相关试卷

1、《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中有这样一个问题：若2人坐一辆车，则9人需要步行，若“……”.问：人与车各多少?小明同学设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为 ${\begin{matrix} y = 2 x + 9 \\ y = 3 （ x - 2) \end{matrix},$ 根据已有信息，题中用“……”表示的缺失条件应补为（ )

A、三人坐一辆车，有一车少坐2人 B、三人坐一辆车，则2人需要步行 C、三人坐一辆车，则有两辆空车 D、三人坐一辆车，则还缺两辆车

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2、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（ )

A、m<1 B、m>1 C、m>-1 D、m<-1

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3、一个不透明袋子中有9个白球、6个黑球、4个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别，将袋子中的球搅匀后，从袋子中随机取出一个球记下颜色再放回袋子，通过大量重复试验后，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ )

A、白色 B、红色 C、黑色 D、黄色

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4、探究与证明
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，探究小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
【特例研究】
在正方形 $A B C D$ 中， $A C, B D$ 相交于点 $O$ ．

(1)、如图1， $△ A O B$ 可以看成是 $△ A D C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转并缩小得到的，此时旋转角的度数为_______；

(2)、如图2，将 $△ A O B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，并放大得到 $△ A E F$ （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点 $E$ 落在 $O D$ 上，点 $F$ 落在BC上，求 $\frac{B F}{O E}$ 的值；

(3)、【类比探究】如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °, O$ 是AB的垂直平分线与 $B D$ 的交点，将 $△ A O B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，并缩放得到 $△ A E F$ （点O，B的对应点分别为点 $E$ ， $F$ ），使得点 $E$ 落在 $O D$ 上，点 $F$ 落在 $B C$ 上．猜想 $\frac{B F}{O E}$ 的值是否与 $α$ 有关，并说明理由；

(4)、若（3）中 $∠ A B C = 2 β$ ，其余条件不变，请直接写出 $B A, B E, B F$ 之间的数量关系：______（用含 $β$ 的式子表示）．

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5、综合与实践
跨学科主题学习活动中，某实践小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到 $A$ 点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间 $t (s)$ 、运动快慢 $v (cm/s)$ 、运动路程 $y (cm)$ 的数据．
【收集整理数据】
运动时间 $t (s)$
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢 $v (cm / s)$
12
10
8
6
4
2
…
运动路程 $y (cm)$
0
44
80
108
128
140
…
【数学建模探究】

(1)、【模型一】根据表格中 $v$ 和 $t$ 的数据在图2的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： $v$ 与 $t$ 之间的关系可以近似地用________函数表示（选填：一次、二次、反比例）．利用表中数据可以求出这个函数的解析式为________（不需要写出自变量 $t$ 的取值范围）．

(2)、【模型二】根据猜想、探究得知 $y$ 与 $t$ 满足 $y = a t^{2} + b t (a \neq 0, b \neq 0)$ ，请根据表格中的数据求出 $y$ 与 $t$ 之间的函数关系式（不需要写出自变量 $t$ 的取值范围），并从表格中再选取一组数据进行验证．

(3)、【应用】如图1所示，当弹珠到达水平轨道上 $A$ 点时， $A$ 点前方 $B$ 点处有一辆电动实验小车以 $3 cm / s$ 的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么 $A B$ 的最大值是多少？

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6、如图，在 $7 \times 7$ 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．A，B，C三点均在格点上．现以一个格点为坐标原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，竖直向上为 $y$ 轴正方向，建立平面直角坐标系，点 $B$ 的坐标为 $B (- 2, 1)$ ．

(1)、点 $C$ 的坐标为_______；

(2)、连接 $A B$ ，将线段 $A B$ 平移，使点 $B$ 平移到点 $C$ 的位置，点 $A$ 平移到点 $D$ 的位置，请在图中标出点 $D$ 的位置，并写出点 $D$ 的坐标；

(3)、连接 $A C$ ， $B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、计算及化简：

(1)、计算： $\sqrt[3]{8} + {(π - 1)}^{0} - \sqrt{9}$ ；

(2)、化简： ${(x + 1)}^{2} - x (x + 2)$ ．

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8、如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边形 $A B C D E F G H$ 为正八边形，连接 $A C$ ，则 $∠ B A C =$ $°$ ．

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9、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x < 0)$ 图象上一点，线段 $B C ⊥ O C$ 于点 $C$ ，交反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0, x < 0)$ 图象于点 $D$ ，连接 $O D$ ，线段 $B O$ 经过点 $A$ ，且 $A$ 为线段 $B O$ 的中点，若 $△ O A D$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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10、如图， $Rt △ A B C$ 是一块直角三角板，其中 $∠ C = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ．直尺的一边 $D E$ 经过顶点 $A$ ，若 $D E ∥ C B$ ，则 $∠ D A B$ 的度数为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $135 °$

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11、请阅读以下材料，并解决问题：
材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如： $p < x < q$ ， $p < x \leq q$ ， $p \leq x < q$ ， $p \leq x \leq q$ ），我们规定其“青一距离”均为 $L = q - p (p < q)$ ，不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如： $- 3 < x \leq 2$ 的“青一距离” $L = 2 - (- 3) = 5$ ， “求真点”为 $x = - 2$ ， $- 1$ ， 0， 1， 2．
材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分.

(1)、不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 4 > 3 x \\ 2 x - 2 \leq 0 \end{array}$ 的“青一距离” $L =$ ；“求真点”为；

(2)、若不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 2 \geq 4 - x \\ 4 (x - 1) \geq 5 x - 9 \\ m x - 3 \leq x + 2 \end{array}$ 的“青一距离” $L = 3$ ，求m的取值范围；

(3)、若不等式组 $0.5 a - 1 < x < 2.5 a + 2$ 的“青一距离” $L = 4.5$ ，此时是否存在实数n使得关于y的不等式组
${\begin{array}{l} y + 1 > n \\ a y - 1 \leq 2 n \end{array}$ 恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．

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12、将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ ．

(1)、观察与发现：请你观察图2直接写出 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的一个等量关系式为；

(2)、运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题： $2 x + 3 y = 7$ ， $x y = 2$ ，求 $2 x - 3 y$ 的值；

(3)、实践与拓展：将两个正方形 $A B C D$ 、 $E F G H$ 按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106， $B E = 4$ ，求图中阴影部分面积和．

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13、小王周末参与2026年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．

(1)、求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；

(2)、若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．

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14、解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 1 < 3 x \\ \frac{x + 1}{5} - \frac{x - 2}{2} \geq 0 \end{matrix}$ ，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．

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15、计算

(1)、 ${(3 x^{3} y)}^{2} \cdot 6 x y^{3} + (- 18 x^{3} y)$

(2)、 $(x + 5) (2 x - 1) - 5 x (x - 1)$

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16、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} x + 3 < 2 x - 1 \\ 2 x + 1 < x + a \end{matrix}$ 只有3个整数解，则 $a$ 的取值范围是．

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17、若 $5 x + 12$ 与 $6 - x$ 是正数n的两个平方根，则n= ．

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18、已知 $2^{m} = 5$ ， $2^{n} = 3$ ，则 $2^{m + 3 n} =$ ．

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19、比较大小： $\sqrt{2}$ $\frac{7}{5}$ （填“>”或“<”）．

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20、 $\sqrt{4}$ 的算术平方根是

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运动时间 $t (s)$	0	4	8	12	16	20	…
运动快慢 $v (cm / s)$	12	10	8	6	4	2	…
运动路程 $y (cm)$	0	44	80	108	128	140	…