1.1探索勾股定理（2）-北师大版数学八上同步分层训练

试卷更新日期：2026-07-23 类型：同步测试

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一、基础训练

1. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，以 $R t △ A B C$ 的三边为边向外作正方形，其面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ，且 $S_{1} = 4$ ， $S_{3} = 20$ ．则 $S_{2} =$ （）

A、5 B、12 C、15 D、16

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2. 如图，以 $R t △ A B C$ 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若 $A B = 5$ ，则图中阴影部分的面积为（）

A、6 B、 $\frac{25}{4}$ C、 $\frac{25}{2}$ D、25

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3. 我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 $a = 6$ ，弦 $c = 10$ ，则小正方形 $A B C D$ 的面积是（）

A、3 B、4 C、6 D、9

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5. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形．若图中直角三角形的两条直角边长分别为1和3，则中间小正方形的面积为（）

A、10 B、6 C、4 D、2

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6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的面积分别为1，2，5，10.则正方形D的面积是 .

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7. 如图， △ABC中，∠ACB=90°，分别以AB， BC， AC为边长向外作正方形，三个正方形面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ，若S₁=20，则S₁+S₂+S₃=.

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8. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在 $Rt △ A B C$ 中，已知直角边 $B C = 5$ ， $A C = 7$ ，则 $C D =$ ．

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9. 如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系?

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二、巩固提升

10. 如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的面积分别是5和7，则正方形B白面积为（）

A、9 B、12 C、14 D、35

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11. 第14届数学教育大会 $(I C M E - 14)$ 会标如图1，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．若 $A E + B E = 7, A B = 5$ ，则直角三角形 $A B E$ 的面积为（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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12. 如图，在正方形网格的格点（即最小正方形的顶点）中找一点C，使得△ABC是等腰三角形，且AB为其中一腰．这样的C点有（　　）个．

A、3个 B、4个 C、5个 D、6个

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13. 如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为 $S_{1}$ ，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为 $S_{2}$ ，嘉琪同学得出了以下四个结论：① $S_{1} = a^{2} + b^{2} + a b$ ；② $S_{2} = c^{2} + a b$ ；③ $S_{1} = S_{2}$ ；④ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．则其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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14. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理。如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为m、n(m>n)。若小正方形面积为3，且满足 ${(m + n)}^{2} = 15$ 则大正方形面积为（）

A、8 B、9 C、10 D、11

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15. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，分别以四边形 $A B C D$ 的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 和 $S_{4}$ ，若 $S_{1} = 5 π$ ， $S_{2} = 9 π$ ， $S_{4} = \frac{3}{4} S_{3}$ ，则 $S_{4}$ 的值是．

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16. 根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法．简称为“无字证明”．例如，利用图形面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你可以写出的代数恒等式是．（任选1图作答．回答时请注明图形序号，如图1、图2）

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17. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”．由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 $A B C D$ ，正方形 $E F G H$ ，正方形的 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ．若 $S_{2} = 6$ ，则 $S_{1} + S_{3}$ 的值为．

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18. 如图，分别以直角三角形 $A B C$ 的三边为斜边向外作等腰直角三角形，且 $A D = C D$ ， $C E = B E$ ， $A F = B F$ ，这三个直角三角形的面积分别为 $S_{1} ， S_{2} ， S_{3}$ ，且 $S_{1} = 11 ， S_{2} = 25$ ，则 $A B =$ ．

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19. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．

(1)、如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1： $S_{阴影} =$ ______；
方法2： $S_{阴影} =$ ______；
根据以上信息，可以得到等式：______；

(2)、小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；

(3)、如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若 $a = 6$ ， $b = 3$ ，求阴影部分的面积．

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三、能力应用

20. 如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形 $E F G H$ 拼成的一个大正方形 $A B C D$ ，连接 $A C$ ，交 $B E$ 于点 $P$ ，若正方形 $A B C D$ 的面积为 $28$ ， $A E + B E = 7$ ，则 $△ C F P$ 与 $△ A E P$ 的面积差是．

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21.

项目背景	某校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣
素材一	毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形.因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树
素材二	经过小组讨论，制定了如下规则：1.画出不同类型三角形形成的树形图(以三角形的三边为边，分别向外作正方形)；2.所画的基础三角形周长为8cm，其中一条边的长固定为2cm，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究 .
素材三
解决问题
任务一	小明画出了锐角三角形ABC，AB=AC，BC=2cm，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}} =$
任务二	小金画出了直角三角形DEF，∠DFE=90°，EF=2cm，计算 $S_{2} + S_{3}$ 的值，并写出过程
任务三	小山画出了钝角三角形GHI，∠GIH=120°，HI=2cm，则 $S_{2} + S_{3} =$
项目总结
综合以上三位同学所画的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想：周长一定的情况下，由三角形形成的树形图形总面积( $(S_{3} + S_{2} + S_{1})$ )最大(填“锐角”“直角”或“钝角”).这个猜想，聪明的你会证明吗

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22. 著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ )，大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．
【结论探究】
(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
【结论应用】
(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ ， $B$ ， $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H (A$ ， $H$ ， $B$ 在同一条直线上 $)$ ，并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 0.8$ 千米， $H B = 0.6$ 千米，求新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米？
【问题拓展】
(3) $△ A B C$ 中， $A C = 10$ ， $B C = 17$ ， $A B = 21$ ， $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ ，请直接写出 $C H$ 的值．

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