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1、习题课上，数学老师展示嘉嘉解题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程 $4 (x - 5) = (x - 5)^{2}$
解：方程两边同时除以 $(x - 5)$ 得
$4 = x - 5$         第一步
$4 + 5 = x$         第二步
$x = 9$             第三步

(1)、嘉嘉的解答过程从第步开始出现错误的；

(2)、请给出这道题的正确解答过程．

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2、计算： $| \sqrt{2} - 3 | + 2 \sqrt{2} - \sqrt{6} \div \sqrt{3}$ ．

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $O E$ ．已知 $O E = \sqrt{10}$ ， $∠ A E O = 45 °$ ，则 $A B =$ ．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则 $△ D E F$ 的周长为．

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5、用反证法证明“已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ $(a < b < c)$ ，若 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 不是直角三角形”时，应先假设．

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6、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 5 ∠ C A B$ ，在 $A C$ 上取点 $P$ ，使 $P C = B C$ ，连结 $B P$ ，过点 $P$ 作 $E F ⊥ C D$ 交 $A B$ ， $C D$ 分别于点 $E$ ， $F$ ．已知 $B E = 2$ ， $A E = x$ ， $B P = y$ ，当 $x$ ， $y$ 发生变化时，下列代数式值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x y$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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7、如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（）

A、150° B、145° C、140° D、135°

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8、硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、如图，直线 $A B$ ， $C D$ 被直线 $M N$ 所截， $A B ∥ C D$ ，一块含 $30 °$ 角的直角三角板 $E F G$ （ $∠ G = 90 °$ ， $∠ E F G = 30 °$ ）按如图1放置，点E ， F分别在直线 $A B$ ， $C D$ 上，且 $E G ∥ M N$ ， $∠ E F N$ 的平分线 $F H$ 交直线 $A B$ 于点H ．

(1)、填空： $∠ A E G + ∠ C F G$ $∠ G$ （填“ $>$ ”，“ $<$ ”或“ $=$ ”）；

(2)、当 $F H ∥ M N$ 时，求 $∠ M N D$ 的度数；

(3)、将三角板 $E F G$ 沿直线 $A B$ 左右移动，并保持 $E G ∥ M N$ （点F不与点N重合），设 $∠ M N D = α (0 ° < α < 90 °)$ ，在平移的过程中求 $∠ E H F$ 的度数（用含α的代数式表示）．

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10、根据以下素材，探索完成任务．

学校奖品购买方案设计
素材1	某现代科技产品专卖店销售智能手环与无线耳机，已知智能手环的单价是无线耳机的1.5倍．小张发现，用1080元购买智能手环的数量比用600元购买无线耳机的数量多3件．
素材2	某学校计划花费5400元在该专卖店购买智能手环和无线耳机作为科技节奖品颁发给“科技小能手”．购买后发现，智能手环的数量比无线耳机少15只．
素材3	学校完成购买后，专卖店为了回馈学校，赠送了m张（ $1 \leq m \leq 10$ ）优惠券用于下次购物抵扣．使用这些优惠券后，通过再次购买或兑换，使得智能手环与无线耳机的数量最终相同．
问题解决
任务一	【探求商品单价】请运用适当方法，求出智能手环与无线耳机的单价．
任务二	【探究购买方案】在不使用兑换券的情况下，根据学校的购买情况，求出原本购买的智能手环与无线耳机的数量．
任务三	【确定兑换方式】运用数学知识，确定兑换方案，并求出m的值．

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11、如图，在直角三角形 $A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ， $A B = 5 c m$ ．

(1)、点B到 $A C$ 的距离是 $c m$ ；点 $A$ 到 $B C$ 的距离是cm．

(2)、画出表示点C到 $A B$ 的距离的线段，并求这个距离．

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12、某地区随机抽取部分七年级学生长跑项目的达标测试成绩，成绩记为 $7$ 分， $8$ 分， $9$ 分， $10$ 分四个等级，将结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图，根据图中信息，回答下列问题：

(1)、本次共抽取学生多少人？

(2)、计算成绩为 $8$ 分的学生人数及扇形统计图中 $8$ 分区域的圆心角的度数；

(3)、若该地区共有七年级学生约 $5000$ 人，那么成绩为 $9$ 分和 $10$ 分的学生共有多少人？

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13、某工厂设计了一个新的零件模型，该模型平面图为一个大长方形，内部挖去两个相同的小长方形（如图）．其中大长方形的长为 $x + 3 y$ ，宽为 $2 x + y$ ，每个小长方形的长为 $x + y$ ，宽为 $y - x (y > x)$ ．

(1)、用含x ， y的代数式表示该零件模型的面积并化简；

(2)、当 $x = 2$ ， $y = 3$ 时，求该零件模型的面积．

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14、化简： $(1 - \frac{1}{1 - x}) \div \frac{x^{2} + 2 x}{1 - x}$ ，再在1，0， $- 1$ 三个数中选择适当的数为x的值代入求值．

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15、解方程（组）

(1)、 ${\begin{array}{l} x + 3 y = 5 \\ 2 x - y = 3 \end{array}$

(2)、 $\frac{3}{x - 2} + \frac{x - 1}{2 - x} = 1$

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16、因式分解

(1)、 $m^{2} - 4 n^{2}$

(2)、 $2 x^{2} - 12 x y + 18 y^{2}$

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17、如图，小盟利用几何图形画出螳螂简笔画， $C F$ ， $B G$ 交于点 $A$ ， $F G ∥ D E ∥ B C$ ， $∠ F A G = 40 °$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，若 $∠ A D E = 100 °$ ，则 $∠ G$ 的度数为．

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18、若 $n$ 满足 ${(n - 2024)}^{2} + {(2025 - n)}^{2} = 7$ ，则 $(2025 - n) (n - 2024) =$ ．

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19、若实数a ， b满足 $a b = - 3$ ， $a^{2} b + a b^{2} = 15$ ，则 $a + b$ 的值是．

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20、已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、五组数据的频数分别为2，8，15，5，则第四组数据的频率是．

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