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1、如图，在 $△ A B C$ 中， $B D = C D ， D E ⊥ A B$ 于点 $E ， D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ，若 $B E = C F$ ．求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．
请你补全下述证明过程：
证明：∵ $D E ⊥ A B ， D F ⊥ A C$ ，
∴ $∠ B E D = ∠ C F D = 90 °$ ，
在 $Rt △ D B E$ 和 $Rt △ D C F$ 中，
$\{\begin{cases} B D ＝ C D \\ ① ＝ ② \end{cases}$ ， ①         ， ②        ，
∴ $Rt △ D B E ≌ Rt △ D C F$ （                 ），
∴ $D E = D F$ ，
∵ $D E = D F$ ，            ，               ，
∴ $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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2、如图， $△ A B C$ 的三个顶点 $A, B, C$ 均在正方形网格的格点上（每格的单位长度为1）．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、由（1）得点 $A_{1}$ 的坐标为___________；

(3)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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3、（1）计算： $\sqrt{9} + {(- 1)}^{2024} - |1 - \sqrt{2}|$ ；
（2）从下列三个方程中任选2个组成方程组，并解这个方程组．
① $x + y = 10$ ；② $2 x + y = 16$ ；③ $x = y + 4$ ．

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4、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 30 ° ， ∠ A C B = 90 ° ， B C = 5$ ，点D是边 $A C$ 上的动点，连接 $D B$ ，以 $D B$ 为边在 $D B$ 的左下方作等边 $△ D B E$ ，连接 $C E$ ，则点D在运动过程中，线段 $C E$ 长度的最小值是．

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5、已知关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{array}{l} x - a > 0 \\ 1 - x \geq 0 \end{array}$ 的最大整数解与最小整数解的差是3，则 $a$ 的取值范围是．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °, B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，作 $D E ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ．若 $B E = 3 \sqrt{2}, B C = 4 \sqrt{2}$ 则 $△ B D C$ 的面积为（）

A、 $8 \sqrt{2}$ B、 $16 \sqrt{2}$ C、12 D、 $12 \sqrt{2}$

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7、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（）

A、 $∠ B D E = ∠ B A C$ B、 $∠ B A D = ∠ B$ C、 $A C = B E$ D、 $∠ A D C = ∠ B D E$

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8、运行程序如图所示，规定：从“输入一个值 $x$ ”到“结果是否 $> 95$ ”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么 $x$ 的取值范围是（）

A、 $23 < x < 47$ B、 $11 < x \leq 23$ C、 $23 < x \leq 47$ D、 $11 < x < 23$

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9、计算 $a + 3 a$ 的结果正确的是（）

A、4 B、 $4 a$ C、 $4 a^{2}$ D、 $3 a^{2}$

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10、点A（-1，3）关于y轴对称点的坐标是（）

A、（1，3） B、（-1，-3） C、（1，-3） D、（-3，1）

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11、下列四个数中，最大的数是（）

A、 $- 1$ B、0 C、 $- 2$ D、2

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12、设二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ （ $b$ ， $c$ 为常数），且 $b + c = 3$ ．

(1)、若该二次函数的图象过点 $(- 3, 0)$ ，求该二次函数的表达式；

(2)、二次函数的图象始终经过一个定点，若一次函数 $y = k x + b$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）的图象也经过这个定点，探究实数 $k$ ， $c$ 满足的关系式；

(3)、若该二次函数的图象上有四个不同的点： $A (m, 0)$ ， $B (n, 0)$ ， $C (m + 1, p)$ ， $D (n + 1, q)$ ，试求 $p + q$ 的值．

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13、如图，点 $E$ 是正方形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，过 $E$ 作 $A E$ 的垂线，交 $C D$ 于点 $F$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $G$ ．
（1）若点 $E$ 是 $B C$ 的中点，求证： $A B = 4 C F$ ；
（2）若正方形的边长为4，
①当 $C F$ 取最大值时， $B E$ 的长为多少？
②试确定 $F G$ 的取值范围．

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14、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C D ⊥ A B$ ，垂足为点 $D$ ．
（1）求证： $B C^{2} = A B \cdot D B$ ；
（2）若 $A D = 6$ ， $B D = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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15、如图， $A G ∥ B D$ ， $D G$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，交 $A C$ 于点 $E$ .已知 $\frac{A F}{F B} = \frac{2}{3}$ ， $\frac{B C}{C D} = 2$ ，求 $\frac{A E}{E C}$ 的值．

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16、如图， $△ O A P$ ， $△ A B C$ 均是等腰直角三角形，点 $P$ ， $C$ 在反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，直角顶点 $A$ ， $B$ 均在 $x$ 轴上，求点 $C$ 的坐标．

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17、如图，点 $A (2, m)$ 在双曲线 $y = - \frac{6}{x} (x > 0)$ 上，过 $D (- 1, 0)$ 作直线 $A D$ 交双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 于点 $B$ ，过 $A$ 作 $A C ⊥ x$ 轴于 $C$ ，连接 $B C$ ；
（1） $m$ 的值为；
（2）若 $△ A B C$ 的面积为3，则 $k$ 的值为．

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18、如图，点 $D$ 为等边 $△ A B C$ 边 $A C$ 的中点，连接 $B D$ ，取 $B D$ 中点 $E$ ，作射线 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $B F : A F =$ ．

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19、如果 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{5}{7}$ $(b + d \neq 0)$ ，那么 $\frac{a + c}{b + d} =$ ．

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20、如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（　　）

A、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{A C}{B C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ C、AB²＝AC²+BC² D、BC²＝AC•BA

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