相关试卷

1、综合与实践：
【问题提出】某中学数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 8$ ， $A C = 6$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．
【问题探究】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，连接 $B E$ ．依据“ $S A S$ ”可以证明： $△ A D C ≌ △ E D B$ ，这样 $A D$ 的取值范围迎刃而解．
(1)请写出 $△ A D C ≌ △ E D B$ 的推理过程；
(2)探究得出 $A D$ 的取值范围是_______；
【问题拓展】
(3)如图2， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 3$ ， $A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $C E ⊥ B C$ ，垂足为 $C$ ， $C E = 6$ ，且 $∠ A D E = 90 °$ ，求 $A E$ 的长．

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2、【阅读与思考】
（1）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图1所示，由作图可知，依据（选择“ $SAS$ ”、“ $ASA$ ”、“ $AAS$ ”、“ $SSS$ ”、“ $HL$ ”中适合的一个填写）可以判定 $△ C^{'} O^{'} D^{'} ≌ △ C O D$ ，从而得到 $∠ A^{'} O^{'} B^{'} = ∠ A O B$ ．
【应用与拓展】
（2）如图2，E是线段 $A C$ 上一点，点D在 $B C$ 的延长线上，连接 $B E$ 、 $E D$ ，且 $∠ A B C = ∠ A C B$ ， $E B = E D$ ；
①尺规作图：在射线 $C A$ 的左侧作 $∠ A C F$ ，使得 $∠ A C F = ∠ A B E$ ，交 $A B$ 于点F（不写作法，保留作图痕迹）．
②判断 $F C$ 与 $E D$ 有怎样的数量关系，并证明你的结论．

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3、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (- 3, 4)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 1, 2)$ ．

(1)、在图中作出 $△ A B C$ 关于x轴的对称图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、直接写出 $△ A B C$ 的面积 $=$ ．

(3)、在y轴上找一点P，使得 $△ P A C$ 周长最小．（保留作图痕迹）

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4、如图， $O P$ 平分 $∠ A O B$ ， $∠ A O P = 15 °$ ， $P C ∥ O B$ ， $P D ⊥ O B$ 于点 $D$ ．

(1)、求证： $O C = C P$ ；

(2)、若 $P C = 8$ ，求 $P D$ 的长．

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5、如图，已知 $△ A B C$ ．

(1)、请在图中画出 $△ A B C$ 的三条高 $A D$ 、 $B E$ 、 $C F$ ；

(2)、若 $A B = B C = 10 c m$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，求 $B E$ 的长．

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6、已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ D A E = 10 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 60 °$ ，求 $∠ B A D$ ， $∠ B A C$ ， $∠ C$ 的度数．

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7、如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，等边三角形DEF的三个顶点分别落在AC，AB，BC上，若CD＝4，BE＝6，则AB的长为．

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8、将含 $30 °$ 的直角三角板直角顶点 $C$ 放置在直尺的一边上， $A C$ ， $A B$ 与直尺的交点分别为点 $E$ ， $F$ ， $D$ ，如图．若点 $E$ ， $F$ 对应的刻度分别为 $2 cm$ ， $6 cm$ ， $∠ A C D = 60 °$ ，则 $A E$ 的长是cm．

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9、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为平面上一点，连接 $C D$ ，点 $E$ 为 $C D$ 中点，连接 $A E$ 、 $A D$ 、 $B D$ 、 $B E$ ， $A D = A E$ ，且 $∠ D A E =90 °$ ，若 $C D = 6$ ，则 $△ B E C$ 的面积为（）

A、3 B、2 C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{9}{2}$

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10、如图，点 $E$ 、 $F$ 在 $A C$ 上， $A D = B C$ ， $A E = C F$ ，要使 $△ A D F ≌ △ C B E$ ，需添加的一个条件可以是( )

A、 $∠ A = ∠ B E C$ B、 $D F$ $∥$ $B E$ C、 $∠ D = ∠ B$ D、 $D F = B E$

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11、下列图形中，不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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12、以下列长度的三根木棒为边，能构成三角形的是（）

A、 $1 cm$ ， $2 cm$ ， $5 cm$ B、 $3 cm$ ， $4 cm$ ， $8 cm$ C、 $4 cm$ ， $5 cm$ ， $6 cm$ D、 $13 cm$ ， $6 cm$ ， $7 cm$

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13、已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 80 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，则 $∠ C$ 的大小为（）

A、 $20 °$ B、 $40 °$ C、 $60 °$ D、 $100 °$

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14、如图（1）， $A B ＝ 7 cm$ ， $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ，垂足分别为A，B， $A C ＝ 5 cm$ ．点P在线段 $A B$ 上以2cm/s的速度由点A向点B运动．同时，点Q在射线 $B D$ 上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

(1)、若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 $t ＝ 1$ 时，
①试说明 $△ A C P ≌ △ B P Q$ ．
②此时，线段 $P C$ 和线段 $P Q$ 有怎样的关系，请说明理由．

(2)、如图（2），若“ $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ”改为“ $∠ C A B ＝ ∠ D B A ＝ 60 °$ ”，点Q的运动速度为xcm/s，其他条件不变，当点P，Q运动到某处时，有 $△ A C P$ 和 $△ B P Q$ 全等，求出此时的x，t的值．

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15、数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4, A C = 6$ ， $D$ 是 $B C$ 的中点，求 $B C$ 边上的中线 $A D$ 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $D E = A D$ ，请补充完整证明“ $△ A D C ≌ △ E D B$ ”的推理过程．
（1）求证： $△ A D C ≌ △ E D B$
证明： $∵$ 延长 $A D$ 到点 $E$ ，使 $D E = A D$ ，
在 $△ A D C$ 和 $△ E D B$ 中，
$A D = E D$ （已作）
$∠ A D C = ∠ E D B$ （_________）
$C D = B D$ （中点定义）
$∴ △ A D C ≌ △ E D B$ （_________）
（2）探究得出 $A D$ 的取值范围是 ▲ ．
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °, A B = 4, A D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $C E ⊥ B C, C E = 8$ ，且 $∠ A D E = 90 °$ ，求 $A E$ 的长．

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16、如图，点A，F，C，E在同一直线上，且 $A F = E C$ ， $B C ∥ D F$ ， $∠ B = ∠ D$ ，求证： $A B ∥ D E$ ．

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17、已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)、请画出△ABC关于y轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ．

(2)、求△ABC的面积．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ 和 $∠ A C B$ 的平分线相交于点P．

(1)、若 $∠ A B C + ∠ A C B = 120 °$ ，求 $∠ B P C$ 的度数．

(2)、当 $∠ A$ 为多少度时， $∠ B P C = 5 ∠ A$ ?

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19、如图， $A ， B ， C ， D$ 依次在同一条直线上， $A B = C D$ ， $A E = D F$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $B F$ 与 $E C$ 相交于点 $M$ ．求证： $M C = M B$ ．

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20、根据数轴，解决下列问题．

(1)、判断正负，用“ $>$ ”或“ $<$ ”填空： $b + 2$ ______0， $a - 3$ ______0， $a + b$ ______0；

(2)、化简： $| b + 2 | - | a - 3 | + | a + b |$ ．

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