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1、如图， $⊙ O$ 的切线 $P A$ 与直径 $C B$ 的延长线交于点 $A$ ，点 $P$ 为切点，连接 $P C$ ．若 $∠ A = 20 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为°．

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2、计算： ${(- 2)}^{2} =$ ； $\sqrt{2} + \sqrt{8} =$ ．

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3、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，点 $F$ 在以 $A E$ 为直径的半圆上， $E F = E B$ ，延长 $E F$ ， $A F$ 分别交 $C D$ 于点 $G, H$ ，则 $D G : H C$ 的值为（）

A、 $2 : 1$ B、 $4 : 3$ C、 $5 : 4$ D、 $\sqrt{2} : 1$

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4、已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ （ $a, c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的图象经过点 $(t, y_{1})$ ， $(t + 1, y_{2})$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $a > 0$ ， $t > 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ B、若 $a > 0$ ， $t < 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ C、若 $a < 0$ ， $t > 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ D、若 $a < 0$ ， $t < 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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5、《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著．其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？假设人数为 $x$ 人，物价为 $y$ 钱，则（）

A、 $\{\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 8 x - 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x + 4 = y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 8 x + 3 = y \\ 7 x - 4 = y \end{array}$

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6、已知 $a, b, c$ 是实数，若 $a > b$ ， $c < 0$ ，则（）

A、 $a + c < b + c$ B、 $a c > b c$ C、 $a c^{2} > b c^{2}$ D、 $a - c < b$

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7、如图，一束光线 $P O$ 从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 $A D ∥ B C$ ，延长 $P O$ 交 $B C$ 于点 $P^{'}$ ，若 $∠ P O A = 50 °$ ， $∠ P^{'} O Q = 25 °$ ，则 $∠ O Q B$ 的度数为（）

A、 $45 °$ B、 $55 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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8、下列式子计算正确的是（）

A、 $2 a^{2} + a^{3} = 2 a^{5}$ B、 ${(2 a^{2})}^{3} = 8 a^{6}$ C、 $2 a^{2} \div a^{3} = 2 a$ D、 $2 a^{2} \cdot a^{3} = 2 a^{6}$

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9、“杭州六小龙”—宇树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新．据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重 $28.8 %$ ，远超全国平均水平．数据“6305亿”用科学记数法表示为（）

A、 $6305 \times 10^{8}$ B、 $63.05 \times 10^{9}$ C、 $6.305 \times 10^{11}$ D、 $0.6305 \times 10^{12}$

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10、如图，一个几何体由5个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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11、下列各数中，比 $- 1.5$ 小的数是（）

A、3 B、0 C、 $- 1$ D、 $- 3$

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12、已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 为圆上一点， $D F$ 是 $⊙ O$ 的切线，连结 $C D$ ，与 $A B$ 交于点 $E$ ．

(1)、如图1，延长 $B A$ 与 $D F$ 交于点 $F$ ．
①若 $∠ A C D = 25 °$ ，求 $∠ F$ 的大小．
②若 $A F = 3 ， D F = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

(2)、如图2， $A C > B C ， D F ∥ A B$ ，延长 $C A$ 与 $D F$ 交于点 $F$ ，若 $\frac{C A}{A F} = \frac{4}{5}$ ，求 $△ B C E$ 与 $△ C D F$ 的面积比．

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13、已知二次函数 $y = {(x - m)}^{2} - 2 (x - m) ， m$ 为实数．

(1)、若 $m = 1$ ，求该函数图象的对称轴．

(2)、若该函数图象与 $y$ 轴交于点 $(0, n)$ ，求证： $n \geq - 1$ ．

(3)、若点 $A (2 m, y_{1}), B (- 2, y_{2}), C (6, y_{3})$ 在该函数图象上，且 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ ，求 $m$ 的取值范围．

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14、如图，点 $E$ ， $F$ 分别在正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ ， $C D$ 上，且 $B E = C F$ ， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $G$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ B C F$ ．

(2)、连结 $A F$ ，若点 $E$ 是 $B C$ 的中点，求 $tan ∠ A F G$ 的值．

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15、钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道．圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离 $s$ 关于时间 $t$ 的函数图象如图所示，圆圆的速度是 $180 m/min$ ，圆圆跑了2分钟后休息了 $a$ 分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是 $150 m/min$ ，最后圆圆与方方同时到达各自终点．

(1)、求 $a$ 的值和图中 $A B$ 对应的函数表达式．

(2)、求两人相遇时 $t$ 的值．

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16、如图，平行四边形 $A B C D$ 的顶点均在格点上，找到格点 $P$ ，使 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ．
画法1：在 $A D$ 边上找到格点 $P$ ，使 $A P = A B$ ．
画法2：在 $B C$ 边上找到格点 $E$ ，使 $B E = A B$ ，连结 $A E$ ，找到格点 $P$ ．

(1)、请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点 $P$ ，连结 $B P$ ．

(2)、从两种画法中选择一种证明 $B P$ 平分 $∠ A B C$ ．

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17、为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（ $B M I$ ）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是 $B M I = \frac{体重（单位： kg ）}{身高^{2} (单位： m^{2})}$ ．中国人的 $B M I$ 数值标准为： $B M I < 18.5$ 为偏瘦； $18.5 \leq B M I < 24$ 为正常； $24 \leq B M I < 28$ 为偏胖； $B M I \geq 28$ 为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的 $B M I$ 数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
体重 $(kg)$
59.0
62.4
70.0
70.6
63.8
57.8
64.2
72.7
54.0
52.2
身高 $(m)$
1.64
1.73
1.72
1.78
1.85
1.70
1.56
1.61
1.62
1.64
$B M I$
21.9
20.8
23.7
22.3
18.6
$x$
26.4
28.0
20.6
19.4
【整理数据】
九年级10名学生 $B M I$ 频数分布表
组别
$B M I$
频数
$A$
$B M I < 18.5$
0
$B$
$18.5 \leq B M I < 24$
$a$
$C$
$24 \leq B M I < 28$
$b$
$D$
$B M I \geq 28$
1
【应用数据】

(1)、求数据统计表中 $x$ 的值，并直接写出 $a ， b$ 的值．

(2)、请估计该校九年级300名学生中 $B M I \geq 24$ 的人数．

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18、解下列方程（组）：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ ．

(2)、 $\{\begin{array}{l} x - 2 y = 3 \\ 3 x + 2 y = 1 \end{array}$

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19、计算：

(1)、 $|- 2| + {(- 1)}^{3}$ ．

(2)、 ${(\frac{1}{5})}^{- 1} - \sqrt{4}$ ．

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20、如图，点 $E$ 在菱形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上，将 $△ A D E$ 沿 $A E$ 折叠，使点 $D$ 的对应点 $F$ 恰好落在边 $B C$ 上．若 $\frac{D E}{C E} = \frac{5}{2}$ ，则 $cos B$ 的值是．

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编号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
体重 $(kg)$	59.0	62.4	70.0	70.6	63.8	57.8	64.2	72.7	54.0	52.2
身高 $(m)$	1.64	1.73	1.72	1.78	1.85	1.70	1.56	1.61	1.62	1.64
$B M I$	21.9	20.8	23.7	22.3	18.6	$x$	26.4	28.0	20.6	19.4

组别	$B M I$	频数
$A$	$B M I < 18.5$	0
$B$	$18.5 \leq B M I < 24$	$a$
$C$	$24 \leq B M I < 28$	$b$
$D$	$B M I \geq 28$	1