相关试卷

1、《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 $x$ 天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）

A、 $240 x = 150 (x + 12)$ B、 $240 x = 150 (x - 12)$ C、 $150 x = 240 (x + 12)$ D、 $150 x = 240 (x - 12)$

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2、如图所示是一个吊灯，它可以大致看成由下列哪个平面图形绕虚线旋转一周得到？（）

A、 B、 C、 D、

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3、深圳南山博物馆典藏一批琉璃和陶瓷珍品，下面四个珍品中，从正面、左面看到的形状图不一样的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、篮球比赛前，需检测篮球的重量．如图，工作人员检测4个篮球，其中超过标准重量的克数记为正数，低于标准重量的克数记为负数，从重量的角度看，最接近标准重量的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、综合与实践
【探究背景】在数学中，我们称顶点都在单位长度为1的方格纸的横线与竖线交叉点（称为“格点”）上的多边形为“格点多边形”．其中有一个非常巧妙的公式——皮克公式，可以直接用格点多边形边上的格点数和内部的格点数来求出它的面积．
皮克公式：设一个格点多边形内部有 $a$ 个格点，边界上有 $b$ 个格点，则这个多边形的面积 $S$ 为： $S = a + \frac{b}{2} - 1$ ；
例如：图1中的格点四边形，内部有 $a = 2$ 个格点，边界上有 $b = 5$ 个格点（4个顶点也是边界格点）．根据皮克公式，其面积 $S = 2 + \frac{5}{2} - 1 = \frac{7}{2}$ ．
【验证发现】
（1）小明想验证公式的正确性，他发现可以用割补法来验证图1中的面积结果，请在图2中画出将该四边形割补为若干基本图形（如三角形、长方形等）的辅助线，并简要写出（或标注）计算过程，以验证其面积；
【逆向思考】已知一个格点多边形面积为 $\frac{9}{2}$ ，其内部格点数 $a = 3$ ．
（2）①根据公式 $S = a + \frac{b}{2} - 1$ ，可得边界格点数 $b =$ __________；
②小亮认为，只要知道了面积 $S$ 和内部格点数 $a$ ，就能用公式唯一确定边界格点数 $b$ ，进而能唯一确定该格点多边形的形状，你同意他的说法吗？若不同意，请在图3，4方格纸上分别画出两个满足①的条件但形状不同的格点多边形．
【公式辨析】（3）皮克公式对于图5所示的“特殊”格点形（其中 $\overset{⌢}{A B}$ 为半圆）还成立吗？如果不成立，请通过计算说明．
【总结反思】皮克公式通过内部与边界格点数精确表达面积，揭示了离散结构与几何度量之间的深刻联系．若将正方形网格替换为长方形、等边三角形或正六边形网格，是否仍存在类似的面积规律？这一追问可引导我们超越具体形式，探索数学模型背后的普遍原理，进而理解几何、代数与离散数学的内在关联．

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6、如图，将两块含 $90 °$ 角的三角板的直角顶点 $C$ 重合放置，得到如下图形，其中 $∠ A C D = ∠ E C B = 90 °$ ．

(1)、若 $∠ A C E = 35 °$ ，则 $∠ D C B =$ __________；

(2)、若 $∠ A C B = 140 °$ ，求 $∠ D C E$ 的度数；

(3)、猜想 $∠ A C B$ 与 $∠ D C E$ 的和是否为定值，并说明理由．

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7、为丰富校园体育文化，深圳高级中学（集团）学生会计划举办一场“深高杯”校级球类联赛．为更好地满足学生的运动偏好，体育组陈老师设计了一份调查问卷，并随机抽取了部分初中部学生进行调查，以了解本校学生最喜爱的球类运动项目情况．

“深高杯”校级球类联赛学生意向调查问卷

同学你好！

为更好地举办校园球类联赛，丰富同学们的课余生活，现邀请你参与本次问卷调查．请根据你的实际情况和喜好，完成以下问题．本问卷不记名，数据仅用于统计分析，谢谢你的参与！

1．基本信息（请在对应选项前打“√”）

（1）你的性别：□男 □女

（2）你所在的年级：□七年级 □八年级 □九年级

2．运动偏好调查

你最喜爱的球类运动项目是（只能选一项）：

□A．羽毛球 □B．乒乓球 □C．篮球

3．可选补充（可不填）

你对本次“深高杯”球类联赛的组织形式或项目设置，是否有其他建议？

根据调查结果，陈老师绘制出如下统计图．

请根据信息，完成下列问题：

(1)、被调查的八年级学生中，喜欢乒乓球的人数

m =

__________人；被调查的九年级学生中，喜欢篮球的人数

n =

__________人；

(2)、本次调查中，“最喜欢的球类运动项目”属于_________（填“定性数据”或“定量数据”）；

(3)、若该学校九年级共有

900

名学生，估计该九年级喜欢篮球的人数为_____人．

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8、如图1，深圳高级中学（集团）中心校区位于地图中的点 $A$ ，南校区位于点 $B$ ．深圳国际交流中心核心场馆 $P$ 点位于图1中的圆形区域内，其位置满足以下几何条件：如图2，已知 $∠ A B P = ∠ 1$ ，且 $B P = 2 a$ （其中 $a$ 为图2中给出的线段长度）．

(1)、请用无刻度的直尺和圆规，在图1中作出符合条件的核心场馆 $P$ 的位置，保留作图痕迹，不用写出作法和理由；

(2)、小深操控的无人机沿直线从中心校区 $A$ 直接飞往核心场馆 $P$ ，所用时间为 $t_{1}$ ．小高操控的无人机沿折线从中心校区 $A$ 先飞到南校区 $B$ ，再从 $B$ 飞往核心场馆 $P$ ，共用时 $t_{2}$ ．若两架无人机速度相同且一直保持匀速，则 $t_{1}$ $t_{2}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．由此可得出数学中的一个基本事实：（请用文字完整写出）．

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9、先化简，再求值： $4 y^{2} - (x^{2} - y) + (2 x^{2} - 4 y^{2})$ ，其中 $x = - 2, y = 1$ ．

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10、（1）计算： $|- 1| \div \frac{1}{3} - {(- 2)}^{2}$ ；
（2）解方程： $\frac{1}{7} (x + 14) = \frac{1}{4} (x + 20)$ ．

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11、有 $7$ 张如图1的小长方形，长为 $a$ ，宽为 $b$ ，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$ 内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设长方形右上角的面积为 $S_{1}$ ，左下角的面积为 $S_{2}$ ，当 $A B$ 的长度发生变化时， $3 S_{1} - 5 S_{2}$ 的值始终保持不变，则小长方形的长 $a$ 与宽 $b$ 的比 $\frac{a}{b} =$ ．

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12、当 $x$ 增大时，代数式的值也跟着增大，我们把这样的代数式叫做“关于 $x$ 的递增代数式”，下列是“关于 $x$ 的递增代数式”的是．（填序号）
① $- 2 x$ ；② $2 x + 1$ ；③ $x^{2} - 4 x$ ．

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13、如图， $O C$ 是 $∠ A O B$ 的平分线， $∠ B O D = \frac{1}{3} ∠ C O D$ ， $∠ B O D = 15 °$ ，则 $∠ A O D =$ $°$ ．

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14、已知 $x = 5$ 是关于 $x$ 的方程 $a x - 4 x + 5 = 0$ 的解，则 $a$ 的值为．

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15、如图，某社区有 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个居民小区，依次排列在一条直线上．社区计划设立一个健康服务站，为各小区居民提供体检服务．经统计，四个小区的常住老年人口数分别为： $A$ 小区 $20$ 人， $B$ 小区 $10$ 人， $C$ 小区 $20$ 人， $D$ 小区 $20$ 人．已知相邻两个小区之间的步行距离相等．若要使所有老年居民步行到服务站的总距离之和最短，服务站应该设在哪个小区（）

A、 $A$ 小区 B、 $B$ 小区 C、 $C$ 小区 D、 $D$ 小区

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16、将正方体沿图中加粗的棱剪开，它的展开图正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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17、我国古代著作《算法统宗》中记载了一首古算题：“绢若干匹，分与多人．每人四匹，盈五匹；每人六匹，不足三匹．问绢几何？”其大意：“有一批绸缎，要分给一群人．如果每人分 $4$ 匹，会多出 $5$ 匹；如果每人分 $6$ 匹，会缺少 $3$ 匹．问：这批绸缎总共有多少匹？”设绢有 $x$ 匹，则可列方程为（）

A、 $\frac{x - 5}{4} = \frac{x + 3}{6}$ B、 $4 x + 5 = 6 x - 3$ C、 $\frac{x}{4} - 5 = \frac{x}{6} + 3$ D、 $6 (x + 5) = 4 (x - 3)$

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18、下列说法正确的是（）

A、若 $| a | + a = 0$ ，则 $a$ 为负数 B、 $| a | + 1$ 一定是正数 C、若 $| a | = | b |$ ，则 $a = b$ D、若 $| a | > | b |$ ，则 $a - b$ 是正数

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19、下列计算正确的是（）

A、 $5 a b - 5 = a b$ B、 $3 a - 2 a = a$ C、 $4 a + 3 b = 7 a b$ D、 $a^{2} + a^{2} = 4 a^{2}$

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20、深圳作为现代化国际大都市，拥有众多标志性建筑．下表列出了四大标志性建筑的当前高度（单位：米），若需直观比较各建筑的高度差异，最适合使用的统计图是（）
建筑名称
平安金融中心
京基100大厦
中国华润大厦
地王大厦
高度（米）
599
442
393
384

A、条形统计图 B、折线统计图 C、扇形统计图 D、都可以

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建筑名称	平安金融中心	京基100大厦	中国华润大厦	地王大厦
高度（米）	599	442	393	384