• 1、

    (1)、特例感知:如图1,已知在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC,取BC边上中点D,连接AD,点E为AB边上一点,连接DE,作DF⊥DE交AC于点F,求证:BE=AF;
    (2)、探索发现:如图2,已知在RtABC中,∠BAC=90°,AB=AC=3,取BC边上中点D,连接AD,点E为BA延长线上一点,AE=1,连接DE,作DF⊥DE交AC延长线于点F,求AF的长;
    (3)、类比迁移:如图3,已知在ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4,取BC边上中点D,连接AD,点E为射线BA上一点(不与点A、点B重合),连接DE,将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点F,当AE=4AF时,求AF的长.
  • 2、如图,在RtABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点O在线段AB上(点O不与点A,B重合),且OB=kOA,点M是AC延长线上的一点,作射线OM,将射线OM绕点O逆时针旋转90°,交射线CB于点N.

    (1)、如图1,当k=1时,判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由;
    (2)、如图2,当k>1时,判断线段OM与ON的数量关系(用含k的式子表示),并证明;
    (3)、点P在射线BC上,若∠BON=15°,PN=kAM(k≠1),且CMAC312 , 请直接写出NCPC的值(用含k的式子表示).
  • 3、在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD.

    (1)、【探究发现】如图①,若∠BAD=120o , ∠ABC=∠ADC=90o.求证:AD+AB=AC;
    (2)、【拓展迁移】如图②,若∠BAD=120o , ∠ABC+∠ADC=180o.

    ①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系,并说明理由;

    ②若AC=10,求四边形ABCD的面积。

  • 4、在一堂平面几何专题复习课上,刘老师先引导学生解决了以下问题:

    【问题情境】

    如图1,在ABC中,BAC=90°AB=AC , 点D、E在边BC上,且DAE=45°BD=3CE=4 , 求DE的长.

    解:如图2,将ABD绕点A逆时针旋转90°得到ACD' , 连接ED'

    由旋转的特征得BAD=CAD'B=ACD'AD=AD'BD=CD'

    BAC=90°DAE=45°

    BAD+EAC=45°

    BAD=CAD'

    CAD'+EAC=45° , 即EAD'=45°

    DAE=D'AE

    DAED'AE中,

    AD=AD'DAE=D'AEAE=AE

    DE=D'E

    又∵ECD'=ECA+ACD'=ECA+B=90°

    ∴在RtECD'中,

    CD'=BD=3CE=4

    DE=D'E=

    (1)、【问题解决】

    上述问题情境中,“①”处应填:;“②”处应填:;“③”处应填:

    刘老师进一步谈到:图形的变化强调从运动变化的观点来研究,只要我们抓住了变化中的不变量,就能以不变应万变.

    (2)、【知识迁移】

    如图3,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BCCD上,满足CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,连结AEAF , 分别与对角线BD交于M、N两点.探究BMMNDN的数量关系并证明.

     

    (3)、【拓展应用】

    如图4,在矩形ABCD中,点E、F分别在边BCCD上,且EAF=CEF=45° . 探究BEEFDF的数量关系:(直接写出结论,不必证明).

     

    (4)、【问题再探】

    如图5,在ABC中,ABC=90°AB=4BC=3 , 点D、E在边AC上,且DBE=45° . 设AD=xCE=y , 求y与x的函数关系式.

  • 5、如图,在菱形ABCD中,ABC是锐角,EBC边上的动点,将射线AE绕点A按逆时针方向旋转,交直线CD于点F

    (1)、当AEBCEAF=ABC时,

    ①求证:AE=AF

    ②连结BDEF , 若EFBD=25 , 求SΔAEFSABCD的值;

    (2)、当EAF=12BAD时,延长BC交射线AF于点M , 延长DC交射线AE于点N , 连结ACMN , 若AB=4AC=2 , 则当CE为何值时,ΔAMN是等腰三角形.
  • 6、正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方形AEFG绕点A逆时针旋转.

    (1)、当旋转至图1位置时,连接BE,DG,则线段BE和DG的关系为
    (2)、在图1中,连接BD,BF,DF,求在旋转过程中BDF的面积最大值;
    (3)、在旋转过程中,当点G,E,D在同一直线上时,求线段BE的长.
  • 7、综合与实践:已知ABC是等腰三角形,AB=AC

    (1)、特殊情形:如图1,当DE//BC时,DBEC . (填“>”“<”或“=”);
    (2)、发现结论:若将图1中的ADE绕点A顺时针旋转α0°<α<180°)到图2所示的位置,则(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
    (3)、拓展运用:某学习小组在解答问题:“如图3,点P是等腰直角三角形ABC内一点,BAC=90° , 且BP=1AP=2CP=3 , 求BPA的度数”时,小明发现可以利用旋转的知识,将BAP绕点A顺时针旋转90°得到CAE , 连接PE , 构造新图形解决问题.请你根据小明的发现直接写出BPA的度数.
  • 8、如图,正方形ABCD和正方形CEFG(其中BD>2CE),BG的延长线与直线DE交于点H.

    (1)、如图1,当点G在CD上时,求证:BG=DE,BG⊥DE;
    (2)、将正方形CEFG绕点C旋转一周.

    ①如图2,当点E在直线CD右侧时,求证:BH﹣DH=2CH;

    ②当∠DEC=45°时,若AB=3,CE=1,请直接写出线段DH的长.

  • 9、如图,点O和点O'分别是正方形ABCD和正方形A'B'C'D'对角线的交点,边A'B'AB且过点O , 与边BC交于点E,A'D与边DC交于点F,连接OO' . 已知AB=8A'O=EB'=aa>0

    (1)、求证:重叠部分的四边形A'FCE是矩形;
    (2)、若tanO'OB'=54 . 求a的值;
    (3)、若正方形ABCD和正方形A'B'C'D'分别绕点O和点O'顺时针旋转相同的角度后,重叠部分的四边形恰好为正方形,且OO'=13 , 求重叠部分正方形的边长.
  • 10、在直角坐标系中,设二次函数y=ax2+bx+ca0 , 记ax2为M,ax2+bx为N.
    (1)、若a=1b=1

    ①求函数y的图象的对称轴;

    ②分别求当x取函数图象顶点横坐标的值时,M,N的值.

    (2)、若M,N的值互为相反数,说明此时x的取值(可用含a,b,c的代数式表示).
  • 11、某社区推出智能可回收垃圾投放箱,居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品.为了鼓励居民积极投放,超过一定投放质量后,奖励积分升级.其中塑料与纸张的奖励积分y(分)与投放质量x(kg)的函数关系如图所示.已知投放纸张超过10kg后,奖励积分为25分/kg

    (1)、求投放8kg塑料的奖励积分.
    (2)、求a的值.
    (3)、若投放mkg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的52倍,求m的值.
  • 12、如图,直线AMBN , 连接AB , 作ABN的平分线BC , 交AM于点C.

    (1)、求证:AB=AC
    (2)、圆圆说:“以点C为圆心,CA长为半径作弧,交BN于点D,则四边形ABDC为菱形.”圆圆的说法是否正确?若正确,请证明;若不正确,说明作法中存在的问题,并说说使作出的四边形ABDC为菱形的点D的方法.
  • 13、某社区为了解18周岁及以上居民每日平均锻炼时间(单位:分钟),随机调查了200位18周岁及以上居民,得到的数据整理成如下频数表和频数直方图(每组含前一个边界值,不含后一个边界值),调查的居民每日平均锻炼时间均少于100分钟.

    某社区18周岁及以上居民每日平均锻炼时间的频数表

    组别(分钟)

    频数

    0~20

    32

    20~40

    48

    40~60

    60

    60~80

    a

    80~100

    20

    (1)、求a的值,并补全频数直方图.
    (2)、写出这200位居民每日平均锻炼时间的中位数的组别,简单说明理由.
  • 14、如图,在ABC中,AB=ACBDBE分别是边AC上的高线和中线.

    (1)、若A=40° , 求CBD的度数.
    (2)、求证:ADCD=2DE
  • 15、解不等式:3x+121 , 并把不等式的解集表示在数轴上.

  • 16、计算:23+2+9
  • 17、在直角坐标系中,设二次函数y=x22mx+n(m,n为实数),若点Am1,k1 , 点Bm+3,k2都在函数y的图象上,则k1k2之间满足的等量关系是
  • 18、如图,在ABC中,C=90°BDABC的角平分线,点E在BD上,过点E作EFBD , 交AB于点F.若BE=4BF=5DE=EF , 则BC=

  • 19、若一次函数y=kx+b的图象过点1,mm,1 , 其中m1 , 则k=
  • 20、化简:x+2x5x=
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