相关试卷

1、请阅读以下材料，并解决问题：
材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如： $p < x < q$ ， $p < x \leq q$ ， $p \leq x < q$ ， $p \leq x \leq q$ ），我们规定其“青一距离”均为 $L = q - p (p < q)$ ，不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如： $- 3 < x \leq 2$ 的“青一距离” $L = 2 - (- 3) = 5$ ， “求真点”为 $x = - 2$ ， $- 1$ ， 0， 1， 2．
材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分.

(1)、不等式组 ${\begin{array}{l} 5 x + 4 > 3 x \\ 2 x - 2 \leq 0 \end{array}$ 的“青一距离” $L =$ ；“求真点”为；

(2)、若不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 2 \geq 4 - x \\ 4 (x - 1) \geq 5 x - 9 \\ m x - 3 \leq x + 2 \end{array}$ 的“青一距离” $L = 3$ ，求m的取值范围；

(3)、若不等式组 $0.5 a - 1 < x < 2.5 a + 2$ 的“青一距离” $L = 4.5$ ，此时是否存在实数n使得关于y的不等式组
${\begin{array}{l} y + 1 > n \\ a y - 1 \leq 2 n \end{array}$ 恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．

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2、将四个长为a，宽为b的长方形（如图1），拼成如图2的“回形”正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ ．

(1)、观察与发现：请你观察图2直接写出 ${(a + b)}^{2}$ ， ${(a - b)}^{2}$ ， $a b$ 之间的一个等量关系式为；

(2)、运用与探究：根据（1）的结论，解决下列问题： $2 x + 3 y = 7$ ， $x y = 2$ ，求 $2 x - 3 y$ 的值；

(3)、实践与拓展：将两个正方形 $A B C D$ 、 $E F G H$ 按如图3摆放（点H与点A重合），若两个正方形面积之和为106， $B E = 4$ ，求图中阴影部分面积和．

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3、小王周末参与2026年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元．

(1)、求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本；

(2)、若小王计划用不超过1800元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请帮他算一算．

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4、解不等式组： $\{\begin{matrix} 2 x + 1 < 3 x \\ \frac{x + 1}{5} - \frac{x - 2}{2} \geq 0 \end{matrix}$ ，把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解．

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5、计算

(1)、 ${(3 x^{3} y)}^{2} \cdot 6 x y^{3} + (- 18 x^{3} y)$

(2)、 $(x + 5) (2 x - 1) - 5 x (x - 1)$

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6、若关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} x + 3 < 2 x - 1 \\ 2 x + 1 < x + a \end{matrix}$ 只有3个整数解，则 $a$ 的取值范围是．

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7、若 $5 x + 12$ 与 $6 - x$ 是正数n的两个平方根，则n= ．

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8、已知 $2^{m} = 5$ ， $2^{n} = 3$ ，则 $2^{m + 3 n} =$ ．

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9、比较大小： $\sqrt{2}$ $\frac{7}{5}$ （填“>”或“<”）．

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10、 $\sqrt{4}$ 的算术平方根是

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11、我们把 $M = {1 ， 3 ， x}$ 叫集合 $M$ ，其中1，3， $x$ 叫做集合 $M$ 的元素，集合中的元素具有确定性，互异性（如 $x \neq 1 ， x \neq 3$ ），无序性（即改变元素的顺序后，新集合与原集合相等）．已知集合 $A = {0 ， | x | ， y}$ ，集合 $B = {x ， x y ， \sqrt{x - y}}$ ，若 $A = B$ ，则 $x + y$ 的值是（）

A、4 B、2 C、0 D、-2

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12、若方程组 $\{\begin{matrix} 3 x + y = k + 1 \\ x + 3 y = 3 \end{matrix}$ 的解 $x$ ， $y$ 满足 $0 < x + y < 2$ ，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- 4 < k < 0$ B、 $- 4 < k < 4$ C、 $0 < k < 8$ D、 $k > - 4$

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13、关于 $x$ 的不等式组 $\{\begin{matrix} - x - 1 < 0 \\ \frac{x - 2}{2} \leq 0 \end{matrix}$ ，其解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、若 $(2 x^{2} + m x + 6) (x + 1)$ 展开后的结果中不含 $x^{2}$ 项，则m的值为( )

A、 $- 2$ B、 $2$ C、 $- 6$ D、 $6$

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15、一次知识竞赛共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过80分，设小聪答错了x道题，则( )

A、5(19+x)-2x>80 B、5(19-x)-2x>80 C、5(19-x)+2x>80 D、5(20-x)+2x>80

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16、下列结论正确的是（）

A、 ${(\sqrt[3]{- 9})}^{3} = - 9$ B、 $- 36$ 的平方根是 $- 6$ C、若 $\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$ ，则 $a = 1$ D、64的立方根是 $\pm 4$

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17、若 $a > b$ ，则下列不等式不一定成立的是（）

A、 $a - 2 > b - 2$ B、 $b < a$ C、 $- 2 a < - 2 b$ D、 $\frac{a}{m} > \frac{b}{m}$

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18、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{7}$ B、 ${(2 a^{2})}^{3} = 6 a^{6}$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ D、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$

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19、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC=60°。

(1)、求证：△ABE是等边三角形。

(2)、若 $\frac{A B}{B C} = m (0 < m < 1) ， A C = 3 \sqrt{3},$ 连结OE。
①若 $m = \frac{1}{2},$ 求□ABCD的面积；
②设 $\frac{S_{四边形 O E C D}}{S_{△ A O D}} = k$ ，试求k与m之间满足的关系。

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20、如果关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”。例如，一元二次方程 $x^{2} + x = 0$ 的两个根是 $x_{1} = 0, x_{2} =$ -1，则方程 $x^{2} + x = 0$ 是“邻根方程”。

(1)、通过计算，判断方程 $x^{2} + 3 x + 2 = 0$ 是否为“邻根方程”。

(2)、已知关于x的方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0$ 是“邻根方程”，求m的值。

(3)、若关于x的方程 $a x^{2} + b x + 2 = 0 （ a ＞ 0 ）$ 是“邻根方程”，令 $t = 12 a - b^{2},$ 试求t的最大值。

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