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1、《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 $x$ 人，羊价为 $y$ 钱，则可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x - 45 = y \\ 7 x - 3 = y \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 45 = y \\ 7 x - 3 = y \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x + 45 = y \\ 7 x + 3 = y \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x - 45 = y \\ 7 x + 3 = y \end{array}$

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2、如图，将书本上面的橡皮擦沿箭头方向（垂直于右边缘）平移到书本右边缘．在此过程中，下列叙述正确的是（）

A、主视图不变 B、左视图不变 C、俯视图不变 D、三种视图都不变

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3、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{2} = a^{4}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$ D、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{4} b^{2}$

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4、如图，直线 $l_{1}, l_{2}$ 被直线 $l_{3}$ 所截，根据“同位角相等，两直线平行”判定 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，需要的条件是（）

A、 $∠ 1 = ∠ 2$ B、 $∠ 1 = ∠ 3$ C、 $∠ 1 = ∠ 4$ D、 $∠ 2 = ∠ 3$

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5、如图，数轴上点 $A$ 表示的数可能是（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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6、如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 图象的对称轴为 $y$ 轴，且过坐标原点 $O$ 及点 $A (2 \sqrt{3}, 3)$ ，过点 $A$ 作射线 $A M$ 平行于 $y$ 轴（点 $M$ 在点 $A$ 上方），点 $F$ 坐标为 $(0, 1)$ ，连接 $A F$ 并延长交抛物线于点 $E$ ，射线 $A B$ 平分 $∠ F A M$ ，过点 $A$ 作 $A B$ 的垂线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $T$ ．

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、判断直线 $l$ 与二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象的公共点的个数，并说明理由；

(3)、点 $P (m, 0)$ 为 $x$ 轴上的一个动点，且 $∠ A P E$ 为钝角，请直接写出实数 $m$ 的取值范围．

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7、如图， $D E$ 为 $△ A D E$ 外接圆 $⊙ O$ 的直径，点C为线段 $D O$ 上一点（不与D ， O重合），点B为 $O D$ 的延长线上一点，连接 $B A$ 并延长至点M ，满足 $∠ C A E = ∠ M A E$ ．

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、证明： $O E^{2} = O B \cdot O C$ ；

(3)、若射线 $B M$ 与 $⊙ O$ 相切于点A ， $D C = 3$ ， $B D : O C = 10 : 9$ ，求 $t a n ∠ A E D$ 的值．

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8、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上， $O A = 2$ ，点B在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上， $△ O B A$ 为等边三角形，延长 $B O$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第三象限交于点C ．连接 $C A$ 并延长与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象在第一象限交于点D ．

(1)、求反比例函数的表达式；

(2)、求点D的坐标及 $△ O A D$ 的面积；

(3)、在x轴上是否存在点Q ，使得以A ， D ， Q为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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9、为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出A ， B两种文创纪念品．已知2个A纪念品和3个B纪念品的成本之和是155元；4个A纪念品和1个B纪念品的成本之和是135元．一套纪念品由一个A纪念品和一个B纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为W（元），每套纪念品的售价为a元（ $65 \leq a \leq 72$ 且a为整数）．

(1)、分别求出每个A纪念品和每个B纪念品的成本；

(2)、求当a为何值时，每天的利润W最大．

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10、如图．在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ．点B ，点D关于 $A C$ 所在直线对称．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形；

(2)、过点D作 $B C$ 的垂线交 $B C$ 延长线于点E ．若 $C E = 3$ ， $A D = 5$ ，求线段 $O C$ 长．

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11、开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下：
请根据以上信息，完成下列问题：

(1)、①此次抽查的学生总数为 ▲ ；
②请补全抽取的学生成绩条形统计图；
③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为 ▲ 分；

(2)、在扇形统计图中： $m =$ ，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是度；

(3)、已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？

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12、数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度 $B C$ ．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A ， B ， C ， D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离 $A B = 70$ 米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）．

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13、某公司开发了两款 $A I$ 模型，分别为模型A和模型B ．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比模型A每小时多处理 $10 G B$ 数据，模型B处理 $300 G B$ 数据的时间与模型A处理 $200 G B$ 数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少 $G B$ 数据？（备注： $G B$ 为数据的存储单位）

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14、先化简，再求值： $(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x^{2} - 2 x + 1}$ ，其中 $x = 3$ ．

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15、求值： $\sqrt{4} - 202 5^{0} + | \sqrt{5} - 1 |$ ．

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16、定义：若点 $A (m, n)$ ，点 $A_{1} (- m, - n)$ 都在同一函数图象上，则称点A和点 $A_{1}$ 为该函数的一组“奇对称点对”，记为 $[A, A_{1}]$ ．规定： $[A, A_{1}]$ 与 $[A_{1}, A]$ 为同一组“奇对称点对”．例如：点 $B (1, 2)$ 和点 $B_{1} (- 1, - 2)$ 都在一次函数 $y = 2 x$ 的图象上，则点B和点 $B_{1}$ 为一次函数 $y = 2 x$ 的一组“奇对称点对”，记为 $[B, B_{1}]$ ．下列说法正确的序号为．
①点 $A (1, 1)$ ，点 $A_{1} (- 1, - 1)$ ，则点A和点 $A_{1}$ 为二次函数 $y = x^{2} + x - 1$ 的一组“奇对称点对”；②反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 有无数组“奇对称点对”；③点 $C (1, 2)$ ，点 $C_{1} (- 1, - 2)$ ，若 $[C, C_{1}]$ 为函数 $y = a x^{2} + b x - 1$ 的一组“奇对称点对”，则 $a = 2$ ， $b = 2$ ；④由函数 $y = - x$ 在 $x < 0$ 范围内的图象与函数 $y = - x^{2} + 2 x - k (k > 0)$ 在 $x \geq 0$ 范围内的图象组成一个新的函数图象，将该图象所对应的函数记为w函数，其解析式可写为 $y = {\begin{array}{l} - x (x < 0) \\ - x^{2} + 2 x - k (x \geq 0) \end{array}$ ．若w函数有两组“奇对称点对”，则k的取值范围是 $0 < k < \frac{9}{4}$ ．

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17、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形， $A B = 1$ ．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以 $A D$ 为半径顺时针作弧 $D E$ 交 $B A$ 的延长线于点E ，得到扇形 $D A E$ ；第二次操作以点B为圆心，以 $B E$ 为半径顺时针作弧 $E F$ 交 $C B$ 的延长线于点F ，得到扇形 $E B F$ ；第三次操作以点C为圆心，以 $C F$ 为半径顺时针作弧 $F G$ 交 $D C$ 的延长线于点G ，得到扇形 $F C G$ ，依此类推进行操作，其中 $\overset{⌢}{D E}$ ， $\overset{⌢}{E F}$ 、 $\overset{⌢}{F G}$ 、 $\overset{⌢}{G H}$ ， …的圆心依次按A ， B ， C ， D循环，所得曲线 $D E F G H \dots$ 叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和为．（结果保留π）

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18、如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 2$ ．在 $A B$ 和 $A C$ 上分别截取 $A M$ ， $A N$ ，使 $A M = A N$ ．分别以M ， N为圆心、以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作弧，两弧在 $∠ B A C$ 内交于点F ．作射线 $A F$ 交 $B C$ 于点D ，则点D到 $A C$ 的距离为．

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19、 2025年国产AI大模型的爆火，引发了全球科技界的广泛关注．若小庆同学从“豆包”、“腾讯元宝”、“即梦AI”、“文心一言”四种应用软件中随机选取两种进行学习，则小庆同学选取的两种软件为“豆包”和“腾讯元宝”的概率为．

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20、不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x - 1 < 7 - \frac{3}{2} x \\ 3 x - 5 > 2 (x - 2) \end{array}$ 的整数解有个．

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