相关试卷

1、

(1)、特例感知：如图1，已知在Rt $△$ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；

(2)、探索发现：如图2，已知在Rt $△$ ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；

(3)、类比迁移：如图3，已知在 $△$ ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F，当AE＝4AF时，求AF的长．

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2、如图，在Rt $△$ ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．

(1)、如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；

(2)、如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；

(3)、点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 $\frac{C M}{A C}$ ＜ $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ ，请直接写出 $\frac{N C}{P C}$ 的值（用含k的式子表示）．

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3、在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD.

(1)、【探究发现】如图①，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC=∠ADC= $90^{o}$ .求证：AD+AB=AC；

(2)、【拓展迁移】如图②，若∠BAD= $120^{o}$ ， ∠ABC+∠ADC= $180^{o}$ .
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC=10，求四边形ABCD的面积。

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4、在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，点D、E在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ， $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，求 $D E$ 的长．
解：如图2，将 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A C D^{'}$ ，连接 $E D^{'}$ ．
由旋转的特征得 $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ， $∠ B = ∠ A C D^{'}$ ， $A D = A D^{^{'}}$ ， $B D = C D^{'}$ ．
∵ $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ D A E = 45 °$ ，
∴ $∠ B A D + ∠ E A C = 45 °$ ．
∵ $∠ B A D = ∠ C A D^{'}$ ，
∴ $∠ C A D^{'} + ∠ E A C = 45 °$ ，即 $∠ E A D^{'} = 45 °$ ．
∴ $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ．
在 $△ D A E$ 和 $△ D^{'} A E$ 中，
$A D = A D^{^{'}}$ ， $∠ D A E = ∠ D^{'} A E$ ， $A E = A E$ ，
∴①▲ ．
∴ $D E = D^{^{'}} E$ ．
又∵ $∠ E C D^{'} = ∠ E C A + ∠ A C D^{'} = ∠ E C A + ∠ B = 90 °$ ，
∴在 $R t △ E C D^{'}$ 中，②▲ ．
∵ $C D^{'} = B D = 3$ ， $C E = 4$ ，
∴ $D E = D^{'} E =$ ③▲ ．

(1)、【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填：；“②”处应填：；“③”处应填：．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．

(2)、【知识迁移】
如图3，在正方形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上，满足 $△ C E F$ 的周长等于正方形 $A B C D$ 的周长的一半，连结 $A E 、 A F$ ，分别与对角线 $B D$ 交于M、N两点．探究 $B M 、 M N 、 D N$ 的数量关系并证明．

(3)、【拓展应用】
如图4，在矩形 $A B C D$ 中，点E、F分别在边 $B C 、 C D$ 上，且 $∠ E A F = ∠ C E F = 45 °$ ．探究 $B E 、 E F 、 D F$ 的数量关系：（直接写出结论，不必证明）．

(4)、【问题再探】
如图5，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点D、E在边 $A C$ 上，且 $∠ D B E = 45 °$ ．设 $A D = x$ ， $C E = y$ ，求y与x的函数关系式．

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5、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C$ 是锐角， $E$ 是 $B C$ 边上的动点，将射线 $A E$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转，交直线 $C D$ 于点 $F$ ．

(1)、当 $A E ⊥ B C$ ， $∠ E A F = ∠ A B C$ 时，
①求证： $A E = A F$ ；
②连结 $B D$ ， $E F$ ，若 $\frac{E F}{B D} = \frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{Δ A E F}}{S_{菱形 A B C D}}$ 的值；

(2)、当 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ 时，延长 $B C$ 交射线 $A F$ 于点 $M$ ，延长 $D C$ 交射线 $A E$ 于点 $N$ ，连结 $A C$ ， $M N$ ，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ，则当 $C E$ 为何值时， $Δ A M N$ 是等腰三角形.

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6、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．

(1)、当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；

(2)、在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中 $△$ BDF的面积最大值；

(3)、在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．

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7、综合与实践：已知 $△ A B C$ 是等腰三角形， $A B = A C$ ．

(1)、特殊情形：如图1，当 $D E$ // $B C$ 时， $D B$ $E C$ ．（填“＞”“＜”或“＝”）；

(2)、发现结论：若将图1中的 $△ A D E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

(3)、拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点 $P$ 是等腰直角三角形 $A B C$ 内一点， $∠ B A C = 90 °$ ，且 $B P = 1$ ， $A P = 2$ ， $C P = 3$ ，求 $∠ B P A$ 的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将 $△ B A P$ 绕点 $A$ 顺时针旋转90°得到 $△ C A E$ ，连接 $P E$ ，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出 $∠ B P A$ 的度数．

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8、如图，正方形ABCD和正方形CEFG（其中BD＞2CE），BG的延长线与直线DE交于点H．

(1)、如图1，当点G在CD上时，求证：BG＝DE，BG⊥DE；

(2)、将正方形CEFG绕点C旋转一周．
①如图2，当点E在直线CD右侧时，求证：BH﹣DH= $\sqrt{2}$ CH；
②当∠DEC＝45°时，若AB＝3，CE＝1，请直接写出线段DH的长．

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9、如图，点 $O$ 和点 $O^{'}$ 分别是正方形 $A B C D$ 和正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 对角线的交点，边 $A^{'} B^{'} ∥ A B$ 且过点 $O$ ，与边 $B C$ 交于点E， $A^{'} D$ 与边 $D C$ 交于点F，连接 $O O^{'}$ ．已知 $A B = 8$ ， $A^{'} O = E B^{'} = a (a > 0)$ ．

(1)、求证：重叠部分的四边形 $A^{'} F C E$ 是矩形；

(2)、若 $\tan ∠ O^{'} O B^{'} = \frac{5}{4}$ ．求 $a$ 的值；

(3)、若正方形 $A B C D$ 和正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 分别绕点 $O$ 和点 $O^{'}$ 顺时针旋转相同的角度后，重叠部分的四边形恰好为正方形，且 $O O^{'} = \sqrt{13}$ ，求重叠部分正方形的边长．

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10、在直角坐标系中，设二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，记 $a x^{2}$ 为M， $a x^{2} + b x$ 为N．

(1)、若 $a = - 1$ ， $b = 1$ ，
①求函数y的图象的对称轴；
②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时，M，N的值．

(2)、若M，N的值互为相反数，说明此时x的取值（可用含a，b，c的代数式表示）．

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11、某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x（ $kg$ ）的函数关系如图所示．已知投放纸张超过 $10 kg$ 后，奖励积分为25分/ $kg$ ．

(1)、求投放 $8kg$ 塑料的奖励积分．

(2)、求a的值．

(3)、若投放 $m kg$ 的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 $\frac{5}{2}$ 倍，求m的值．

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12、如图，直线 $A M ∥ B N$ ，连接 $A B$ ，作 $∠ A B N$ 的平分线 $B C$ ，交 $A M$ 于点C．

(1)、求证： $A B = A C$ ．

(2)、圆圆说：“以点C为圆心， $C A$ 长为半径作弧，交 $B N$ 于点D，则四边形 $A B D C$ 为菱形．”圆圆的说法是否正确？若正确，请证明；若不正确，说明作法中存在的问题，并说说使作出的四边形 $A B D C$ 为菱形的点D的方法．

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13、某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间（单位：分钟），随机调查了200位18周岁及以上居民，得到的数据整理成如下频数表和频数直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟．
某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表
组别（分钟）
频数
0~20
32
20~40
48
40~60
60
60~80
$a$
80~100
20

(1)、求a的值，并补全频数直方图．

(2)、写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别，简单说明理由．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D$ ， $B E$ 分别是边 $A C$ 上的高线和中线．

(1)、若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ C B D$ 的度数．

(2)、求证： $A D - C D = 2 D E$ ．

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15、解不等式： $\frac{3 x + 1}{2} \geq - 1$ ，并把不等式的解集表示在数轴上．

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16、计算： ${(- 2)}^{3} + |- 2| + \sqrt{9}$ ．

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17、在直角坐标系中，设二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + n$ （m，n为实数），若点 $A (m - 1, k_{1})$ ，点 $B (m + 3, k_{2})$ 都在函数y的图象上，则 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 之间满足的等量关系是．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 是 $∠ A B C$ 的角平分线，点E在 $B D$ 上，过点E作 $E F ⊥ B D$ ，交 $A B$ 于点F．若 $B E = 4$ ， $B F = 5$ ， $D E = E F$ ，则 $B C =$ ．

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19、若一次函数 $y = k x + b$ 的图象过点 $(1, m)$ ， $(m, 1)$ ，其中 $m \neq 1$ ，则 $k =$ ．

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20、化简： $x + 2 x - 5 x =$ ．

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组别（分钟）	频数
0~20	32
20~40	48
40~60	60
60~80	$a$
80~100	20