相关试卷

1、如图，在 $2 \times 2$ 的正方形网格中，以格点为顶点的 $△ A B C$ 的面积等于 $\frac{3}{2}$ ，则 $\sin ∠ C A B$ 的值是．

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2、如图，小明在打网球时，球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为米．

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3、我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

(1)、下列四边形一定是勾股四边形的有；（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形

(2)、如图 $1$ ，将 $△ A B C$ 绕顶点 $B$ 按顺时针方向旋转 $60^{\circ}$ ，得到 $△ D B E$ ，连接 $A D$ 、 $D C$ 、 $C E$ ， $∠ D C B = 30^{\circ}$ ，请判断四边形 $B D C E$ 是否为勾股四边形，并说明理由；

(3)、如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $△ B C D$ 为等边三角形， $A B = 6$ ， $A D = 8$ ， $∠ D A B = 30^{\circ}$ ，求 $A C$ 的长．

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4、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 4 x + 5 (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (5, 0), C (- 1, 0)$ 两点，与y轴交于点B．

(1)、 $a =$ ；

(2)、若点P在抛物线上，且 $S_{△ A P C} = 6 S_{△ B O C}$ ，求点P的坐标；

(3)、若点M是直线上一动点（点M不与A、B重合），过点M作线段 $M N ∥ O B$ （点N在直线 $A B$ 下方），已知 $M N = 2$ ，若线段 $M N$ 与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围．

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5、匹克球是一项结合了羽毛球、乒乓球和网球的新兴运动，近年来吸引了大量参与者．某校数学小组开展以“匹克球飞行路线”为主题的综合实践活动．
【研究背景】研究匹克球飞行路线所在的平面与球网垂直时，匹克球飞行高度与它距发球点水平距离的关系．
【收集数据】某次匹克球飞行的高度 $y$ （单位： $m$ ）与它距发球点的水平距离 $x$ （单位： $m$ ）的对应值如表（不考虑空气阻力）．
水平距离 $x /m$
$0$
$2$
$3$
$5$
$6$
$\dots$
高度 $y /m$
$1$
$2.2$
$2.5$
$2.5$
$2.2$
$\dots$
【探索发现】数学小组建立平面直角坐标系、描点、连线（如图），发现匹克球飞行路线是抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 的一部分．
【建立模型及应用】

(1)、当 $x = 0$ 时， $y =$ ，这个值表示的实际意义是；

(2)、求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；

(3)、匹克球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到 $2.6 m$ ？请说明理由．

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6、已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ ．

(1)、求二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 图象的顶点坐标；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的图象：

(3)、当 $1 < x < 4$ 时，结合函数图象，直接写出 $y$ 的取值范围___________．

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7、为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某档案馆开展“抗战胜利80周年图片展”．该档案馆8月份的参观人数为10万人，10月份的参观人数增加到 $14.4$ 万人．求参观人数的月平均增长率．

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8、如图，已知 $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1, 1), B (4, 3), C (2, 4)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点O对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，直接写出点D的坐标．

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9、如图，在 $△ A O B$ 中， $∠ O A B = 90 °, O A = 8, A B = 6$ ，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转得到 $△ C O D$ ，求线段 $O D$ 的长．

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10、如图，已知二次函数 $y ＝ a x^{2} + b x + c$ （ $a \neq 0$ ）与 $x$ 轴的一个交点为 $（ 4 ， 0 ）$ ，其对称轴为直线 $x ＝ 1$ ，下列四个结论：① $a b c ＜ 0$ ， ② $b^{2} ﹣ 4 a c ＞ 0$ ；③ $3 a + c ＜ 0$ ；④直线 $y ＝ k x + 2 k$ 与该二次函数一定有交点．其中正确的结论有（写序号）．

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11、如图，将 $△ A O B$ 绕点O逆时针旋转 $60 °$ 后得到 $△ C O D$ ，若 $∠ A O B = 20 °$ ，则 $∠ A O D$ 的度数是．

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12、如图，将边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正方形 $A B C D$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $30 °$ 得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ， $C D$ 与 $A^{'} D^{'}$ 交于点 $M$ ，连接 $B M$ ，那么点 $M$ 的坐标为（　　）

A、 $(2 \sqrt{3}, 2)$ B、 $(2, 2 \sqrt{3})$ C、 $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{3}, 2 \sqrt{3})$

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13、已知 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (0, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 在二次函数 $y = x^{2} + 1$ 图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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14、围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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15、【教材呈现】

如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容

15.1.2线段的垂直平分线

轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质．

探究

如图，直线l垂直平分 $A B$ ，点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 在l上，分别比较点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？

可以发现， $P_{1} A = P_{1} B, P_{2} A = P_{2} B, P_{3} A = P_{3} B, \dots$ ，如果把线段 $A B$ 沿直线l对折，线段 $P_{1} A$ 与 $P_{1} B$ 、线段 $P_{2} A$ 与 $P_{2} B$ 、线段 $P_{3} A$ 与 $P_{3} B$ $\dots$ 都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质．

如图，直线 $l ⊥ A B$ ，垂足为C， $A C = B C$ ，点P在l上．

求证： $P A = P B$ ．

证明：当点P与点C不重合时， $\dots$

请你写出完整的证明过程．

（1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程．

【定理应用】

（2）如图①，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A E = 3$ ， $△ A B D$ 的周长为13，求 $△ A B C$ 的周长．

（3）如图②，在 $△ A B C$ 中， $A B, A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于点D，E，垂足分别为点M，N，已知 $△ A D E$ 的周长为15，则 $B C$ 的长为_______．

【拓展应用】

（4）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, A D ⊥ B C$ ， E、P分别是 $A B$ 、 $A D$ 上任意一点，当 $B C = 6, A D = 4$ 时，直接写出 $B P + P E$ 的最小值．

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16、现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ ．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为 $Ω$ ）

(1)、若 $R_{1} = 2 Ω, R_{2} = 3 Ω$ ，则 $R =$ _______ $Ω$ ．

(2)、若 $R = 2 Ω$ ， $R_{1}$ 的电阻值比 $R_{2}$ 的电阻值大 $3 Ω$ ，求 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的电阻值．

(3)、 $R =$ _______．（用含 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的式子表示）．

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17、如图， $△ A B C$ 是边长为 $3 c m$ 的等边三角形， $P$ ， $Q$ 两点分别从点 $A$ ， $B$ 同时出发，点 $P$ 以 $2 c m / s$ 的速度沿折线 $A C - C B$ 向终点 $B$ 匀速运动，点 $Q$ 以 $1 c m / s$ 的速度沿线段 $B A$ 向终点 $A$ 匀速运动．设点 $P$ 的运动时间为 $x s$ （ $x > 0$ ）．

(1)、当点 $P$ 在线段 $A C$ 上时， $A P =$ _______ $c m$ ， $A Q =$ _______ $c m$ ．（用含x的代数式表示）

(2)、当 $△ A P Q$ 为等边三角形时，求 $x$ 的值．

(3)、若 $△ B P Q$ 为等边三角形，则 $x$ 的值为_______．

(4)、当 $△ B P Q$ 为直角三角形时，直接写出 $x$ 的值．

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18、图①，图②，图③均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均为格点．
仅用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法：

(1)、在图①中，画出以线段 $A B$ 为腰的等腰锐角 $△ A B C$ ．

(2)、在图②中，画出以线段 $A B$ 为腰的等腰直角 $△ A B D$ ．

(3)、在图③中，画出以线段 $A B$ 为腰的等腰钝角 $△ A B E$ ．

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19、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于E，连接 $B E$ ， $A B + B C = 6$ ，则 $△ B C E$ 的周长是．

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20、如图， $A B ∥ C F, E$ 为 $D F$ 的中点， $A B = 12 ， C F = 8$ ，则 $B D =$ ．

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水平距离 $x /m$	$0$	$2$	$3$	$5$	$6$	$\dots$
高度 $y /m$	$1$	$2.2$	$2.5$	$2.5$	$2.2$	$\dots$