相关试卷

1、如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点 $O$ 处，并将其吊起．在中点 $O$ 左侧固定位置 $B$ 处悬挂重物 $A$ ，在中点 $O$ 右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点 $O$ 的距离 $x (c m)$ ，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数 $y (N)$ 的变化情况．实验数据记录如下：
$x$
…
4
6
8
10
12
…
$y$
…
9
6
4.5
3.6
3
…

(1)、把表中 $x$ ， $y$ 的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出 $y (N)$ 与 $x (c m)$ 之间的函数关系式；

(2)、当弹簧秤的示数为 $5 N$ 时，弹簧秤与 $O$ 点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与 $O$ 点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？

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2、如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = A D$ ， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $B C$ ， $C D$ 上， $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ， $A F$ 交 $B C$ 的延长线于点 $G$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 为菱形；

(2)、求证： $A E^{2} = E C \cdot E G$ ；

(3)、如图2，连接 $B D$ 交 $A E$ 于点 $H$ ，若 $A B = 5$ ， $C G = 6$ ，当 $A E ⊥ B C$ 时，求 $B H$ 的值．

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3、如图，在平面直角坐标系中，正比例函数 $y = \frac{4}{3} x$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）的图象相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $A C ⊥ x$ 轴于点 $C (3, 0)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ，连接 $B C$ 、 $B D$ ．

(1)、求该反比例函数的表达式；

(2)、在该反比例函数的图象上是否存在点 $E$ ，使得 $△ A C E$ 的面积与 $△ B C D$ 的面积相等？若存在，请求出点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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4、如图， $△ A B C$ 为 $⊙ O$ 的内接三角形， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，将 $△ A B C$ 沿直线 $A B$ 翻折到 $△ A B D$ ，点D在 $⊙ O$ 上．连接 $C D$ ，交 $A B$ 于点E ，延长 $B D$ ， $C A$ ，两线相交于点P ，过点A作 $⊙ O$ 的切线交 $B P$ 于点G ．

(1)、求证： $A G ∥ C D$ ；

(2)、求证： $P A^{2} = P G \cdot P B$ ；

(3)、若 $s i n ∠ A P D = \frac{1}{3}$ ，求 $t a n ∠ A G B$ 的值．

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5、如图，某数学兴趣小组利用相似的知识和光的反射定律（反射角等于入射角）在综合实践活动中测量崇文塔的高度 $A B ．$
【测量步骤】某一时刻崇文塔的影长为 $B E$ ，同一时刻小明站在地面上的点 $D$ 处时，小明影子的顶端也在E处，在地面上的 $F$ 处放置一块平面镜（大小忽略不计），小明沿 $B E$ 移动至点 $H$ 处时，恰好从平面镜 $F$ 中看到崇文塔的顶端 $A$ ；
【测量数据】经过测量可知 $C D = G H = 1.6 m$ ， $D E = 2 m$ ， $D F = 57 m$ ， $F H = 3 m$ ．已知点 $B 、 D 、 E 、 F 、 H$ 在同一条直线上，且 $A B ⊥ B H$ ， $C D ⊥ B H$ ， $G H ⊥ B H$ ，请你根据以上测量步骤及所得数据求出崇文塔的高度 $A B$ ．

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6、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知反比例函数 $y = \frac{k - 1}{x} (k > 1)$ 的图象经过点 $A (2, m)$ ，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B ，且 $△ A O B$ 的面积为 $5$ ．

(1)、求k和m的值；

(2)、当 $x \geq 8$ 时，求函数值y的取值范围．

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7、计算： $- 2 \cdot c o s 45 ° + {(π - 3.14)}^{0} + | 1 - \sqrt{2} | + {(\frac{1}{4})}^{- 1} - \sqrt[3]{- 27}$

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8、如图，在正方形 $A B C D$ 中， $F$ 为边 $A D$ 上一点，连接 $C F$ ， $D E ⊥ F C$ 于点 $E$ ，连接 $A E$ 、 $B E$ ，过 $A$ 作 $A H ⊥ B E$ 于点 $H$ ，已知 $∠ B E C + ∠ F D E = 90 °$ ， $t a n ∠ F D E = \frac{1}{2}$ ， $C E = 2 \sqrt{10}$ ，则 $A H$ 的长为．

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9、如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间 $B$ 点垂直起飞到高度为60米的 $A$ 处，测得1号楼顶部 $E$ 的俯角为 $6 0^{°}$ ，测得2号楼顶部 $F$ 的俯角为 $4 5^{°}$ ．已知1号楼的高度为27米，则2号楼的高度为米（结果保留根号)．

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10、如图，菱形 $A B C D$ 中， $B C = 10$ ，面积为60，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ，过点A作 $A E ⊥ B C$ ，垂足为E ，连接 $E O$ ，则 $t a n ∠ A E O =$ ．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 5, A C = 12, ∠ C = 90 °$ ，以点B为圆心， $B C$ 长为半径画弧，与 $A B$ 交于点D ，再分别以 $A, D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} A D$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $M, N$ ，作直线 $M N$ ，分别交 $A C, A B$ 于点 $E, F$ ，连接 $D E$ ，则 $△ A E D$ 的周长为．

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12、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图像与矩形 $O A B C$ 的边 $A B$ ， $B C$ 分别相交于点 $M$ ， $N$ ，已知 $O A = 4$ ， $A B = 2$ ， $△ M O N$ 的面积为 $\frac{7}{2}$ ，则 $△ M N B$ 的面积为．

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13、已知四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $E F G H$ ，且 $\frac{A B}{E F} = \frac{3}{5}$ ，若四边形 $E F G H$ 的周长为15，则四边形 $A B C D$ 的周长为．

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14、已知，正比例函数 $y = m x (m > 0)$ 的图象与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于点A、B ．点A与点C关于x轴对称，连接 $A C, B C$ ，若 $△ A B C$ 的面积为12，则k的值为．

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15、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $R t △ A B C$ 的顶点A的坐标为 $(- 4, - 2)$ ，边 $A B$ 经过原点O ， $A C ∥ x$ 轴，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象经过点A和边 $A B$ 的中点P ，则 $B C$ 的长为（）

A、12 B、9 C、8 D、2

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16、已知，如图所示的一张三角形纸片 $A B C$ ，边 $A B$ 的长为 $20 c m$ ， $A B$ 边上的高为 $25 c m$ ，在三角形纸片 $A B C$ 中从下往上依次裁剪去宽为 $4 c m$ 的矩形纸条．若剪得的其中一张纸条是正方形，则这张正方形纸条是（）

A、第5张 B、第6张 C、第7张 D、第8张

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17、 $c o s 60 ° + \sqrt{2} \cdot s i n 45 °$ 的值等于（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + 1$ D、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$

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18、若点 $A (- 3, y_{1})$ ， $B (2, y_{2})$ ， $C (3, y_{3})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{18}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（　　）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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19、阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题：
【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 ${(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} \geq 0$ ，即 $a + b - 2 \sqrt{a b} \geq 0$ ，
∴ $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号，此时 $a + b$ 有最小值为 $2 \sqrt{a b}$ ；
【实例展示1】已知 $x > 0$ ，求式子 $x + \frac{9}{x}$ 最小值．
解： $x + \frac{9}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{9}{x}} = 6$ ，当且仅当 $x = \frac{9}{x}$ ， ∵ $x > 0$ ，即 $x = 3$ 时，式子有最小值为6．
【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
【实例展示2】如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ 这样的分式就是假分式；如 $\frac{3}{x + 1}$ ， $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ 这样的分式就是真分式，假分数 $\frac{7}{4}$ 可以化成 $1 \frac{3}{4}$ 带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如
$\frac{x - 1}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ $= \frac{(x^{2} - 1) + 1}{x - 1} = \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} = x + 1 + \frac{1}{x - 1}$ ．
【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，则当 $x =$ 时，式子 $x + \frac{16}{x}$ 取得最小值，最小值为；

(2)、分式 $\frac{3}{x}$ 是（填“真分式”或“假分式”）；假分式 $\frac{x + 6}{x + 1}$ 可化为带分式形式为；如果分式 $\frac{x + 6}{x + 4}$ 的值为整数，则满足条件的整数x的值有个；

(3)、用篱笆围一个面积为 $225 m^{2}$ 的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？

(4)、已知 $x > 1$ ，当x取何值时，分式 $\frac{x - 1}{x^{2} - 2 x + 5}$ 取得最大值，最大值是多少？

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20、阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数 $m$ 、 $n$ ，使 $m^{2} + n^{2} = a$ 且 $m n = \sqrt{b}$ ，则可将 $a \pm 2 \sqrt{b}$ 化为 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n$ ，即 $(m \pm n)^{2}$ ，从而使得 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 化简．
例如， $5 + 2 \sqrt{6} = 3 + 2 + 2 \sqrt{6} = （ \sqrt{3} ）^{2} + （ \sqrt{2} ）^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}$ ，
所以 $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ．
请仿照上例化简下列根式。

(1)、 $\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} =$ ；

(2)、 $\sqrt{19 - 4 \sqrt{15}} =$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}} + \frac{1}{\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}} + \frac{1}{\sqrt{7 + 2 \sqrt{12}}} + \frac{1}{\sqrt{9 + 2 \sqrt{20}}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{4051 + 2 \sqrt{2025 \times 2026}}}$ ．

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$x$	…	4	6	8	10	12	…
$y$	…	9	6	4.5	3.6	3	…