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1、(1)、特例感知:如图1,已知在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,取BC边上中点D,连接AD,点E为AB边上一点,连接DE,作DF⊥DE交AC于点F,求证:BE=AF;(2)、探索发现:如图2,已知在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,取BC边上中点D,连接AD,点E为BA延长线上一点,AE=1,连接DE,作DF⊥DE交AC延长线于点F,求AF的长;(3)、类比迁移:如图3,已知在ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,取BC边上中点D,连接AD,点E为射线BA上一点(不与点A、点B重合),连接DE,将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F,当AE=4AF时,求AF的长.
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2、如图,在RtABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O在线段AB上(点O不与点A,B重合),且OB=kOA,点M是AC延长线上的一点,作射线OM,将射线OM绕点O逆时针旋转90°,交射线CB于点N.(1)、如图1,当k=1时,判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;(2)、如图2,当k>1时,判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示),并证明;(3)、点P在射线BC上,若∠BON=15°,PN=kAM(k≠1),且< , 请直接写出的值(用含k的式子表示).
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3、在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.(1)、【探究发现】如图①,若∠BAD= , ∠ABC=∠ADC=.求证:AD+AB=AC;(2)、【拓展迁移】如图②,若∠BAD= , ∠ABC+∠ADC=.
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系,并说明理由;
②若AC=10,求四边形ABCD的面积。
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4、在一堂平面几何专题复习课上,刘老师先引导学生解决了以下问题:
【问题情境】
如图1,在中, , , 点D、E在边上,且 , , , 求的长.
解:如图2,将绕点A逆时针旋转得到 , 连接 .
由旋转的特征得 , , , .
∵ , ,
∴ .
∵ ,
∴ , 即 .
∴ .
在和中,
, , ,
∴①▲ .
∴ .
又∵ ,
∴在中,②▲ .
∵ , ,
∴③▲ .
(1)、【问题解决】上述问题情境中,“①”处应填:;“②”处应填:;“③”处应填: .
刘老师进一步谈到:图形的变化强调从运动变化的观点来研究,只要我们抓住了变化中的不变量,就能以不变应万变.
(2)、【知识迁移】如图3,在正方形中,点E、F分别在边上,满足的周长等于正方形的周长的一半,连结 , 分别与对角线交于M、N两点.探究的数量关系并证明.
(3)、【拓展应用】如图4,在矩形中,点E、F分别在边上,且 . 探究的数量关系:(直接写出结论,不必证明).
(4)、【问题再探】如图5,在中, , , , 点D、E在边上,且 . 设 , , 求y与x的函数关系式.
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5、如图,在菱形中,是锐角,是边上的动点,将射线绕点按逆时针方向旋转,交直线于点 .(1)、当 , 时,
①求证:;
②连结 , , 若 , 求的值;
(2)、当时,延长交射线于点 , 延长交射线于点 , 连结 , , 若 , , 则当为何值时,是等腰三角形. -
6、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转.(1)、当旋转至图1位置时,连接BE,DG,则线段BE和DG的关系为;(2)、在图1中,连接BD,BF,DF,求在旋转过程中BDF的面积最大值;(3)、在旋转过程中,当点G,E,D在同一直线上时,求线段BE的长.
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7、综合与实践:已知是等腰三角形, .(1)、特殊情形:如图1,当//时, . (填“>”“<”或“=”);(2)、发现结论:若将图1中的绕点顺时针旋转()到图2所示的位置,则(1)中的结论还成立吗?请说明理由.(3)、拓展运用:某学习小组在解答问题:“如图3,点是等腰直角三角形内一点, , 且 , , , 求的度数”时,小明发现可以利用旋转的知识,将绕点顺时针旋转90°得到 , 连接 , 构造新图形解决问题.请你根据小明的发现直接写出的度数.
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8、如图,正方形ABCD和正方形CEFG(其中BD>2CE),BG的延长线与直线DE交于点H.(1)、如图1,当点G在CD上时,求证:BG=DE,BG⊥DE;(2)、将正方形CEFG绕点C旋转一周.
①如图2,当点E在直线CD右侧时,求证:BH﹣DH=CH;
②当∠DEC=45°时,若AB=3,CE=1,请直接写出线段DH的长.
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9、如图,点和点分别是正方形和正方形对角线的交点,边且过点 , 与边交于点E,与边交于点F,连接 . 已知 , .(1)、求证:重叠部分的四边形是矩形;(2)、若 . 求的值;(3)、若正方形和正方形分别绕点和点顺时针旋转相同的角度后,重叠部分的四边形恰好为正方形,且 , 求重叠部分正方形的边长.
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10、在直角坐标系中,设二次函数 , 记为M,为N.(1)、若 , ,
①求函数y的图象的对称轴;
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时,M,N的值.
(2)、若M,N的值互为相反数,说明此时x的取值(可用含a,b,c的代数式表示). -
11、某社区推出智能可回收垃圾投放箱,居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品.为了鼓励居民积极投放,超过一定投放质量后,奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y(分)与投放质量x()的函数关系如图所示.已知投放纸张超过后,奖励积分为25分/ .(1)、求投放塑料的奖励积分.(2)、求a的值.(3)、若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍,求m的值.
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12、如图,直线 , 连接 , 作的平分线 , 交于点C.(1)、求证: .(2)、圆圆说:“以点C为圆心,长为半径作弧,交于点D,则四边形为菱形.”圆圆的说法是否正确?若正确,请证明;若不正确,说明作法中存在的问题,并说说使作出的四边形为菱形的点D的方法.
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13、某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间(单位:分钟),随机调查了200位18周岁及以上居民,得到的数据整理成如下频数表和频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值),调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟.
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别(分钟)
频数
0~20
32
20~40
48
40~60
60
60~80
80~100
20
(1)、求a的值,并补全频数直方图.(2)、写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别,简单说明理由. -
14、如图,在中, , , 分别是边上的高线和中线.(1)、若 , 求的度数.(2)、求证: .
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15、解不等式: , 并把不等式的解集表示在数轴上.
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16、计算: .
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17、在直角坐标系中,设二次函数(m,n为实数),若点 , 点都在函数y的图象上,则 , 之间满足的等量关系是 .
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18、如图,在中, , 是的角平分线,点E在上,过点E作 , 交于点F.若 , , , 则 .
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19、若一次函数的图象过点 , , 其中 , 则 .
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20、化简: .