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1、下面各题，（）中的两种量成反比例关系

A、汽车的速度一定，行驶的时间和路程 B、购买商品的数量一定，商品的单价和总价 C、三角形的面积一定，它的底和高 D、圆的周长一定，它的直径和圆周率

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2、数学活动课上同学们进行探究活动，先将两个相似的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个三角形纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．
【初步感知】（1）如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 和 $△ A E D$ 中，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A D} = \frac{1}{2}$ ， $∠ B A C = ∠ E A D = α$ ，连接 $B E$ 、 $C D$ ，直线 $B E$ 、 $C D$ 相交于点 $K$ ，试探究 $\frac{B E}{C D} =$ ____________， $∠ B K C =$ ____________；
【深入探究】（2）如图 $2$ ，若 $\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A D} = \frac{1}{3}$ ， $∠ B A C = ∠ E A D = 90 °$ ，点 $E$ 为线段 $B C$ 上一点（不与点 $B$ 重合），连接 $C D$ ，若 $\tan ∠ B A E = \frac{1}{2}$ ，探究 $\frac{C D}{E D}$ 的值；
【拓展创新】（3）如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C = 8$ ，点 $D$ 为 $B C$ 边上的动点，过点 $D$ 作射线 $D H$ ，使 $∠ A D H = ∠ A C B$ ．当点 $D$ 运动到 $B C$ 边中点时，射线 $D H$ 交 $A B$ 于点 $N$ ，此时 $\frac{B N}{A N} = \frac{2}{3}$ ．过点 $A$ 作 $A G ⊥ A D$ 交射线 $D H$ 于 $G$ ，在点 $D$ 从 $C$ 运动到 $B$ 的过程中，求折线 $G A D$ 扫过的面积．

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3、在平面直角坐标系中，已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k > 0$ ， $k$ 为变量）．

(1)、若点 $P (a, a + 1)$ ， $Q (2 a, 2 a - 1)$ 都在该反比例函数图象上，求 $a$ 的值及反比例函数表达式；

(2)、如图1，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + n$ 的图象与 $y = \frac{k}{x}$ 图象在第一象限交于 $E$ 、 $F$ 两点，令点 $M$ 、 $E$ 、 $F$ 的横坐标分别为 $x_{M}$ 、 $x_{E}$ 、 $x_{F}$ ，纵坐标分别为 $y_{M}$ 、 $y_{E}$ 、 $y_{F}$ ，且 $x_{M} = x_{E}$ ， $y_{M} = 2 y_{E}$ ，则 $y_{M} \cdot y_{F}$ 是否为定值．若为定值，则求出 $y_{M} \cdot y_{F}$ 的值；若不为定值，请说明理由；

(3)、如图2，另一条直线 $A B$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $C$ 、 $D$ 两点，与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，且点 $D$ 是 $C B$ 的中点，过 $D O$ 的直线交反比例函数的另一支图象于点 $G$ ，连接 $C G$ ，交 $y$ 轴于点 $N$ ，连接 $D N$ ，若 $S_{△ C D N} = 4$ ，求 $k$ 的值．

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是边 $A B$ 延长线上一动点，连接 $B D$ ， $E D$ ， $E C$ ，若 $\tan ∠ B D C = \frac{4}{3}$ ，则 $\frac{C E}{D E}$ 的最小值为．

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5、若实数 $a$ ， $b$ 满足 $a^{2} - b^{2} = 4 a b (a \neq 0 ， b \neq 0 且 a \neq b)$ ，则称点 $(\frac{a + b}{a}, \frac{a - b}{b})$ 为“神奇 $N$ 点”．已知点 $N_{1}$ 和点 $N_{2}$ 是两个不同的“神奇 $N$ 点”，则在平面直角坐标系中，直线 $N_{1} N_{2}$ 的解析式为．

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，点 $F$ 在 $O D$ 上， $D F = 2 F O$ ，连接 $E F$ 交 $O A$ 于点 $G$ ，若 $O G = 2$ ，连接 $C E$ ， $S_{△ A E C} = 60$ ，则线段 $C E$ 的长为．

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7、已知 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 图象上的两点．若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“ $<$ ”、“ $=$ ”或“ $>$ ”）

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8、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = 2 x + 6$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于 $A (- 1, m)$ ， $B$ 两点， $C$ 为反比例函数图象第四象限上的一点．

(1)、求反比例函数的表达式及点 $B$ 的坐标；

(2)、当 $△ A O B$ 与 $△ A O C$ 的面积相等时，求此时点 $C$ 的坐标；

(3)、我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“垂等四边形”．设点 $D$ 是平面内一点，是否存在这样的 $C$ ， $D$ 两点，使四边形 $A B C D$ 是“垂等四边形”，且该四边形的两条对角线相交于点 $Q$ ， $△ A B Q ∽ △ A C B$ ？若存在，求出 $C$ ， $D$ 两点的坐标；若不存在，请说明理由．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形， $E$ 、 $F$ 分别是 $B C$ 、 $A D$ 上的点， $B E = D F$ ，连接 $A E$ 、 $C F$ ， $A F = F C$ ， $D G ⊥ A E$ 于 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $A E C F$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 8$ ， $B E = 6$ ，求 $D G$ 的长．

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10、如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点 $A$ 到 $B C$ 所在直线的距离 $A C = 6 m$ ， $∠ C A B = 60 °$ ；停止位置示意图如图3，此时测得 $∠ C D B = 37 °$ ，点 $C$ ， $A$ ， $D$ 在同一直线上，且直线 $C D$ 与水平地面平行，图3中所有点在同一平面内，定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

(1)、求 $A B$ 的长；

(2)、求物体上升的高度 $C E$ （结果保留根号）．

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11、如图， $△ A B C$ 在平面直角坐标系内三顶点的坐标分别为 $A (- 1, 2)$ ， $B (- 4, 3)$ ， $C (- 3, 1)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、 $△ A B C$ 内部有一点 $P (a, b)$ ，直接写出经过（ $1$ ）中对称变换后 $P$ 的对应点 $P_{1}$ 的坐标________；

(3)、以点 $B$ 为位似中心，在点 $B$ 的下方画出 $△ A_{2} B C_{2}$ ，使 $△ A_{2} B C_{2}$ 与 $△ A B C$ 位似，且位似比为 $3 ∶ 1$ ．

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12、计算或解方程

(1)、 $|\sqrt{3} - 1| + {(2024 - π)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sin 60 °$ ；

(2)、 $3 {(x - 1)}^{2} = x^{2} - 1$ ．

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13、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是边 $C D$ ， $B C$ 上的动点，连接 $A E$ ， $E F$ ，点 $G$ 、 $H$ 分别为 $A E$ 、 $E F$ 的中点，连接 $G H$ ．若 $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ ，则 $G H$ 的最小值为．

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14、方程 $\frac{1}{5 x + 4} = \frac{2}{3 x}$ 的解为 $x =$ ．

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15、小明沿着坡比为 $1 : \sqrt{2}$ 的斜山坡向上走了 $300 m$ ，则他升高了（）

A、 $100 \sqrt{2} m$ B、 $150 m$ C、 $100 \sqrt{3} m$ D、 $100 m$

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16、下列函数中，表示 $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $x (y + 1) = 1$ B、 $y = \frac{1}{x - 1}$ C、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ D、 $y = \frac{1}{2 x}$

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17、如果 $a$ 和 $b$ 都不为零，且 $3 a = 4 b$ ，那么下列比例中正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{3}{4}$ B、 $\frac{a}{4} = \frac{b}{3}$ C、 $\frac{a}{3} = \frac{4}{b}$ D、 $\frac{a}{4} = \frac{3}{b}$

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18、如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射线AM方向运动；已知AC=6cm，设动点D，E的运动时间为t.

(1)、求∠ACB的度数；

(2)、当点D在射线AM上运动时满足AD：CE=2：3，求点D，E的运动时间的值：

(3)、当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间，使得△ADB与△BEC全等?若存在，请求出此时BD的长：若不存在，请说明理由.

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19、定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形

(1)、概念理解：如图1，在△ABC中，∠C=90°，作出△ABC的共边直角三角形（画一个就行）；

(2)、问题探究：如图2.△ABC和△DBC是共边直角三角形，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求证：EF⊥AD.

(3)、拓展延伸：如图3所示，△ABC和△ABD是共边直角三角形，BD=CD，求证：AD平分∠CAB.

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20、如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.

(1)、求∠F的度数；

(2)、求证：△CEF是等腰三角形；

(3)、若CD=6，求DF的长.

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