相关试卷

1、学校数学兴趣小组探究如下数学问题：边长为2的正方形ABCD内如何放置一个边长尽可能大的正六边形EFGHIJ（可与正方形边接触）.
小组成员提出以下两种方案：
方案一：如图1，正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上.
方案二：如图2，正六边形四个顶点E，G，H，J分别在四条边上.
请分别求出以上两种方案中正六边形的边长，并比较哪种方案的正六边形边长更大.

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2、如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以O为圆心，OA为半径的圆弧的一部分，且OB=3米.B是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离BD=0.6米（踏板厚度忽略不计）.

(1)、如图1，当摆绳OA与OB成58°时，点A到地面的高度h恰为成人的“安全高度”，求h的值.（计算结果精确到0.1米）

(2)、如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳OE与OB的夹角为41°时，问此儿童是否在“安全高度”范围内.
（参考数据： $s i n 4 1^{\circ} \approx 0.66, c o s 4 1^{\circ} \approx 0.75, s i n 5 8^{\circ} \approx 0.85, c o s 5 8^{\circ} \approx 0.53$ ）

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3、周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程y（千米）和所经过的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题：

(1)、求书店离小钱家多少千米.

(2)、请求出小钱从书店回到家这一段时间内，y关于x之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米.

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4、为了提高学生的综合素养，某校开设了五门活动课.按照类别分为：A“围棋”、B“足球”、C“篮球”、D“书法”、E“插花”.为了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查（每人限报一项），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、本次调查的样本容量为；统计图中A活动课的扇形圆心角α的度数为，并通过计算补全条形统计图.

(2)、该校共有1600名学生，请你估计全校喜爱“书法”的学生人数.

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5、计算： $|- 6| + \sqrt{16} - {(\frac{2}{3})}^{0} .$

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6、如图，菱形OABC的顶点A，C在圆O上，连结并延长OB交圆于点D，连结AD，CD，若OB=BD=2，则四边形OADC的面积为.

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7、如图，▱ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则 $\frac{A E}{E F}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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8、如图，在四边形ABCD中，AD=CD=2，AB=4，∠D=∠BAD=90°，点E从D点向C点运动，连结AE，过点E作EF⊥AE交BC于点F，连结AF，设点E运动的路程为x，△AEF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x⟩$ 0）的图象上，P是矩形OABC内的一点，连结PO，PA，PB，PC，若图中阴影部分的面积为10，则k为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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10、一副三角板如图所示摆放，若∠1=80°，则∠2的度数是（）

A、70° B、80° C、95° D、100°

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11、如图是由八个相同的小立方块搭成的几何体，则它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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12、问题提出

(1)、如图①， $A B ⊥ B C, C D ⊥ B C, E$ 为 $B C$ 上一点，连接 $A E$ 、 $D E$ ，当 $∠ A E D = 90 °$ 时， $∠ A + ∠ D =$ $°$ ．

(2)、问题探究
如图②，在边长为6的等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E$ 为 $B C$ 边上任意一点，连接 $D E$ ，并作 $∠ D E F = 60 °$ ，使得 $∠ D E F$ 的一边与 $A C$ 交于点 $F$ ，试求出 $C F$ 的最大值．

(3)、问题解决
如图③，四边形 $A B C D$ 为某美食商业区的平面示意图，其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 80 m$ ， $B C = C D = 100 m$ ．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在 $B C$ 上选取一点M， $C D$ 上选取一点 $N$ ，连接 $A M$ 、 $A N$ 、 $M N$ ，构造 $△ A M N$ ．已知点 $A$ 为美食商业区的出入口， $t a n ∠ A M N = \frac{4}{3}$ ，设 $B M = x m, N C = y m$ ．
（i）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点 $N$ 与点 $C$ 的距离足够远，请你根据需求计算出当 $N C$ 最大时 $△ A M N$ 的面积．

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13、

项目式学习

问题发现：同学们对路边的路灯很感兴趣，于是邀请你一起参与综合探究活动．

【实地勘察】同学们到达一个公园．如图所示，在一天中同一时刻，路灯 $A B$ 的影子为 $B C$ ，小明（ $D E$ ）站在路灯旁边，影子为 $E F$ ．经测量， $B C$ 长2米， $E F$ 长0.5米，小明的身高为1.5米．

【进一步发现】同学们发现马路边有高大的路灯．如图所示，在一天中某一时刻，小明站在G点处，其影子顶部与路灯 $A B$ 的影子重合，测得小明的影子 $G H$ 的长为4.5米．小明从点G出发，前行12米走到E点，此时他正好可以在平面镜上的C点看到路灯的顶端A点，测得小明到平面镜上C点的距离为1米，小明的身高为1.5米．（忽略小明眼睛到头顶的距离）

【归纳探究】同学们在经过计算和讨论后，得出了同一种路灯的高度、照明亮度、照明范围的几组数据，整理如下：

高度/米	4	6	8	10
照明亮度的平方/勒克斯 $^{2}$	450	300	225	180
照明范围/平方米	$\frac{16}{3} π$	$12 π$	$\frac{64}{3} π$	$\frac{100}{3} π$

（假设整个照明范围内的照明亮度相等）

同学们搜集了一则材料：

根据中国《城市道路照明设计标准》规定，对于普通道路，路面的亮度要求在10勒克斯－20勒克斯之间．

【问题探究】

(1)、在【实地勘察】中，根据提供的信息直接写出路灯

A B

的高度：．

(2)、在【进一步发现】中，根据提供的信息求路灯

A B

的高度．

(3)、在【归纳探究】中，求高度（设为x）与照明亮度的平方（设为y）的关系式．

(4)、在【归纳探究】中，一段200米的道路选用这种路灯，道路宽度忽略不计，那么在符合相关规定的条件下，至少要在这一段路上建造个路灯．

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14、发展共享单车服务有力地推动了绿色出行．图1是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图2是其示意图，其中 $A B$ ， $C D$ 都与地面l平行，车轮半径为 $32 c m$ ， $∠ B C D = 64 °$ ， $B C = 60 c m$ ，坐垫E与点B的距离 $B E$ 为 $15 c m$ ．

(1)、求坐垫E到地面的距离；

(2)、根据经验，当坐垫E到 $C D$ 的距离调整为人体腿长的0.8时，骑行比较舒适．小明的腿长约为 $80 c m$ ，现将坐垫E调整至骑行舒适高度位置 $E^{'}$ ，求 $E E^{'}$ 的长．（结果精确到 $0.1 c m$ ，参考数据： $s i n 64 ° \approx 0.90$ ， $c o s 64 ° \approx 0.44$ ， $t a n 64 ° \approx 2.05$ ）

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15、周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮 $⊙ O$ 于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若 $M N$ 为摩天轮 $⊙ O$ 的直径，请解决以下问题．

(1)、求证： $M A$ 平分 $∠ B M N$ ；

(2)、若摩天轮的直径 $M N$ 为 $80 m$ ，且小明到地面的高度 $M B$ 为 $45 m$ ，求小亮与小明之间的距离是多少？

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16、4月18日，以“书承文脉，香满星城”为主题的2025年“书香长沙”世界读书日系列活动启动仪式在我国不夜城长沙市图书馆举行．通过全民阅读构筑共有精神家园，增强全民族思想道德素质和科学文化素养，提高社会文明程度，为以中国式现代化全面推进强国建设、民族复兴伟业提供文化滋养和精神力量．某校数学综合实践小组为了解全校3000名学生最喜欢的图书类型，开展了抽样调查，调查的图书类型分为五类：A．人文社科类，B．文学艺术类，C．科普生活类，D．少儿类，E．其他，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)、本次抽样共调查了名学生，m的值为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、估计该校最喜爱“文学艺术类”图书的学生有多少名？

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17、已知，如图， $A B = A C, B D = C D, D E ⊥ A B$ 于点 $E, D F ⊥ A C$ 于点 $F$ ．

(1)、求证： $∠ A B D = ∠ A C D$ ；

(2)、求证： $B E = C F$ ．

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18、在用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 时，小颖的解法如图：
第一步：移项，得 $x^{2} - 2 x = 1$ ．
第二步：配方，得 $x^{2} - 2 x + 2^{2} = 1 + 2^{2}$ ，
即 ${(x - 2)}^{2} = 5$ ．
第三步：两边开平方，得 $x - 2 = \pm \sqrt{5}$ ．
第四步：所以， $x_{1} = 2 + \sqrt{5}, x_{2} = 2 - \sqrt{5}$
请回答：

(1)、小颖的解答过程从第步开始出现错误；

(2)、请给出这道题的正确解答过程．

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19、计算： $| 1 - \sqrt{3} | + \sqrt[3]{- 8} - 2 c o s 30 ° + {(- 2026)}^{0}$ ．

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20、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $D$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $A D ∥ B C$ ，连接 $O A$ 交 $B C$ 于 $E$ ， $O A$ 平分 $∠ B A D$ ， $O E = \frac{13}{4}$ ， $B E = \sqrt{29}$ ，则 $A C =$ ．

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