相关试卷

1、已知 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (0, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 在二次函数 $y = x^{2} + 1$ 图象上，则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$

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2、围棋是中华民族发明的博弈活动，下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3、【教材呈现】

如图是新人教版八年级上册数学教材第65~66页的部分内容

15.1.2线段的垂直平分线

轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称轴，需要研究线段的垂直平分线的性质．

探究

如图，直线l垂直平分 $A B$ ，点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 在l上，分别比较点 $P_{1}, P_{2}, P_{3}, \dots$ 与点A的距离和这些点与点B的距离，你有什么发现？

可以发现， $P_{1} A = P_{1} B, P_{2} A = P_{2} B, P_{3} A = P_{3} B, \dots$ ，如果把线段 $A B$ 沿直线l对折，线段 $P_{1} A$ 与 $P_{1} B$ 、线段 $P_{2} A$ 与 $P_{2} B$ 、线段 $P_{3} A$ 与 $P_{3} B$ $\dots$ 都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质．

如图，直线 $l ⊥ A B$ ，垂足为C， $A C = B C$ ，点P在l上．

求证： $P A = P B$ ．

证明：当点P与点C不重合时， $\dots$

请你写出完整的证明过程．

（1）请根据所给教材内容，结合上图，写出完整的证明过程．

【定理应用】

（2）如图①，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A E = 3$ ， $△ A B D$ 的周长为13，求 $△ A B C$ 的周长．

（3）如图②，在 $△ A B C$ 中， $A B, A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于点D，E，垂足分别为点M，N，已知 $△ A D E$ 的周长为15，则 $B C$ 的长为_______．

【拓展应用】

（4）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5, A D ⊥ B C$ ， E、P分别是 $A B$ 、 $A D$ 上任意一点，当 $B C = 6, A D = 4$ 时，直接写出 $B P + P E$ 的最小值．

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4、现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ ．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为 $Ω$ ）

(1)、若 $R_{1} = 2 Ω, R_{2} = 3 Ω$ ，则 $R =$ _______ $Ω$ ．

(2)、若 $R = 2 Ω$ ， $R_{1}$ 的电阻值比 $R_{2}$ 的电阻值大 $3 Ω$ ，求 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的电阻值．

(3)、 $R =$ _______．（用含 $R_{1}$ ， $R_{2}$ 的式子表示）．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于E，连接 $B E$ ， $A B + B C = 6$ ，则 $△ B C E$ 的周长是．

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6、如图， $A B ∥ C F, E$ 为 $D F$ 的中点， $A B = 12 ， C F = 8$ ，则 $B D =$ ．

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7、如图， $A B ∥ C D$ ， $B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ ， $A D$ 过点P，且与 $A B$ 垂直．若 $A D = 10$ ，则点P到 $B C$ 的距离是（）

A、2 B、4 C、5 D、10

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8、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 $70 °$ 方向的A处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东 $40 °$ 方向的B处，则B处与灯塔P的距离为（）

A、40海里 B、70海里 C、80海里 D、110海里

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9、通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是不同学科的图形，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10、如图，已知等边 $△ A B C$ ，点P在线段 $B C$ 上，连接 $A P$ ，作点B关于 $A P$ 的对称点M，连接 $C M$ ，在 $B A$ 上取一点N使得 $B N = B P$ ，连接 $M N$ 交 $A P$ 于点D，连接 $M P$ ， $N P$ ．

(1)、求证： $M P = N P$ ．

(2)、设 $∠ C A P = α$ ，求 $∠ A N D$ 的大小（用含 $α$ 的式子表示）．

(3)、用等式表示线段 $A D$ ， $D M$ ， $C M$ 之间的数量关系，并说明理由．

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11、甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程 $y_{1}$ （单位：千米）， $y_{2}$ （单位：千米）与乙车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：

(1)、a的值为________，甲车的速度为________千米/时；

(2)、求乙车减速前的速度，以及图中线段 $E F$ 所表示的y与x的函数关系式；

(3)、当 $a \leq x \leq 7$ 时，直接写出乙车出发多少小时与甲车相距15千米．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，点E是 $A B$ 边上一点，连接 $C E$ ，交 $A D$ 于点F， $A E = A F$ ，延长 $A D$ 至一点M，使 $D M = D A$ ，连接 $C M$ ．

(1)、求证： $△ A B D ≌ △ M C D$ ．

(2)、若 $A F = 7, A B = 11$ ，求 $A M$ 的长．

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13、已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象经过点 $(0, 2)$ 和点 $B (- a, 3)$ ，且点B在正比例函数 $y = - 3 x$ 的图象上．

(1)、求该一次函数的表达式．

(2)、若 $P (m, y_{1}) ， Q (m - 1, y_{2})$ 是该一次函数图象上的两点，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

(3)、当 $- 3 \leq x < 2$ 时，求函数值y的取值范围．

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14、从“①AD=AE；②∠ABE=∠ACD；③FB=FC”三个条件中选择一个，补充在下面问题的横线上，并对问题进行解答．
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D，E分别在边AB，AC上，连接BE，CD，BE与CD交于点F，增加条件，可以得出BE=CD．请写出BE=CD的理由．

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15、如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形 $A B C$ 的顶点坐标分别为 $A (- 1, 4) ， B (- 4, 3) ， C (- 3, 1)$ ．

(1)、把三角形 $A B C$ 向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ，点A，B，C的对应点分别是点 $A^{'} ， B^{'} ， C^{'}$ ，请你在平面直角坐标系中画出三角形 $A^{'} B^{'} C^{'}$ ．

(2)、将点A先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点D，在图中画出点D，直接写出点D的坐标________．

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16、先阅读，再解答，由 $(\sqrt{5} + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = {(\sqrt{5})}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2} = 2$ 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，请完成下列问题：

(1)、 $\sqrt{2} - 1$ 的有理化因式是______；化简 $\frac{3}{3 - \sqrt{6}} =$ ______；

(2)、计算： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}}$ ．

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17、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，过点 $C$ 作 $A C$ 的垂线，过点 $D$ 作 $B D$ 的垂线，两直线相交于点 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 是矩形；

(2)、若 $C E = 1$ ， $D E = 2$ ，求菱形 $A B C D$ 面积．

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18、计算：

(1)、 $\sqrt{12} - \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27}$ ；

(2)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - {(\sqrt{3} + 1)}^{2}$ ．

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19、如图， $▱ A B C D$ 中， $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ D$ 的度数为．

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20、如图，实数 $x$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $|x + 2| - \sqrt[3]{x^{3}} + \sqrt{{(x - 2)}^{2}} + |- x|$ 的结果为（）

A、 $2 x$ B、 $- 2 x - 4$ C、 $- 4 x$ D、 $- 2 x$

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