大正方形，并标注对应的编号。

(3)、【拓展迁移】如图3，同学们从刘微设计的“青朱出入图”受到启发，将两个边长不等的正方形纸片ABCD，GCEF剪拼成一个大正方形纸片BOPG。P，M，N为剪痕与原正方形边的交点，已知AB=3，EN=1。
①HQ= ▲ ， HN= ▲ ；
②求正方形BOPG的边长。

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17、如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子在镜子上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点在镜子中的像与标记点C重合。经测量，小亮的眼睛离地面高度DE为1.6m，小亮与标记点C的距离CE为2m，标记点C与旗杆底部点B的距离BC为12m。

(1)、在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标。

(2)、在（1）的条件下，求直线AC的表达式及旗杆的高度。

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18、2024年国庆节深圳无人机表演火遍全网。某公司计划租用1000架无人机进行表演，已知A，B两种型号的无人机租金单价分别为300元和400元。

(1)、若该公司租用的A，B两种型号无人机数量相等，则需要的租金为元；

(2)、若该公司花费的租金为34万元，求租用A，B两种型号无人机各多少架?

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19、随着全民健康意识的增强，人们在选择定居地时越来越重视空气质量。AQI（空气质量指数）描述了空气清洁或者污染的程度，以及对健康的影响。小明爸爸打算从某城市的A，B，C三个区域中选择一个区域定居，为帮助爸爸作出最合适的选择，小明对这三个区域的空气质量情况进行了调查分析，过程如下：

(1)、【数据整理】
这三个区域中，区域的空气质量更稳定；（填A，B或C）

(2)、【数据分析】

A
B
C
平均数
72
105
72
中位数
72
a
55
众数
69
111
b
由上表填空：a= ， b=；

(3)、【判断决策】
你认为小明爸爸选择哪个区域定居较为合适，并说明理由。

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20、解方程组：

(1)、 ${\begin{array}{l} y = x - 4, \\ 3 x + y = 8; \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} x - 2 y = 4, \\ x + 2 y = 0 \end{array}$

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水平距离 $x$ （ $m$ ）	3	3.6	4.2	4.8	5.2
竖直高度 $y$ （ $m$ ）	10	$11 \frac{1}{2}$	10	$5 \frac{1}{2}$	$\frac{5}{6}$

	A	B	C
平均数	72	105	72
中位数	72	a	55
众数	69	111	b