相关试卷

1、计算：

(1)、 $10 + 5 \times (- 6)$ ；

(2)、 ${(- 2)}^{2} \times (\frac{1}{2} - \frac{5}{4})$ ．

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2、如图中棋子的摆放，是数学规律在视觉上的呈现，用大小相同的棋子按如下规律摆放图形，第6个图形的棋子数为个，第n个图形的棋子数为个．

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3、若 $|x - 2| = 5$ ，则 $x =$ ．

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4、在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西 $60 °$ 的方向，同时轮船B在南偏东 $15 °$ 的方向，那么 $∠ A O B$ 的大小为

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5、点A、B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是 $a$ 和 $b$ ，对于以下结论：
① $| 3 - a | = 3 - a$ ；② $| a + b | = a + b$ ；③ $|a| < |b|$ ；④ $\frac{b}{a} > 0$ ．其中正确的是（）

A、①② B、③④ C、①③ D、②④

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6、几个人共同种一批树苗，如果每人种10棵，则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，若设有 $x$ 人参加种树，则可以列出方程（）

A、 $10 x - 6 = 12 x + 6$ B、 $10 x + 6 = 12 x - 6$ C、 $\frac{x - 6}{10} = \frac{x + 6}{12}$ D、 $\frac{x + 6}{10} = \frac{x - 6}{12}$

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7、若关于 $x$ 的方程 $2 x - k x + 4 = 0$ 的解为 $x = 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、2 D、3

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8、鲁班锁（图1）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．（图2）是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的从正面看是（）

A、 B、 C、 D、

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9、地球与太阳的平均距离大约为 $150000000 k m$ ，用科学记数法表示这个距离为（　　）

A、1.5 $\times 1 0^{6} k m$ B、1.5 $\times 10^{7} k m$ C、1.5 $\times 10^{8} k m$ D、0.1 $5 \times 10^{8} k m$

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10、如果向东走8m记作 $+ 8 m$ ，那么向西走 $5 m$ 记作（）

A、 $+ 5 m$ B、 $- 5 m$ C、 $+ 8 m$ D、 $- 8 m$

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11、已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $P$ 为直线 $B C$ 上方一点（不与 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点重合），连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．

(1)、当 $∠ B P C = 60 °$ ，且线段 $C P$ 与 $A B$ 交于点 $D$ 时，
①如图1，若点 $D$ 为 $A B$ 的中点，求证： $P A = \frac{1}{2} P C$ ；
②如图2，若点 $D$ 为边 $A B$ 上任意一点，作 $A E ⊥ C P$ ，垂足为 $E$ ，试求 $\frac{C P - B P}{P E}$ 的值．

(2)、如图3，当 $∠ B P C = 120 °$ 时， $F$ 为边 $B C$ 的中点，连接 $P F$ ，
①求证： $∠ A C P = ∠ P B C$ ；
②试猜想 $∠ A P C$ 与 $∠ B P F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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12、【阅读材料】对于两个不等的非零实数 $a$ ， $b$ ，若关于 $x$ 的分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则解得 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．又因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以关于 $x$ 的方程 $x + \frac{a b}{x} - (a + b) = 0$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．例如：方程 $x + \frac{1 \times 2}{x} - (1 + 2) = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ．

(1)、【理解应用】方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} =$ ______， $x_{2} =$ ______．

(2)、【知识迁移】若方程 $x + \frac{5}{x} = 9$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、【拓展提升】若关于 $x$ 的方程 $\frac{x^{2} + 7}{x} = k$ 的解为 $x_{1} = t + 1$ ， $x_{2} = t + 2$ ，求 $k^{2} - 4 k + 8 t$ 的值．

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13、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点E，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A E$ ，垂足为点F，并交 $A D$ 于点G，且 $A F = C F$ ．

(1)、求证： $△ A F G ≌ △ C F E$ ；

(2)、试探究线段 $B E$ ， $A G$ 和 $A B$ 三者间的数量关系，并证明你的结论．

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14、由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购：

(1)、已知 $A$ 礼盒的单价比 $B$ 礼盒的单价贵30元，若用880元购买 $A$ 礼盒的数量恰好是用290元购买 $B$ 礼盒数量的2倍．设 $B$ 礼盒的单价为 $x$ 元，则 $A$ 礼盒的单价为元（直接用含 $x$ 的代数式表示），根据题意可列方程；

(2)、某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的 $1.5$ 倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B A$ 延长线上一点．

(1)、尺规作图并在图中标出相应的字母：在射线 $B D$ 的右侧，过点 $A$ 作射线 $A M ∥ B C$ ，并在射线 $A M$ 上截取 $A E = B C$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图中，求证：点 $F$ 为线段 $A C$ 的中点．

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16、如图， $C A = C D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $B C = E C$ ．求证： $A B = D E$ ．

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17、分解因式：

(1)、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ ；

(2)、 $12 x^{2} - 3 y^{2}$ ．

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18、计算：

(1)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 3 a) \div (3 a)$ ；

(2)、 $(3 x + 1) (x - 2)$ ．

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $B D$ ， $A B$ 上运动，则 $P A + P Q$ 的最小值是．

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20、如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种 $m$ 颗花种，则甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的倍．（注： $撒播密度 = \frac{花种数量}{撒播面积}$ ，结果保留 $π$ ）

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