相关试卷

1、已知二次函数 $y = x (x - a) + (x - a) (x - b) + x (x - b)$ ，其中 $a$ ， $b$ 为两个不相等的实数．

(1)、当 $a = 0$ 、 $b = 3$ 时，求此函数图象的对称轴；

(2)、当 $b = 2 a$ 时，若该函数在 $0 \leq x \leq 1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；在 $3 \leq x \leq 4$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若点 $A (a, y_{1})$ ， $B (\frac{a + b}{2}, y_{2})$ ， $C (b, y_{3})$ 均在该函数的图象上，是否存在常数 $m$ ，使得 $y_{1} + m y_{2} + y_{3} = 0$ ？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由

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2、【问题情境】
$2025$ 年 $5$ 月 $29$ 日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用 $3 D$ 打印完成，如图 $1$ ．
【问题提出】
部件主视图如图 $2$ 所示，由于 $1$ 的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到 $l$ 的长度的方案，以检测该部件中 $l$ 的长度是否符合要求．
【方案设计】
兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．
测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱 $($ 圆柱 $)$ ．
操作步骤：如图 $3$ ，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图 $4$ ， $⊙ O$ 分别与 $A C$ ， $A D$ 相切于点 $B$ ， $D .$ 用游标卡尺测量出 $C C'$ 的长度 $y$ ．
【问题解决】
已知 $∠ C A D = ∠ C' A' D' = 60^{\circ}$ ， $l$ 的长度要求是 $1.9 c m \sim 2.1 c m$ ．

(1)、求 $∠ B A O$ 的度数；

(2)、已知钢柱的底面圆半径为 $1 c m$ ，现测得 $y = 7.52 c m .$ 根据以上信息，通过计算说明该部件 $l$ 的长度是否符合要求． $($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

(3)、【结果反思】本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．

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3、如图，在 $▵ O A B$ 中，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，边 $O B$ 交 $⊙ O$ 于点 $C$ ， $A D ⊥ O B$ 于点 $D$ ． $A C$ 是 $∠ B A D$ 的平分线．

(1)、求证： $A B$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $∠ A O B = 45^{\circ}$ ，求 $C B$ 的长．

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4、在 $2025$ 年全国科技活动周期间，某校科技小组对甲、乙两个水产养殖基地水体的 $p H$ 值进行了检测，并对一天 $(24$ 小时 $)$ 内每小时的 $p H$ 值进行了整理、描述及分析．
【收集数据】
甲基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.27$ ， $7.28$ ， $7.34$ ， $7.35$ ， $7.36$ ， $7.51$ ， $7.53$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.67$ ， $7.81$ ， $7.81$ ， $7.88$ ， $7.91$ ， $8.01$ ， $8.02$ ， $8.03$ ， $8.07$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.23$ ， $8.26$ ， $8.26$ ．
乙基地水体的 $p H$ 值数据：
$7.11$ ， $7.12$ ， $7.14$ ， $7.25$ ， $7.36$ ， $7.52$ ， $7.63$ ， $7.67$ ， $7.69$ ， $7.75$ ， $7.77$ ， $7.77$ ， $7.81$ ， $7.84$ ， $7.89$ ， $8.01$ ， $8.12$ ， $8.13$ ， $8.14$ ， $8.16$ ， $8.17$ ， $8.18$ ， $8.20$ ， $8.21$ ．
【整理数据】

$7.00 \leq x < 7.30$

$7.30 \leq x < 7.60$

$7.60 \leq x < 7.90$

$7.90 \leq x < 8.20$

$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲
$2$
$5$
$7$
$7$
$3$
乙
$4$
$2$
$9$
$a$
$2$
【描述数据】
【分析数据】

平均数
众数
中位数
方差
甲
$7.79$
$b$
$7.81$
$0.10$
乙
$7.78$
$7.77$
$c$
$0.13$
根据以上信息解决下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、填空： $b =$ ， $c =$ ；

(3)、请判断甲、乙哪个基地水体的 $p H$ 值更稳定，并说明理由；

(4)、已知两基地对水体 $p H$ 值的日变化量 $(p H$ 值最大值与最小值的差 $)$ 要求为 $0.5 \sim 1$ ，分别判断并说明该日两基地的 $p H$ 值是否符合要求．

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5、山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型．
已知本次注水前蓄水池的水位高度为 $5$ 米，注水时水位高度每小时上升 $6$ 米．

(1)、请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度 $y ($ 米 $)$ 与注水时间 $x ($ 小时 $)$ 之间的关系式；

(2)、已知蓄水池的底面积为 $0.4$ 万平方米，每立方米的水可供发电 $0.3$ 千瓦时，求注水多长时间可供发电 $4.2$ 万千瓦时？

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6、在 $R t ▵ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ， $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．
如图 $1$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的度数；

(2)、已知 $A B = 3$ ，分别以 $C$ ， $D$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径作弧，两弧相交于点 $M$ ， $N$ ，作直线 $M N$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $A D$ 的延长线于点 $F .$ 如图 $2$ ，求 $D F$ 的长．

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7、

(1)、计算： $|- \frac{1}{3}| \times \sqrt{9} + π^{0}$ ；

(2)、先化简，再求值： $(x^{2} - 1) (\frac{1}{x + 1} + 1)$ ，其中 $x = 2$ ．

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $A B = 6$ ， $B C = 8 .$ 点 $P$ 为边 $A C$ 上异于 $A$ 的一点，以 $P A$ ， $P B$ 为邻边作 $▱ P A Q B$ ，则线段 $P Q$ 的最小值是．

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9、取直线 $y = - x$ 上一点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $①$ 过点 $A_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线，交 $y = \frac{1}{x}$ 于点 $A_{2} (x_{2}, y_{2})$ ； $②$ 过点 $A_{2}$ 作 $y$ 轴的垂线，交 $y = - x$ 于点 $A_{3} (x_{3}, y_{3})$ ；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点 $A_{1}$ 的坐标为 $(1, - 1)$ ，则点 $A_{2025}$ 的坐标是．

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10、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 4 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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11、在平面直角坐标系中，将点 $P (3,4)$ 向下平移 $2$ 个单位长度，得到的对应点 $P'$ 的坐标是．

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12、写出使分式 $\frac{1}{2 x - 3}$ 有意义的 $x$ 的一个值．

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13、在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度 $y ($ 厘米 $/$ 天 $)$ 和光照强度 $x ($ 勒克斯 $)$ 之间存在一定关系．在低光照强度范围 $(200 \leq x < 1000)$ 内， $y$ 与 $x$ 近似成一次函数关系；在中高光照强度范围 $(x \geq 1000)$ 内， $y$ 与 $x$ 近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（）

A、当 $x \geq 1000$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 B、当 $x = 2000$ 时， $y$ 有最大值 C、当 $y \geq 0.6$ 时， $x \geq 1000$ D、当 $y = 0.4$ 时， $x = 600$

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14、如图，在平面直角坐标系中， $A$ ， $C$ 两点在坐标轴上，四边形 $O A B C$ 是面积为 $4$ 的正方形．若函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $B$ ，则满足 $y \geq 2$ 的 $x$ 的取值范围为（）

A、 $0 < x \leq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $0 < x \leq 4$ D、 $x \geq 4$

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15、在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是 $2$ ，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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16、明代数学家吴敬的 $《$ 九章算法比类大全 $》$ 中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有 $3$ 个头 $6$ 只手的哪吒若干，有 $1$ 个头 $8$ 只手的夜叉若干，两方交战，共有 $36$ 个头， $108$ 只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 $x$ 个，夜叉有 $y$ 个，则根据条件所列方程组为（）

A、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 36 \\ 8 x + 6 y = 108 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x + 3 y = 36 \\ 6 x + 8 y = 108 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 36 \\ 8 x + 6 y = 108 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + y = 36 \\ 6 x + 8 y = 108 \end{array}$

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17、某班学生到山东省博物馆参加研学活动．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相等，则甲、乙两位同学同时抽到“亚醜钺”的概率是（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{2}{3}$

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18、已知 $a \neq 0$ ，则下列运算正确的是（）

A、 $- 2 a + 3 a = 5 a$ B、 ${(- 2 a^{3})}^{2} = 4 a^{6}$ C、 $a^{2} - a = a$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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19、好客山东以其宽厚仁德的人文情怀、风景秀丽的河海山川吸引了来自世界各地的朋友，据统计，山东省 $2024$ 年全年接待游客超 $9$ 亿人次．数据“ $9$ 亿”用科学记数法表示为（）

A、 $9 \times 1 0^{7}$ B、 $0.9 \times 1 0^{8}$ C、 $9 \times 1 0^{8}$ D、 $0.9 \times 1 0^{9}$

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20、我国“深蓝 $2$ 号”大型智能深海养殖网箱的主体是一个正六棱柱，其示意图的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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	$7.00 \leq x < 7.30$	$7.30 \leq x < 7.60$	$7.60 \leq x < 7.90$	$7.90 \leq x < 8.20$	$8.20 \leq x \leq 8.50$
甲	$2$	$5$	$7$	$7$	$3$
乙	$4$	$2$	$9$	$a$	$2$

	平均数	众数	中位数	方差
甲	$7.79$	$b$	$7.81$	$0.10$
乙	$7.78$	$7.77$	$c$	$0.13$