相关试卷

1、数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
已知 $p + q + 2 r = 1 ， p^{2} + q^{2} - 8 r^{2} + 6 r - 5 = 0$ ，求代数式 pq-qr- rp的值.
通过你的运算，代数式 pq-qr-rp的值为

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2、阅读材料：整体代入求值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2，求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程 ax+b=3的解，则代数式 $4 a^{2} + 4 a b + b^{2} + 4 a + 2 b - 1$ 的值是.

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3、若x+2y-3=0，则3^x·9^y=.

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4、我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 $x^{2} + 10 x =$ ( )

A、12 B、16 C、20 D、24

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5、如图，⊙O是锐角三角形ABC 的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，连结 DE，EF，FD.若 DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( )

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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6、已知a是方程 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的一个根，则 $- 4 a^{2} + 6 a$ 的值为 ( )

A、10 B、-10 C、2 D、-40

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7、【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.费马曾写信请托里拆利解答如下问题：如图R5-5①，给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马一托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点
A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'，连结 PP'，
∴∠PAP^'=60°，AP=AP^' ， PC=P^'C^' ，
∴△APP'为等边三角形，∴AP=PP'，
$∴ P A + P B + P C = P P^{'} + P B + P^{'} C^{'} .$
点 C'可看成是点 C 绕点 A 逆时针旋转 60°而得的定点，BC为定长，
∴当 B，P，P'，C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.

(1)、观察图②中∠APB，∠BPC和∠APC，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、【类比探究】如图③，在 Rt△ABC内部有一动点 P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结PA，PB，PC，若 BC=2，求 PA+PB+PC的最小值；

(3)、【拓展应用】如图④，已知正方形AB-CD内一动点 P 到A，B，C三点的距离之和的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6} ，$ 求此正方形的边长.

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8、阅读材料，解答下列问题：
材料：已知. $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1 ，$ 求 $\sqrt{15 - x} +$ $\sqrt{8 - x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的：
$∵ (\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
=15-x-8+x=7，
$∴ \sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7 .$
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7 .$

(1)、求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值；

(2)、求x的值.

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9、定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

(1)、如图①，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，对角线 DB 平分∠ADC，求证：四边形ABCD为邻等四边形；

(2)、如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点 D；

(3)、如图③，四边形 ABCD 是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过点 B 作 BE∥AC交DA 的延长线于点E.若AC=8，DE=10，求四边形 EBCD的周长.

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10、定义：对于y关于x的函数，函数在 $x_{1} \leq x \leq x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内的最大值，记作M[x₁ ， x₂].
如函数y=2x，在-1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[-1，3]=6.
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 $y = (a - 1) x^{2} - 4 x + a^{2} - 1$ (a为常数).

(1)、若a=2.
①直接写出该函数的表达式，并求 M[1，4]的值；
②已知 $M [p, \frac{5}{2}] = 3 ，$ 求p的值.

(2)、若该函数的图象经过点(0，0)，且.M[-3，k]=k，求k的值.

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11、在数轴上，点A表示的数是4，点O表示的数是0，点 P 表示的数是p(p≠0).定义：点 B在线段OP 上，如果线段 AB的长度有最大值m，则称m为点 A与线段OP的“闭距离”.例如：p=2，当点 B 与点 O重合时，m=4.若p=-2，则m的值是( )

A、2 B、4 C、5 D、6

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12、对于一个二次函数 y=a(x- ${m)}^{2} + k (a \neq 0)$ 中存在一点 P(x'，y')，使得x'- $m = y^{'} - k \neq 0 ，$ 则称 $2 ∣ x^{'} - m ∣$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ 的“开口大小”为.

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13、如图 R4-12，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系.

(1)、过点 A，B，C的圆的圆心M 的坐标为；

(2)、请通过计算判断点 D(-3，-2)与⊙M的位置关系.

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14、如图，点 A 是 5×5 网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以点 A 为其中的一个顶点，面积等于 $\frac{5}{2}$ 的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数为( )

A、10个 B、12个 C、14 个 D、16个

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15、如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点 C，D，则cos∠ADC的值为.

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16、如图是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上.按如下要求利用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹，不写作法).

(1)、如图①，画出△ABC的中线AD；

(2)、如图②，在△ABC的边 BC 上找一点E，使得∠BAE=45°；

(3)、如图③，在△ABC的边 BC 上找一点 F，连结 AF，使△ABF的面积为 1.

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17、如图，在5×5的方格纸中，请按要求画格点图形(顶点均在格点上).

(1)、在图①中画一个△ABC，使点 C在AB 的中垂线上；

(2)、在图②中画一个△ABC，使点 B 在AC 的中垂线上.

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18、如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.

(1)、如图①，在△ABC内寻找格点 P，使得∠BPC=2∠A；

(2)、如图②，在线段AC上找一点 Q，使得 $\frac{A Q}{C Q} = \frac{1}{2} .$

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19、如图，各图形顶点都在小正方形的格点上，分别根据下列要求画出图形.

(1)、在图①中，在BC上找一点D，使得AD平分△ABC的面积；

(2)、在图②中，在 BC上找一点E，使得AE 将△ABC分成面积比为1：2 的两部分.(找到一个即可)

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20、图①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形(顶点均在格点上).

(1)、在图①中以 AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD；

(2)、在图②中以点 E 为顶点画一个菱形EF-GH，使得S_菱形EFGH=2S_{四边形ADBC} ，

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