相关试卷

1、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，如果一次函数直线l与某个图形G有且只有一个交点，则定义该函数为图形G的“ $R N$ 函数”．
例如：如图1，点 $M (2, 2)$ ，点 $N (2, 5)$ ，一次函数 $y = x + 1$ 与线段 $M N$ 交于点 $P (2, 3)$ ，则该函数是线段 $M N$ 的“ $R N$ 函数”．

(1)、如图2，在矩形 $A B C D$ 中，点 $A (- 1, 3)$ ，点 $C (3, 1)$ ，若一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + b$ 是矩形 $A B C D$ 的“ $R N$ 函数”，则 $b =$ _______；

(2)、如图3，在菱形 $A B C D$ 中，点 $A (0, - 2)$ ，点 $C (4, 0)$ ，点B在y轴上，一次函数 $y = k x - 4$ 是菱形 $A B C D$ 的“ $R N$ 函数”．
①求点D的坐标；②求k的值．

(3)、如图4，点B与点C是直线 $y = 1$ 上的两点，点B的横坐标为 $m (m > 0)$ ，点C的横坐标为 $m + 2$ ；点A在 $B C$ 的上方，将正方形 $A B C D$ 的边 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ （含端点）所组成的图形定义为G（其中点A的横坐标为m），若直线 $l : y = m x - m - 1$ 是图形G的“ $R N$ 函数”，直接写出m的取值范围．

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2、解方程：

(1)、 $32 {(x - 1)}^{2} = 18$

(2)、 $x^{2} + 2 x = 8$

(3)、 ${(2 x - 1)}^{2} = {(x + 2)}^{2}$

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3、已知m、n是方程 $x^{2} - x - 2 = 0$ 的两个根，则 $m + n + 2025$ 的值为．

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4、在一个不透明的盒子中装有3个红球和若干个白球，这些球除颜色外均相同，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则这个盒子中大约有个白球．

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5、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 65 ° ， A B = 6 ， A C = 3$ ，将 $△ A B C$ 沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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6、某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（）
原方程
甲
乙
丙
丁
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0 \to$
$2 x^{2} + 4 x = 1 \to$
$x^{2} + 2 x = 1 \to$
$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 = 1 + 1, \\ 即 {(x + 1)}^{2} = 2 \end{array} \to$
$\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{2} - 1, \\ x_{2} = - \sqrt{2} - 1 \end{array}$

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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7、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 70 °$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点O，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、 $30 °$ B、 $35 °$ C、 $40 °$ D、 $45 °$

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8、2025年是乙巳年，也是我们俗称的“蛇年”，其中“乙”是天干，“巳”是地支．其中地支包括子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪．从“地支”中抽一个，抽到“巳蛇”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{10}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{22}$

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9、已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点C，顶点为 $P$ ，对称轴为直线 $x = 1$

(1)、根据题目信息填空： $b =$ __________， $△ A B C$ 的面积＝__________；

(2)、直线 $y = k x + k - 1 (k \neq 0)$ 与抛物线相交于两点 $M (x_{1}, y_{1}), N (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ ，当 $|x_{1} - x_{2}|$ 最小时，求M，N的坐标；

(3)、首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为 $L$ ，若线段 $B O$ 在 $x$ 轴上移动，求 $L$ 的最小值，并求此时 $B$ 点的坐标．

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10、在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接 $A G 、 A C$ ，则 $∠ A C G =$ __________ $°;$
【解决问题】：（2）将矩形 $A Q G F$ 绕点A顺时针转动，边 $A F$ 与边 $C D$ 交于点M，连接 $B M$ ， $A B = 10, A D = 6$ ．
①如图2，当 $B M = A B$ 时，求证： $A M$ 平分 $∠ D M B$ ，写出证明过程；
②如图3，当点F落在 $D C$ 上时，连接 $B Q$ 交 $A F$ 于点O，则 $A O =$ __________；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形 $A B C D$ 的边长为 $5 \sqrt{2}, E$ 是 $B C$ 边上一点（不与点 $B 、 C$ 重合），连接 $A E$ ，将线段 $A E$ 绕点E顺时针旋转 $90 °$ 至 $F E$ ，作射线 $F C$ 交 $A B$ 的延长线于点G，则 $B G =$ __________；
（4）如图5，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A = 120^{°}, E$ 是 $C D$ 边上一点（不与点 $C 、 D$ 重合），连接 $B E$ ，将线段 $B E$ 绕点E顺时针旋转 $120 °$ 至 $F E$ ，作射线 $F D$ 交 $B C$ 的延长线于点G，若 $B G = 6 \sqrt{3}$ ，求 $C G$ 的长并说明理由．

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11、广州市花都区是全国著名的蓝莓产地，某蓝莓基地近几年不断改良种植技术，产量明显增加，2023年的产量是5000千克，2025年的产量达到7200千克．

(1)、若平均每年蓝莓产量的增长率相同，求该蓝莓基地产量平均每年的增长率是多少？

(2)、已知该蓝莓的种植成本为30元／千克，根据市场调查发现，批发价定为50元／千克时，每天可销售400千克，为尽快扩大市场占有率，在保证盈利的情况下，基地采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．求当降价多少元时，蓝莓基地每天的利润能达到9759.5元？

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12、某校初三年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 $\frac{20}{9} m$ ，当球出手后水平距离为 $4 m$ 时到达最大高度 $4 m$ ，设篮球运行的轨迹为抛物线，建立如图的平面直角坐标系．

(1)、抛物线的顶点坐标为__________；

(2)、求出抛物线的解析式；

(3)、若队员与篮圈中心的水平距离为 $7 m$ ，篮圈距地面 $3 m$ ，问此球能否准确投中？

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13、已知二次函数的图象如图所示

(1)、当__________时，y随x的增大而增大；

(2)、根据图象回答，当__________时， $y > 0$ ；

(3)、求这个二次函数的解析式．

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14、已知关于 $x$ 的方程： $x^{2} + (m - 2) x - m = 0$ ．

(1)、求证：无论 $m$ 取何实数，方程总有两个不相等的实数根．

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ 是方程的两个根，且 $(x_{1} + 1) (x_{2} + 1) = - 1$ ，求 $m$ 的值．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 6$ ，在同一平面内，将 $△ A B C$ 绕点C顺时针旋转至 $△ A^{'} B^{'} C$ 的位置， $∠ B^{'} C A^{'} = 72 °$ ，且 $B^{'} C ∥ A^{'} A$ ．

(1)、 $B^{'} C =$ __________．

(2)、求旋转角 $∠ A^{'} C A$ 的大小．

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16、如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度， $△ A B C$ 的顶点均在格点上．

(1)、画出将 $△ A B C$ 关于原点O的中心对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、将 $△ D E F$ 绕点E逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ D_{1} E F_{1}$ ，画出 $△ D_{1} E F_{1}$ ．

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17、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a, b, c$ 是常数）开口向下，过 $A (- 1, 0), B (m, 0)$ 两点，且 $1 < m < 3$ ．下列四个结论：
① $b > 0$
②若 $m = 2$ 时，则 $2 a + c < 0$
③若方程 $|a x^{2} + b x + c| = 1$ 有四个根，且四个根和为s，则 $0 < s < 4$
④已知点 $P (- 2, y_{1}), Q (3, y_{2}), M (n, y_{3})$ 均在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，其中 $2 a n + b = 0$ ，若 $y_{3} > y_{2} > y_{1}$ ，则n的取值范围是 $n > \frac{1}{2}$ ．
其中正确的结论有（写序号）

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18、如图，菱形 $A B C D$ 的对角线交于原点 $O ， A (- 2 \sqrt{3}, 2) ， B (- 1, - \sqrt{3})$ ．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转 $90 °$ ，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为．

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19、某学校要组织一次九年级篮球赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），计划安排45场比赛，则设该学校九年级共有x个班级，依据题意，可以列出方程．

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20、阅读下面的材料：为解方程 ${(x^{2} - 1)}^{2} - 5 (x^{2} - 1) + 4 = 0$ 可以将 $(x^{2} - 1)$ 看作一个整体，然后设 $x^{2} - 1 = t$ 则原方程可化为 $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ 解得 $t_{1} = 1, t_{2} = 4$ ，再求解 $x$ 的方程．上述解题方法，我们称之为换元法．则 $y = 3 \sqrt{x^{2}} + 4 - x^{2} + 6$ 的最大值为（）

A、12 B、 $\frac{49}{4}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、 $5 + 3 \sqrt{5}$

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原方程	甲	乙	丙	丁
$2 x^{2} + 4 x - 1 = 0 \to$	$2 x^{2} + 4 x = 1 \to$	$x^{2} + 2 x = 1 \to$	$\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1 = 1 + 1, \\ 即 {(x + 1)}^{2} = 2 \end{array} \to$	$\begin{array}{l} x_{1} = \sqrt{2} - 1, \\ x_{2} = - \sqrt{2} - 1 \end{array}$