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1、图1是一种利用了四边形不稳定性设计的千斤顶．如图2所示，该千斤顶的基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变 $∠ A D C$ 的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即A，C之间的距离）．已知 $A B = 36 cm$ ．

(1)、当 $∠ A D C = 60 °$ 时，求千斤顶高 $A C$ 的长度；

(2)、当 $∠ A D C$ 从 $60 °$ 变为 $120 °$ 时，千斤顶升高了多少？

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2、【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于 $x$ 、 $y$ 的方程 $(x + y)^{2} - 2 (x + y) - 8 = 0$ ，求 $x + y$ 的值．
解：设 $t = x + y$ ，则方程变形为： $t^{2} - 2 t - 8 = 0$
$∴ (t - 4) (t + 2) = 0$
$∴ t_{1} = 4$ ， $t_{2} = - 2$ ，即 $x + y = 4$ 或 $x + y = - 2$

(1)、【引申】已知 $(m^{2} + n^{2} - 1)^{2} = 1$ ，则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

(2)、【拓展】已知 $(x^{2} + x) (x^{2} + x - 1) = 2$ ，求 $x^{2} + x$ 的值．

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3、如图，在网格(网格的正方形边长为 $1$ )中，格点四边形 $A B C D$ 是菱形，则此四边形 $A B C D$ 的面积等于．

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4、如图，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点 $O$ ，点 $E$ 在 $A B$ 边上，点 $F$ 在 $O D$ 上，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B D$ ，垂足为点 $G$ ，若 $E F ⊥ C F$ ， $O F = 3$ ，则 $B E$ 的长为（）

A、3 B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、阅读理解：若A、B、C为数轴上任意三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是 $(A, B)$ 的好点．例如，如图1，点A表示的数为 $- 1$ ，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是 $(A, B)$ 的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2．那么点D就不是 $(A, B)$ 的好点，但点D是 $(B, A)$ 的好点．
知识运用：

(1)、在图1中，点A是的好点，点B是的好点；（选用A，B，C，D表示，不能添加其它字母）

(2)、如图2，M、N为数轴上两点，点M 所表示的数为 $- 2$ ，点N所表示的数为4，则数所表示的点是 $(M, N)$ 的好点；

(3)、如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为 $- 20$ ，点B所表示的数为40；现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以4个单位/秒速度向左运动，到达A点时停止运动．设运动时间为t秒，求当t为何值时，点P，A，B中恰有一点是其他两个点的好点？

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6、在一次综合实践活动课上，杨老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ 的值．
【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，…，依次类推，则图1中空白部分的面积为 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ ．
“破浪”小组是这样思考的：设 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ ，
将等式两边同时乘以 $\frac{1}{2}$ 得： $\frac{1}{2} S = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{2^{7}}$ ，
将上式减去下式得 $\frac{1}{2} S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{7}}$    ，即 $S = 1 - \frac{1}{2^{6}} = \frac{63}{64}$ ，即 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}} = \frac{63}{64}$ ．
【过程思考】

(1)、图1中阴影部分的面积是             ， $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{7}} =$                      ．

(2)、请你利用图2，再设计能求 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{6}}$ 的值的几何图形．（只画出图形即可）

(3)、根据以上规律，
① $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ... + \frac{1}{2^{n}} =$                              ．（n为正整数）
②计算 $5 + 5^{2} + 5^{3} + ... + 5^{2025}$ 的值，并写出解答过程．

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7、为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，四川省实施居民生活用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如
居民每月用电量
单价(元/度)
月用电量 $180$ 度及以内部分
$0.5$
月用电量 $180$ 度至 $280$ 度部分
$0.6$
月用电量超过 $280$ 度部分
$0.8$
已知小明家上半年的用电情况如下表（以180度为标准，超出180度记为正、低于180度记为负）：
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
$- 50$
$+ 30$
$- 26$
$- 45$
$+ 36$
$+ 25$
根据上述数据，解答下列问题：

(1)、小明家用电量最多的是月份，实际用电量为度；

(2)、请求出小明家六月份应交纳的电费；

(3)、若小明家七月份用电量为 $x$ 度，求小明家七月份应交纳的电费（用含 $x$ 的代数式表示）．

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8、定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为 $3 n + 1$ ：②当n为偶数时，结果为 $\frac{n}{2^{k}}$ （其中k是使 $\frac{n}{2^{k}}$ 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如， $n = 66$ 时，其“C运算”如下：
若 $n = 26$ ，则第2026次“C运算”的结果是．

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9、若 $|x - 1|$ 与 ${(y - 2)}^{2}$ 互为相反数，则 ${(- x)}^{y}$ 的值为

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10、材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如 $|3 - 1|$ 表示 $3$ 、 $1$ 在数轴上对应的两点之间的距离： $|3 + 1| = |3 - (- 1)|$ ，所以 $|3 + 1|$ 表示 $3$ 、 $- 1$ 在数轴上对应的两点之间的距离； $|3| = |3 - 0|$ ，所以 $|3|$ 表示 $3$ 在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上 $A$ 、 $B$ 两点对应的数分别为 $a$ 、 $b$ ，且 $A$ 、 $B$ 两点之间的距离可以表示为 $A B$ ，则 $A B = |a - b|$ （或 $|b - a|$ ）．

(1)、数轴上表示 $- 4$ 和 $3$ 的两点之间的距离是，若 $|x + 2| = 3$ ，则 $x =$ ；

(2)、 $|x - 1| + |x + 3|$ 的最小值是；当 $x =$ 时 $|x + 1| + |x - 2| + |x - 4|$ 的最小值是；

(3)、求 $|x - 2| + |x - 4| + |x - 6| + \dots + |x - 2000|$ 的最小值．

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11、如图是由若干个边长为1的立方块搭成的几何体从上面看到的平面图形，小正方形中的数字表示该位置立方块的个数．

(1)、请画出该几何体从正面和从左面看到的平面图形；

(2)、求该几何体的表面积．

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12、比较大小： $- \frac{6}{7}$ $- \frac{7}{8}$ （填“<”或“>”）．

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13、下列说法正确的是（）

A、符号不同的两个数互为相反数 B、所有的有理数都能用数轴上的点来表示 C、有理数分为正数和负数 D、两数相加，和一定大于任何一个加数

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14、下列各数中：1.2， $\frac{π}{3}$ ， 0， $- \frac{22}{7}$ ， 1.010010001， $- |- 3|$ ， $5 %$ ， 0.35， $- (- 5)$ ，正分数的个数为（）

A、5个 B、4个 C、3个 D、2个

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15、点 $O$ 为数轴的原点，点 $A$ ， $B$ 在数轴上的位置如图所示，点 $B$ 表示的数为4，线段 $A B$ 的长为线段 $O B$ 长的2.5倍，点 $M$ 在数轴上， $P$ 为数轴上的一个动点，其对应的数为 $x$ ．

(1)、点 $A$ 表示的数为______；若点 $P$ 到点 $A$ ， $B$ 的距离相等，则 $x$ 的值为______；

(2)、若线段 $B M = 6$ ，求线段 $O M$ 的长；

(3)、若 $P$ 从点 $B$ 开始出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动，运动时间为 $t$ 秒．请你写出当 $t$ 为何值时， $P$ ， $A$ 和 $B$ 中恰有一个点为其余两个点的中点．

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16、如图1，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，点 $M$ 是线段 $A C$ 的中点，点 $N$ 是线段 $B C$ 的中点．

(1)、如果 $A B = 10 cm$ ， $A M = 3 cm$ ，求 $C N$ 和 $M N$ 的长；

(2)、如图2，在图1的基础上连接 $O A ， O N ， O C ， O M 、 O B$ ，若三角形 $O M N$ 的面积为 $5 {cm}^{2}$ ，求三角形 $O A B$ 的面积．

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17、若直线上有两个点，则以这两个点为端点可以确定一条线段，解决下列问题：

(1)、若直线l上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，则可以确定______条线段，______条射线；

(2)、若平面上有四个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，则可以确定______条线段，______条直线；

(3)、2026年世界杯预选赛中国队所在小组共有六支球队，进行的是双循环赛（即每两支球队之间进行两次比赛），则需要进行多少场比赛？

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18、（1）根据已知条件填空：
①已知 ${(- 1.1)}^{2} = 1.21$ ，那么 ${(- 11)}^{2} =$ ______， ${(- 0.11)}^{2} =$ ______；
②已知 $4^{3} = 64$ ，那么 ${(- 4)}^{3} =$ ______， ${(- 40)}^{3} =$ ______， ${(- 0.4)}^{3} =$ ______．
（2）观察上述计算结果，我们可以得出：
①当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的平方的小数点向左（右）移动____________位；
②当底数的小数点向左（右）每移动一位，它的立方的小数点向左（右）移动____________位．
（3）已知 ${1.2}^{2} = 1.44$ ， ${1.2}^{3} = 1.728$ ， ${1.2}^{4} = 2.0736$ ．填空：
① ${(- 120)}^{3} =$ ______；
② ${(- 0.12)}^{4} =$ ______．

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19、在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如 $|4 - 2|$ 表示4，2在数轴上对应的两点之间的距离； $|4 + 2| = |4 - (- 2)|$ ，所以 $|4 + 2|$ 表示4， $- 2$ 在数轴上对应的两点之间的距离．

(1)、如图， $A$ ， $B$ 分别为数轴上两点，点 $A$ 对应的数为 $- 3$ ，点 $B$ 对应的数为5，点 $C$ 对应的数为 $a$ ．
① $|A B| =$ ______；
②若 $|B C| = 4$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $x$ 表示一个有理数，且 $- 4 < x < 2$ ，则 $|x - 2| + |x + 4| =$ ______．

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20、如图，已知A，B，C，D四点在同一线段上，线段 $A B = 10$ ．

(1)、若点C是线段 $A B$ 的中点， $C D = \frac{1}{4} B D$ ，求线段 $A D$ 的长度；

(2)、若点C满足 $A C : B C = 2 : 3$ ， $B D = 4$ ，求线段 $C D$ 的长度．

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居民每月用电量	单价(元/度)
月用电量 $180$ 度及以内部分	$0.5$
月用电量 $180$ 度至 $280$ 度部分	$0.6$
月用电量超过 $280$ 度部分	$0.8$

一月份	二月份	三月份	四月份	五月份	六月份
$- 50$	$+ 30$	$- 26$	$- 45$	$+ 36$	$+ 25$