相关试卷

1、 $2026$ 年亚太经合组织（ $APEC$ ）会议将在深圳举行，据官方数据显示，其核心场馆深圳国际交流中心总建筑面积约为 $430000$ 平方米， $430000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $4.3 \times 10^{4}$ B、 $43 \times 10^{4}$ C、 $4.3 \times 10^{5}$ D、 $0.43 \times 10^{6}$

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2、已知二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3 (m \neq 0)$ ．
【特例分析】
（1）当 $m = - 2$ ， $- 1$ ， 2时，其图象对应为图中的 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ ，观察图象：发现二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 恒过两个定点分别为______，______，对称轴为______；
【性质运用】
（2）将函数 $y = m x^{2} - 2 m x + 3$ 图象向下平移 $4 |m|$ 个单位，若所得图象的顶点落在 $x$ 轴上，求 $m$ 的值；
（3）已知点 $P (\frac{1}{2}, 6 - m)$ ， $Q (\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ ，线段 $P Q$ 与此函数图象有且只有一个公共点 $m$ 的取值范围为______．

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3、光的折射．

物理常识

光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射．

当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角 $α$ 的正弦与折射角 $β$ 的正弦之比（ $α$ ， $β$ 均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号 $n$ 表示，即 $n = \frac{sin α}{sin β}$

【概念理解】

（1）如图①，若入射角 $α$ 的度数为 $60 °$ ，折射率 $n = \sqrt{3}$ ，求折射角 $β$ 的度数．

（2）如图②，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = 2$ ， $P A$ 是入射光线，点 $A$ 是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线 $A Q$ ．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

【深入思考】

（3）如图③，直线 $l$ 是真空与某种介质的分界线，折射率 $n = \frac{4}{3}$ ，直线 $l$ 上有一个位置固定的遮光板 $A B$ ，且 $M$ 是 $A B$ 的中点；在直线 $l$ 下方有一个圆形区域 $⊙ O$ ，且 $⊙ O$ 与 $A B$ 相切于点 $M$ ．点光源 $P$ 在直线 $l$ 的上方，经过遮光板 $A B$ 的遮挡，使得折射光线不能进入 $⊙ O$ 的内部，已知 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ．（假设入射光线在端点 $A$ ， $B$ 处能够发生折射），求点光源 $P$ 到直线 $l$ 的距离的最大值．

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4、太原首座斜拉桥——太原绕城高速公路西北环汾河矮塔斜拉桥，其主跨跨径为 $150$ 米，在同类矮塔斜拉桥结构中跨径为中国第一．某数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，计划运用所学知识测量桥面上桥塔的高度，制定了如下方案：
【数据采集】：如图，点 $A$ 是桥塔顶部一点， $A B$ 即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点 $C$ 处时，测得桥塔顶部 $A$ 处的俯角 $∠ D C A = 37 °$ ，底部 $B$ 处的俯角 $∠ D C B = 59 °$ ，沿水平方向由点 $C$ 飞行 $56$ 米到达点 $D$ 处，在 $D$ 处测得 $A$ 处的俯角． $∠ D = 45 °$ ，已知图中各点均在同一竖直平面内；
【数据应用】：
（1）请根据以上数据求桥塔 $A B$ 的高度(结果精确到1米．参考数据： $sin 59^{\circ} \approx 0.86 ， cos 59^{\circ} \approx 0.52 ， tan 59^{\circ} \approx 1.66 ， sin 37 \approx 0.60 ， cos 37^{\circ} \approx 0.80 ， tan 37^{\circ} \approx 0.75$ )；
【方案反思】：
（2）某同学对该测量方案提出改进建议：考虑到现代无人机能实时显示点 $C$ 到水平地面 $E F$ 的距离，则可减少需要采集的数据，请直接写出原数据采集方案( $37 ° ， 59 °$ ， $56$ 米， $45 °$ ）中至多可以删减的数据为．

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5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = 2 x + 4$ 的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于C，D两点，点C的坐标为 $(n ， 6)$ ．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、求点D的坐标；

(3)、当 $\frac{k}{x} > 2 x + 4$ 时，直接写出x的取值范围．

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6、如果一个四边形存在一条对角线把它分割成两个相似比不为1的相似三角形，那么就称这个四边形为“相似分割四边形”．如图，已知一个四边形 $A B C D$ 是“相似分割四边形”， $A B = A D$ ， $B C = 2 A D$ ， $A D ∥ B C$ ，那么该四边形最小内角的余弦值是．

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7、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，且 $A B ⊥ C D$ ，垂足为点 $H$ ，如果 $A H = C D = 8$ ，那么 $A O$ 的长为．

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8、在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，如果 $B C = 5$ ， $A B = 13$ ，那么 $cos A =$ ．

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9、在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A 、 ∠ B 、 ∠ C$ 所对的边分别记为a、b、c，那么下列等式中，成立的是（）

A、 $c = a \cdot \sin A + b \cdot \sin B$ ； B、 $c = a \cdot \cos A + b \cdot \cos B$ ； C、 $c = a \cdot \sin B + b \cdot \sin A$ ； D、 $c = a \cdot \cos B + b \cdot \cos A$ ．

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10、许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．某商场“飞梯”从2层直达5层，“飞梯”的截面如图， $A B$ 的长为50米， $A B$ 与 $A C$ 的夹角为 $24 °$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、 $50 \cos 24 °$ B、 $50 \sin 24 °$ C、 $\frac{50}{\cos 24 °}$ D、 $\frac{50}{\sin 24 °}$

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11、若点 $(4, - 3)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象上，则下列各点在该图象上的是（）

A、 $(6, 2)$ B、 $(4, 3)$ C、 $(- 4, - 3)$ D、 $(- 6, 2)$

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12、在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (a, b)$ ， $B (p, q)$ ，若点 $T (x, y)$ 满足 $x = a + p$ ， $y = b + q$ ，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如： $A (- 1, 2)$ ， $B (3, 4)$ ，当点 $T (x, y)$ 满足 $x = - 1 + 3 = 2$ ， $y = 2 + 4 = 6$ 时，则点 $T (2, 6)$ 是点A，B的“合作点”．

(1)、已知点 $A (3, - 2)$ ， $B (- 1, 6)$ ，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；

(2)、若点 $A (a, b)$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2$ 上一动点，点 $B (1, 1)$ ，点 $T (x, y)$ 是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式；

(3)、把（2）中y关于x的函数图象向上平移3个单位得到新函数图象G，设新函数G的图象与y轴交于点C，直线 $y = x + m$ 上总有点D，使得点C，D的“合作点”T落在新函数G的图象上，求出m的取值范围．

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13、高邮是一座历史悠久，文化底蕴深厚的国家历史文化名城，拥有独特的非物质文化遗产，文化名人辈出．某公司组织一批员工到高邮游玩，支付给旅行社29250元．该旅行社的收费标准如下表：
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费800元
超过30人
每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元
求该公司参加旅游的员工人数．

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14、，直线 $y = - x + 2$ 与y轴交于点A，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图像交于点C，过点C作 $C B ⊥ x$ 轴于点B， $A O = 2 B O$ ．

(1)、求点B的坐标；

(2)、求反比例函数的解析式．

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15、已知：如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ E A C = ∠ D = 60 °$ ．求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

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16、一张长方形桌旁设有6个座位，甲、乙到达时，发现丙和丁已经先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2人只能等可能性地坐到①②③④中的2个座位上．

(1)、甲坐在①号座位的概率是；

(2)、用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率．（如丙和丁，丙和①均称相邻而坐）．

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17、解下列方程：

(1)、 $x^{2} = 81$

(2)、 $x (x + 4) = - 3 (x + 4)$

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18、如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，且线段 $A B$ ， $C D$ 都与地面平行，抛物线最高点 $P$ 到 $A B$ 的距离为 $0.6 m$ ， $A B = 2 m$ ， $C D = 4 m$ ，则点 $B$ 到 $C D$ 的距离为 $m$ ．

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19、设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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20、古语云“八月十五云遮月”，这是一个事件 $．$ （填“必然”、“不可能”或“随机”）

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旅游人数	收费标准
不超过30人	人均收费800元
超过30人	每增加一人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元