相关试卷

1、若 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， x_{4}$ 的平均数为4， $x_{5} ， x_{6} ， x_{7} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ 的平均数为6，则 $x_{1} ， x_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， x_{10}$ 的平均数为（）

A、5 B、5.2 C、6 D、8

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2、为筹备班级里的庆“元旦”文艺晚会，班长对全班同学爱吃哪几种水果作了民意调查，最终买什么水果，取决于该调查数据的（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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3、【综合与实践】
在数学的学习过程中，我们除了掌握课本中常见的四边形外，还会遇到许多具有独特性质的特殊四边形.让我们结合已有知识，对以下特殊四边形展开探究.
定义：在四边形中，若有一个内角为直角，且从该直角顶点引出的对角线，将其对角分成的两个角中恰有一个角为直角，则称这样的四边形为“璧合四边形”.

(1)、【初步探究】如图1，在“璧合四边形ABCD”中，若∠A=60°，则 $∠ C B D =$ $\frac{A D}{B D}$ 的值为.

(2)、【问题解决】如图2，在“璧合四边形ABCD”中， ∠ADB=∠ABC=90°， ∠A=45°， E为线段AB上一点，且CD⊥DE，求 $\frac{A E}{B C}$ 的值.

(3)、【拓展应用】如图3，在“璧合四边形ABCD”中，∠A=45°， AD=12， E为线段AB上一动点，且CD⊥DE，连接CE，将△CDE沿CE翻折，得到△CFE，连接BF，若BF=4，作出图形并求线段AE的长.

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4、综合与实践
活动主题：探究商品生产、销售过程中的数学问题
问题情境：板枣被列为中国十大名枣之首，特别是稷山板枣，因其优良的品质和悠久的历史而闻名.综合实践小组的同学到某食品店研学，发现该店新开发了一种枣饮品，他们对这种饮品的生产和销售情况进行了数据收集.
信息展示：小华：该店这种饮品每日的产量 x （千克)的范围是30≤x≤120.
小彬：该饮品每千克的生产成本y₁ （元)与每日产量 x （千克)之间的关系如下表所示：
每日产量 x （千克)

306090120

每千克的成本y₁ （元)

5550

4540
小颖：该饮品每千克的售价y₂ （元)与每日产量 x （千克)之间的关系可用如图的坐标系中的线段AB所示，AB所在直线与纵轴的交点为（0，m)（其中m>70)；
小文：该店每日生产的这种饮品全部售完（即每日销售量=每日产量).
问题解决：

(1)、根据小彬收集的信息可知，该饮品每千克的生产成本y₁ （元)与每日产量 x （千克)之间的变化规律可用我们学习过的函数刻画（选填“一次”“反比例”或“二次”)，其函数关系式为；

(2)、当m=90时，解决下列问题：
①该饮品每千克的售价y₂ （元)与每日产量 x （千克)之间的函数关系式为 ▲ ；
②若该饮品某日的销售利润为 1326元，求当日该饮品的产量；

(3)、若该饮品每日产量为 80千克时，可获得最大日销售利润.请通过计算确定相应的 m的值及最大日销售利润.

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5、根据题意解答下列问题

(1)、如图 1，在Rt△ABC中， ∠A=90°.求作Rt△ABC的外接圆⊙O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)、如图 2， AB是⊙O的直径， C是 $\hat{B D}$ 的中点，过点 C作AD的垂线，垂足为点 E.如图①，求证：CE是⊙O的切线；

(3)、如图②，过点 O作OF⊥AD于 F，若AD=2CE， OA=2，求阴影部分的面积.

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6、随着人们生活水平的不断提升，体育器材逐渐成为日常消费用品.某体育用品商场预计某品牌运动器材会十分畅销，便以24000元购进一批该款运动器材.商品上市后迅速售罄，商场随即又用52000元购进第二批同款运动器材.第二批购进的数量是第一批的2倍，每套器材的进价比第一批多出20元.

(1)、该商场两次共购进这种运动器材多少套?

(2)、如果这两批运动器材每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于30%，那么每套器材售价至少是多少元（结果取整数)?（利润率 $= \frac{利润}{成本} \times 100 %)$

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7、为提升学生逻辑思维和信息素养，感受科技与数学融合魅力，学校组织八、九年级开展“AI赋能数学，创意点亮智慧”微视频制作竞赛.老师从八、九两个年级中各抽取 20名学生的竞赛成绩进行整理，成绩分为A、B、C、D四个等级，其中 90分及以上为优秀，并获评“智慧少年”.
【信息整理】信息 1：
等级
A
B
C
D
成绩
95≤x≤100
95≤x<95
85≤x<90
x<85
信息 2：八年级 B、C两组同学的成绩分别为： 85， 88， 89， 89， 92， 92， 93， 94， 94；九年级 C组同学的成绩分别为： 89， 89， 88， 88， 88， 88， 88， 87， 86.
信息 3：
八年级抽取学生竞赛成绩的条形统计图九年级抽取学生竞赛成绩的扇形统计图
【数据分析】八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如表：
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
八年级
88
a
95
40%
九年级
88
88
b
35%

(1)、完成填空：a= ▲ ， b= ▲ 并补全条形统计图；

(2)、根据成绩统计表中的数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的学生对当前信息技术的了解情况更好?请说明理由（写出一条理由即可)；

(3)、若该校八年级学生有 580人，九年级学生有 525人，请估计该校八、九年级成绩为 A等级的学生共有多少人?

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8、解不等式组 ${\begin{matrix} \frac{3 x - 1}{5} + 1 \geq x \\ 6 （ x + 2) \geq 3 \end{matrix},$ 并将解集在数轴上表示出来.

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9、计算： ${- 1}^{2026} - ∣ - 2 ∣ + {(\sqrt{5})}^{2} - {(π - 3)}^{0} - {(\frac{1}{5})}^{- 1}$

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10、如图，在矩形ABCD中， AB=3， BC=4， P是AD边上的动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到 PQ，点 C的对应点为点 Q，连接BQ，CQ，则BQ的最小值为.

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11、如图， Rt△AOB的边 OA在 x轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k ＞ 0)$ 的图象过斜边 OB的中点 C，延长 BO与该反比例函数图象的另一交点为 D，连结 AD.若△ABD的面积为 18，则 k的值为.

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12、平面直角坐标系中，将点A（m-1，m+2)先向左平移2个单位长，再向上平移3个单位长，得到点A'，若点A'位于第二象限，则m的取值范围是.

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13、设 x₁ ， x₂是方程 $x^{2} - 6 x + 7 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} - x_{1} x_{2} =_________.$

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14、如图，点 D 是等边△ABC边 AB上的一点，且AD：DB=1：3，现将△ABC折叠，使点 C与 D重合，折痕为EF，点 E， F分别在AC和BC上，则CE：CF= （ )

A、1：3 B、2：5 C、4：6 D、5：7

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15、机器狗（四足机器人)是一种模仿动物四肢结构的仿生机器人，具备卓越的全地形适应能力和多样化功能，已从实验室走入商业应用和家庭场景.如图所示，机器狗平稳站立时，AB∥CD，∠ABE=125°，∠CDE=145°，此时∠BED的度数为（ )

A、80° B、85° C、90° D、95°

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16、下列计算正确的是（）.

A、 $x^{6} \div x^{2} = x^{3}$ B、 $5 x^{3} \cdot 3 x^{5} = 15 x^{8}$ C、 $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 2$ D、5x-2x=3

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17、许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯).上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层， “飞梯”的截面如图1，已知AB的长为50米，点A处的仰角为24°，那么高BC是（ )

A、 $\frac{50}{s i n 2 4^{\circ}}$ 米 B、 $\frac{50}{c o s 2 4^{\circ}}$ 米 C、50sin24°米 D、50cos24°米

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18、“数字人民币”应用场景范围逐步扩大.若转入 6元记作+6元，那么转出 7元记作（ )

A、-7元 B、+7元 C、 $\frac{1}{7}$ 元 D、 $\pm 7$ 元

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19、【旋转构造】

(1)、【问题背景】如图1，P是等边 $△ A B C$ 外一点， $∠ A P B = 3 0^{\circ},$ 则 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2} .$
小明为了证明这个结论，将 $△ P A B$ 绕点A逆时针旋转（ $6 0^{\circ},$ 请根据此思路完成这个证明；

(2)、【迁移应用】如图2，P是等边 $△ A B C$ 内一点，且 $P C^{2} + P B^{2} = P A^{2},$ 则 $∠ B P C =$ .

(3)、【拓展提升】如图3，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $B A = B C, ∠ A B C = 9 0^{\circ},$ 点P在 $△ A B C$ 外部，且 $∠ B P C = 4 5^{\circ},$ 若PC=6，求 $△ A P C$ 的面积.

(4)、如图4，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C,$ 点 E在四边形ABCD内部，且 $D E = E C, ∠ D E C = 9 0^{\circ},$ $∠ A E B = 13 5^{\circ}, A D = \sqrt{3}, B C = \sqrt{5},$ 求AB的长.

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20、【费马点】

(1)、【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1).这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：
如图2，把△APC绕A 点逆时针旋转60°得到 $△ A P_{1} C_{1}$ （点P 、C的对应点分别为点P₁、C₁)，连接PP₁.当B、P、P₁、C₁四点在同一直线上时，点P是△ABC的“费马点”.
证明过程如下：
由旋转可知 $△ A P C ≅ △ A P_{1} C_{1},$
则 $P_{1} C_{1} = P C, A P = A P_{1},$
$∵ ∠ P A P_{1} =$     ▲    ，
$∴ △ A P P_{1}$ 为等边三角形，
∴    ▲    ，
$P A + P B + P C = P P_{1} + P B + P_{1} C,$
∴当B、P、P₁、C₁四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值
最小，即点P 是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC=   ▲    .

(2)、【迁移应用】如图3，已知锐角△ABC，分别以AB， AC为边向外作正△ABE和正△ACD，连接CE、BD相交于P点， CE交AB于点M ， BD交AC于点N. 求∠CPD的度数.
（经过一定的证明我们可知：所得点P 也是△ABC的“费马点”)

(3)、【拓展提升】如图4， △ABC中， ∠ABC=60°，点P是△ABC内一点， AB=4， BC=6，求 PA+PB+PC的最小值.

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每日产量 x （千克)			306090120
每千克的成本y₁ （元)		5550		4540

年级	平均数	中位数	众数	优秀率
八年级	88	a	95	40%
九年级	88	88	b	35%

等级	A	B	C	D
成绩	95≤x≤100	95≤x<95	85≤x<90	x<85