相关试卷

1、已知 $a < b$ ，下列不等式一定成立的是（）

A、 $a c < b c$ B、 $a c^{2} < b c^{2}$ C、 $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ D、 $2 a < 2 b$

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2、下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a = a^{2}$ B、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ C、 ${(- \frac{3}{2 a})}^{3} = - \frac{9}{8 a^{3}}$ D、 $a^{2} b - 2 b a^{2} = - a^{2} b$

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3、如图， $A B ∥ C D$ ，点E 在 $C D$ 上，连接 $B C, B E$ ，若 $B C$ 平分 $∠ A B E, ∠ B E D = 46 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $26 °$ B、 $23 °$ C、 $22 °$ D、 $21 °$

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4、如图，半径为2的 $⊙ O$ 中，弦 $B C$ 的长度为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $A$ 是优弧 $B C$ 上的一个动点，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点 $F$ ，交圆 $O$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、当点 $A$ 沿着优弧 $B C$ 从点 $B$ 开始，顺时针运动到点 $C$ 时，求 $△ A B C$ 的内心点 $E$ 所经过的路径的长度；

(3)、连接 $O E$ ，设 $O E = x, A E = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式和 $A E$ 的最大值．

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5、已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴只有一个公共点．

(1)、若抛物线过点 $P (0, 1)$ ，求 $c$ 的值，并用含 $b$ 的式子表示 $a$ ；

(2)、已知点 $P_{1} (- 2, 1) ， P_{2} (2, - 1) ， P_{3} (2, 1)$ 中恰有两点在抛物线上．
①求抛物线的解析式；
②设直线 $l ： y = k x + 1$ 与抛物线交于 $M ， N$ 两点，点 $A$ 在直线 $y = - 1$ 上，且 $∠ M A N = 90 °$ ，过点 $A$ 且与 $x$ 轴垂直的直线分别交抛物线和 $l$ 于点 $B ， C$ ．求证： $△ M A B$ 与 $△ M B C$ 的面积相等．

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6、如图， $△ A B C$ 中， $A B = 4 \sqrt{2} ， D$ 为 $A B$ 中点， $∠ B A C = ∠ B C D ， cos ∠ A D C = \frac{\sqrt{2}}{4} ， ⊙ O$ 是 $△ A C D$ 的外接圆．

(1)、求 $B D$ 和 $B C$ 的长；

(2)、利用尺规作图，过点 $A$ 作线段 $C D$ 垂线，交 $C D$ 于点 $E$ ，保留作图痕迹；

(3)、求 $⊙ O$ 的半径．

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7、【阅读理解】
在学习了《锐角三角函数》这一章内容后，我们知道了 $30 °$ ， $60 °$ ， $45 °$ 这几个特殊角的三角函数值，我们还能求出 $\tan 15 °$ 的值．

如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $A C = 1$ 延长 $C B$ 到点D，使 $D B = A B$ ，则有 $∠ D = 15 °$
在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 30 °$    ∴ $A B = B D = 2$     $B C = \sqrt{3}$
在 $Rt △ A C D$ 中    $\tan D = \frac{A C}{D C} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$
∴ $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ ．

(1)、【实际应用】2022年北京冬奥会持续点燃了群众们的冰雪热情，在“大力发展寒地冰雪经济”的黄金发展时期，西宁市某滑雪场为满足青少年滑雪初学者的需求，设计了一条滑道 $A B$ ，如图2所示，滑道的坡角 $∠ B = 15 °$ ，水平宽度 $B C = 100 m$ ．请根据以上材料提供的数据，求出图2中滑道的铅直高度AC是多少米？（结果取整数，参考数据 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）．

(2)、【类比探究】如果滑雪场准备再建一条坡角为22.5°的滑道，你能根据图3求出 $\tan 22.5 °$ 的值吗？
类比上面提供的方法，请你将下列探究过程补充完整：
解： $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 45 °$ ， $A C = 1$


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8、中国新能源产业强势崛起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，诞生了像比亚迪、小米、小鹏、蔚来和理想等一批优秀的新能源车企.2024年，中国新能源汽车产销量均突破1280万辆，连续10年位居全球第一、在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图．
类型
人数
百分比
纯电
$m$
$54 %$
混动
$n$
$a %$
氢燃料
3
$b %$
油车
5
$c %$
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查活动随机抽取了___________人；表中 $a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、请补全条形统计图：

(3)、若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人．

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9、解分式方程： $\frac{3}{x + 1} = \frac{x}{x - 1} - 1$

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10、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，点 $E$ ，点 $F$ 分别是边 $B C$ ，边 $C D$ 上的动点，且 $B E = C F ， A E$ 与 $B F$ 相交于点 $P ． ∠ A P B =$ ，若点 $M$ 为边 $B C$ 的中点，点 $N$ 为边 $C D$ 上任意一点，则 $M N + P N$ 的最小值等于．

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11、2025年政府工作报告指出2024年全国经济运行总体平稳、稳中有进，国内生产总值达到134.9万亿元、增长 $5 %$ ，将数据 $134.9$ 万用科学记数法表示为．

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12、在平面直角坐标系中，已知 $a \neq b$ ，设函数 $y = x^{2} + (a + b) x + a b$ 的图象与 $x$ 轴有 $M$ 个交点，函数 $y = a b x^{2} + (a + b) x + 1$ 的图象与 $x$ 轴有 $N$ 个交点，则（）

A、 $M = N - 1$ 或 $M = N + 1$ B、 $M = N - 1$ 或 $M = N + 2$ C、 $M = N$ 或 $M = N + 1$ D、 $M = N$ 或 $M = N - 1$

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13、根据广东省统计局数据，广东省 $2024$ 年的地区生产总值为 $141633.81$ 亿元，位列全国第一， $2022$ 年的地区生产总值为 $129118.58$ 亿元．设这两年广东省地区生产总值的年平均增长率为 $x$ ，根据题意可列方程（）

A、 $129118.58 (1 + x) = 141633.81$ B、 $129118.58 {(1 + x)}^{2} = 141633.81$ C、 $129118.58 x^{2} = 141633.81$ D、 $129118.58 (1 + x^{2}) = 141633.81$

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14、下列人工智能 $A P P$ 图标中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了 $80$ 名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
$a$ ．七年级 $80$ 名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成 $6$ 组： $40 \leq x < 50$ ， $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80, 80 \leq x < 90, 90 \leq x \leq 100$ ）如图所示：
$b$ ．七、八年级 $80$ 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
$74.3$
$m$
$81$
八年级
$75$
$79$
$78$
$c$ ．七年级 $80$ 名学生传统文化知识测试成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是 $71$ ， $72$ ， $72$ ， $73$ ， $74$ ， $74$ ， $75$ ， $76$ ， $76$ ， $77$ ， $77$ ， $77$ ， $77$ ， $78$ ， $78$ ， $79$ ， $79$ ， $79$ ．
根据以上信息，回答下列问题．

(1)、表中 $m$ 的值为，补全频数分布直方图．

(2)、八年级菲菲同学的测试成绩是 $77$ 分．他认为 $77$ 高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩．你认为他的说法正确吗 $?$ 请说明理由．

(3)、若该校七年级共有 $1200$ 名学生，测试的成绩 $60$ 分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．

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16、计算： $\sqrt{12} + {(3.14 - π)}^{0} - 3 tan 60 ° + |1 - \sqrt{3}| + {(- 1)}^{2022}$ ．

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17、如图，正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，以对角线 $A C$ 为直径作圆，则图中阴影部分的面积为．

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18、对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当 $a \leq x \leq b$ ，函数值y满足 $m \leq y \leq n$ ，且满足 $n - m = k (b - a)$ ，则称此函数为“k型闭函数” ．例如：正比例函数 $y = - 3 x$ ，当 $1 \leq x \leq 3$ 时， $9 \leq y \leq - 3$ ，则 $- 3 - (- 9) = k (3 - 1)$ ，求得： $k = 3$ ，所以函数 $y = - 3 x$ 为“3型闭函数” ．已知二次函数 $y = - 3 x^{2} + 6 a x + a^{2} + 2 a$ ，当 $- 1 \leq x \leq 1$ 时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（）

A、 $k \geq 6$ B、 $k \geq \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} \leq k < 6$ D、 $\frac{3}{2} < k \leq 6$

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19、下列运算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{12}$ B、 $2 b + 5 a = 7 a b$ C、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ D、 ${(a^{2} b^{3})}^{2} = a^{4} b^{6}$

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20、研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型消洁能源，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达 $150000000000$ 立方米 $1.5 \times 10^{n}$ ，则n的值为（）

A、10 B、11 C、12 D、13

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类型	人数	百分比
纯电	$m$	$54 %$
混动	$n$	$a %$
氢燃料	3	$b %$
油车	5	$c %$

年级	平均数	中位数	众数
七年级	$74.3$	$m$	$81$
八年级	$75$	$79$	$78$