相关试卷

1、如图，在菱形 $A B C D$ 中，点C在x轴上，点D的坐标为 $(7, 2)$ 、点B的坐标为 $(- 1, 2)$ ，则点C的坐标为．

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2、运用发现、探究、拓展解决下列问题．

(1)、发现：如图 $1$ 所示， $B D$ 是矩形 $A B C D$ 的对角线，作 $A F ⊥ B D$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ．求证： $△ A B E ∽ △ B C D$ ；

(2)、探究：如图 $2$ ，点 $G$ 是矩形 $A B C D$ 边 $B C$ 上一点，连接 $D G$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ D G$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $B G = G E$ ，若 $\frac{A B}{B C} = \frac{6}{11}$ ，探究 $\frac{A E}{D G}$ 的值；

(3)、拓展：在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 6$ ，点 $P$ 为 $B C$ 边上的三等分点，点 $E$ 和 $F$ 分别为直线 $A D$ 和 $B C$ 上的点，将矩形 $A B C D$ 沿直线 $E F$ 翻折，点 $P$ 恰好落在边 $C D$ 上的点 $Q$ 处，求 $\frac{E F}{P Q}$ 的值．

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3、已知：如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $B C$ 和 $A D$ 上，且 $D F = B E$ ．求证： $A E ∥ C F$ ．

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4、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象和 $△ A B C$ 都在第一象限内， $A B = A C = 5$ ， $B C ∥ x$ 轴，且 $B C = 8$ ，点 $A$ 的坐标为 $(8, 12)$ ．将 $△ A B C$ 向下平移 $m (m > 0)$ 个单位长度， $A$ ， $C$ 两点的对应点恰好同时落在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上，则 $k =$ ．

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5、综合与实践
弧形遮阳棚是一种非常实用的停车设施，既能够增加车棚整体的稳定性，承受更大的外力，又能使空气流通，减少车棚内部的气压，使得车棚内部环境更加舒适．图1是某弧形遮阳棚横截面的示意图，其中棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，棚顶的端点 $A$ 为该抛物线的最高点，点A到地面的距离为3米，棚顶与立柱的交点 $B$ 到地面的距离为 $2.36$ 米，且点A和点 $B$ 的水平距离为8米．
数学建模

(1)、在图1中，以地面为 $x$ 轴，以过点 $B$ 垂直于地面的直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系．设遮阳棚顶某处离立柱 $O B$ 的水平距离为 $x (米)$ ，该处离地面的高度为 $y (米)$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；
问题解决

(2)、现有一辆箱式货车需在遮阳棚下躲避暴晒，如图2是货车的截面图，已知货车的车身长约6米，车厢最高点与遮阳棚接触点 $P$ 离地面高约 $2.5$ 米，请通过计算说明这辆货车是否可以完全停进遮阳棚内；

(3)、为了让弧形遮阳棚更加稳固和美观，计划在遮阳棚两端侧面安装钢架．如图3所示，钢架分两段，其中一段连接点 $O$ 与点A，然后在棚顶上某处取点 $C$ ，在钢架 $O A$ 和棚顶之间竖直安装第二段钢架 $C D$ ．当第二段钢架 $C D$ 长度为 $1.89$ 米时，请通过计算说明应将钢架 $C D$ 安装在水平方向距离立柱 $O B$ 多远的位置．

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6、长治潞州六府塔，始建于隋代，塔身为八角形状，青砖砌筑，为密檐式结构塔，每个角内有方石砌筑其间，底层每个角由三垛砖雕斗拱支撑塔檐，转角部位有雕工华拱六挑，犹如木制雕刻结构形式.2010年在原址东侧35米处按原制复建新塔，与旧塔形成东西轴线．某数学兴趣小组利用所学知识开展以“测量潞州六府塔新塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告：

课题	测量潞州六府塔新塔的高度
测量工具	无人机，测角仪，秒表等
测量示意图
测量过程	如图1，测量小组使无人机在点C处竖直上升飞行至点D处，在点D处测得塔顶B的仰角为 $45 °$ ，塔底的俯角为 $32.5 °$ ，然后以 $3.9 m/s$ 的速度竖直上升 $20 s$ 飞行至点E处，测得塔顶B的俯角为 $22 °$ ．
说明	点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，C在同一水平线上， $A B ⊥ A C$ ．
参考数据	$sin 32.5 ° \approx 0.54$ ， $cos 32.5 ° \approx 0.84$ ， $tan 32.5 ° \approx 0.64$ ， $sin 22 ° \approx 0.37$ ， $cos 22 ° \approx 0.93$ ， $tan 22 ° \approx 0.40$ ．

请根据上述报告数据，求潞州六府塔新塔 $A B$ 的高度．（结果精确到1米）

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7、综合与实践：月历中的奥秘
【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？
【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“ $Z$ 型框”框住四个数 $a, b, c, d$ ．

(1)、用含 $a$ 的代数式表示 $b =$ __________； $d =$ __________．

(2)、【拓展探究】探究 $a d - b c$ 的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由．

(3)、【迁移运用】是否存在这样的 $Z$ 型框，使得 $a d = 2 b c$ ？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由．

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8、在校园读书节活动中，为了优化图书角的书架设计，学生会从图书馆的 $1200$ 本课外书中随机抽取了 $30$ 本作为样本，测量它们的厚度（单位： $mm$ ），并将数据整理如下：
组别
厚度/mm
频数/本
$A$
$10 \leq x < 20$
$5$
$B$
$20 \leq x < 30$
$9$
$C$
$30 \leq x < 40$
$12$
$D$
$40 \leq x < 50$
$4$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、抽取的 $30$ 本书厚度的中位数落在__________组（填组别字母）；

(2)、图书馆计划对厚度不小于 $30 mm$ 的书籍进行重点推荐，根据样本数据，估计这 $1200$ 本书中适合重点推荐的书籍数量；

(3)、复查时发现，样本中 $A$ 组有 $3$ 本书的厚度因装订错误异常偏薄，属于数据异常值．若剔除这 $3$ 个数据，剩余 $27$ 本书的统计量与原数据相比：
①平均数将__________（填“增大”“减小”或“不变”）；
②中位数所在的组别将__________（填“改变”或“不变”）．

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9、解方程： $\frac{3 x}{x + 1} - 1 = \frac{2}{1 + x}$ ．

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10、计算：

(1)、 $7 - (- 3) + (- 10)$ ；

(2)、 $- 1^{2026} \times [5 - {(- 3)}^{2}] + 6 \div (- \frac{3}{4})$ ．

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11、将平面直角坐标系平移，使原点 $O$ 移至点 $A (3, - 4)$ ，这时在新坐标系中原来点 $O$ 的坐标是．

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12、为迎接 $2026$ 年广西“三月三”，某校开展了“壮韵三月三”游园活动，其中兑奖处准备了一个不透明的抽奖箱，箱内装有绣球兑换券和铜鼓兑换券两种完全相同的奖券，其中绣球兑换券有 $18$ 张．为估算铜鼓兑换券的数量，工作人员设计了如下方案：每次从箱子中随机摸出一张奖券，记录奖项后放回，摇匀后再摸，重复多次后，统计数据如下表
摸奖券次数
$10$
$20$
$50$
$100$
$200$
摸到绣球兑换券次数
$7$
$13$
$28$
$59$
$121$
请根据以上数据，估算箱子中铜鼓兑换券的张数．

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13、如图，四边形 $O A B C$ 是菱形， $C D ⊥ x$ 轴，垂足为D，函数 $y = \frac{12}{x}$ 的图象经过点C，若 $C D = 4$ ，则菱形 $O A B C$ 的面积为（　　）

A、8 B、15 C、20 D、24

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14、广西首创的全区性县级足球主客场联赛（广西县超）正在火热开赛中，参加“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛60场，如果设有 $x$ 个队参加比赛，根据题意，列出方程为（）

A、 $x (x - 1) = 60$ B、 $x (x + 1) = 60$ C、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 60$ D、 $2 x (x - 1) = 60$

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15、为落实适老化改造要求，某老年大学对教学楼入口进行升级，将原有三级台阶改建为无障碍斜坡，方便老年学员通行．已知每级台阶高为 $20 cm$ ，深为 $30 cm$ ，设台阶的起点为 $A$ ，斜坡的起始点为 $C$ ，现设计斜坡的坡度 $i = 1 : 5$ ，则 $A C$ 的长度是（）

A、 $200 cm$ B、 $210 cm$ C、 $240 cm$ D、 $300 cm$

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16、若点 $A (x_{1}, - 2), B (x_{2}, - 3), C (x_{3}, 4)$ 均在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上，则 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ． B、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$ C、 $x_{2} < x_{3} < x_{1}$ D、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$

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17、若 $a > b$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $a + 3 < b + 3$ B、 $- 3 a > - 3 b$ C、 $a - 3 < b - 3$ D、 $\frac{a}{3} > \frac{b}{3}$

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18、如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若 $∠ 1 = 60 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $75 °$ B、 $80 °$ C、 $85 °$ D、 $90 °$

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19、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，点 $E$ 表示的数为（）

A、1 B、 $1 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{2}$

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20、某小区开展地震应急疏散演练，小广所住区域的逃生路线如图所示，他从入口 $A$ 出发前往避险点，行至每个岔路口选择前方两条线路的可能性相同，则小广到达 $H$ 避难点的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{5}$ D、 $\frac{1}{6}$

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组别	厚度/mm	频数/本
$A$	$10 \leq x < 20$	$5$
$B$	$20 \leq x < 30$	$9$
$C$	$30 \leq x < 40$	$12$
$D$	$40 \leq x < 50$	$4$

摸奖券次数	$10$	$20$	$50$	$100$	$200$
摸到绣球兑换券次数	$7$	$13$	$28$	$59$	$121$