相关试卷

1、我们定义：如图1，在四边形 $A B C D$ 中，如果 $∠ A = α$ ， $∠ C = 180 ° - α$ ，对角线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，我们称这种四边形为“分角对补四边形”．

(1)、特例感知：如图1，在“分角对补四边形” $A B C D$ 中，当 $α = 90 °$ 时，根据教材中一个重要性质直接可得 $D A = D C$ ，这个性质是______；（填序号）
①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理

(2)、猜想论证：如图2，当 $α$ 为任意角时，猜想 $D A$ 与 $D C$ 的数量关系，并给予证明；

(3)、探究应用：如图3，在等腰 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 100 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，
求证： $B D + A D = B C$ ．

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2、四个全等的长方形（长a，宽b，且a＞b）既可以拼成一个大的长方形（如图1），也可以拼成一个正方形（如图2），通过观察可以发现图2中间空白的部分的面积是 ${(a - b)}^{2}$ ．

(1)、继续观察，请你直接写出代数式 ${(a + b)}^{2}$ 、 ${(a - b)}^{2}$ 、 $a b$ 之间的数量关系；

(2)、根据你得到的关系式解答下列问题：若 $x + y = - 4$ ， $x y = 3$ ，求 $x - y$ 的值．

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3、如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2），B（﹣4，0），C（﹣3，﹣2）．

(1)、在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△DEF，其中点A与点D对应，点B与点E对称；

(2)、连接CD，CE，则△CDE的面积为______．

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4、先化简，再求值： ${(2 x + 1)}^{2} - x (x - 1) + (x + 2) (x - 2)$ ，其中 $x = 1$ ．

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5、分解因式：

(1)、 $x^{3} - 9 x$

(2)、 $3 x^{2} - 6 x y + 3 y^{2}$

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6、如图，在正方形ABCD中，将线段AD绕点A逆时针旋转α°（0＜α＜180）得到线段AE，连接BE、CE．若△EBC是等腰三角形，则α＝．

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7、如图，在 $△ A B C$ 中，点D在 $B C$ 边上，连接AD，且 $C D = 5, A D = 13$ ，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则 $△ C D M$ 周长的最小值为．

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8、如图，已知直线l经过点（0，﹣1）并且垂直于y轴，若点P（﹣3，2）与点Q（a，b）关于直线l对称，则a+b＝．

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9、如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，根据尺规作图保留的痕迹，判断下列结论错误的是（）

A、AD是∠BAC的平分线 B、AD=BD C、AD=2CD D、2S_△_ABD=3S_△_ACD

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10、数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．

初步尝试：

（1）如果点 $A$ 表示数 $- 3$ ，将点 $A$ 向右移动7个单位长度，那么终点 $B$ 表示的数是_____， $A$ 、 $B$ 两点间的距离是_____；

（2）如果点 $A$ 表示数3，将 $A$ 点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点 $B$ 表示的数是_____， $A$ 、 $B$ 两点间的距离是_____；

归纳一般：

（3）一般地，如果 $A$ 点表示的数为 $m$ ，将 $A$ 点向右移动 $n$ 个单位长度，再向左移动 $p$ 个单位长度，请你猜想终点 $B$ 表示的数是_____， $A$ 、 $B$ 两点间的距离是_____．

深入研究：

（4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点 $A$ 表示的数是 $- 5$ ，乙选择的游戏起点 $B$ 表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下：

“剪刀、石头、布”的结果	$A$ 、 $B$ 两点移动方式
平局	点 $A$ 向右移动 $0.5$ 个单位，点 $B$ 向左移动 $0.5$ 个单位
甲胜	点 $A$ 向右移动 $2$ 个单位，点 $B$ 向右移动 $1$ 个单位
乙胜	点 $A$ 向左移动 $1$ 个单位，点 $B$ 向左移动 $2$ 个单位

设甲、乙两人共进行了 $k$ 次“剪刀、石头、布”（ $k$ 为正整数）．

①当 $k = 3$ 时，其中平局一次，甲胜一次，点 $A$ 最终位置表示的数为_____，点 $B$ 最终位置表示的数为_____，此时 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为_____．

②当 $k > 8$ 时，其中平局 $x$ 次，甲胜 $y$ 次，点 $A$ 最终位置表示的数为_____，点 $B$ 最终位置表示的数为_____，此时 $A$ 、 $B$ 两点间的距离为_____（用含 $x$ 、 $y$ 、 $k$ 的式子表示）．

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11、数学中，运用整体思想在多项式的化简与求值中极为广泛，且非常重要．
例如：已知： $a^{2} + 2 a = 1$ ，则代数式 $2 a^{2} + 4 a + 4 = 2 (a^{2} + 2 a) + 4 = 2 \times 1 + 4 = 6$ ．
请你根据以上材料解答以下问题：

(1)、若 $x^{2} - 3 x = 2$ ，求 $1 + 3 x - x^{2}$ 的值；

(2)、已知 $x y + x = - 1$ ， $y - x y = - 2$ ．求：
①代数式 $x + y$ 的值；
②代数式 $2 [x + {(x y - y)}^{2}] - 3 [{(x y + x)}^{2} - x y] - 3 x y + 2 y$ 的值．

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12、如图，在一个底为 $a$ ，高为 $h$ 的三角形铁皮上剪去一个半径为 $r$ 的半圆．

(1)、用含 $a$ ， $h$ ， $r$ 的代数式表示剩下铁皮（阴影部分）的面积 $S$ ；

(2)、若 $a = 8$ 分米， $h = 6$ 分米， $r = 3$ 分米时，请求出剩下铁皮（阴影部分）的面积．（计算结果精确到0.1平方分米， $π \approx 3.14$ ）

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13、A、B、C、D四个车站的位置如图所示：

(1)、A、C两站之间的距离为_____________；

(2)、求C、D两站之间的距离．

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14、计算：

(1)、 $23 + (- 67) + 47 + (- 23)$ ；

(2)、 $(\frac{1}{6} - \frac{3}{14} + \frac{2}{3} - \frac{2}{7}) \div (- \frac{1}{42})$ ．

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15、已知 $|a + 3| + {(b - 2)}^{2} = 0$ ，则 ${(a + b)}^{6} =$

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16、用代数式表示：“a的 $\frac{3}{5}$ 倍与2的差”：．

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17、比较大小： $- \frac{7}{8}$ $- \frac{6}{7}$ (填“ $>$ ”或“ $<$ ”号) ．

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18、若收入 $520$ 元记为 $+ 520$ 元，则支出 $300$ 元记为元．

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19、如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为 $115$ ，那么该“十”字型中正中间的号数为（）

A、20 B、21 C、22 D、23

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20、一个两位数，十位上的数字是 $3$ ，个位上的数字是 $a$ ，这个两位数是（）

A、 $3 a$ B、 $30 + a$ C、 $3 + a$ D、 $3 + 10 a$

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