第一章 《勾股定理》巩固卷-北师大版数学八上单元测试卷
试卷更新日期：2026-07-23 类型：单元试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
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1. 将下列长度的三条线段首尾顺次连结，能组成直角三角形的是( )A、4，5，6 B、5，8，12 C、6，8，10 D、6，7，82. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（ ）
A、 B、 C、 D、3. 如图， 四边形ABCD中， AB=3， BC=4， CD=12， AD=13， ∠B=90°. 则四边形ABCD的面积是（ ）.
A、72 B、66 C、42 D、364. 如图，在Rt△ABC中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为S1 ， S2 ， S3 ， 若S3+S1-S2=12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A、3
B、4
C、5
D、65. 如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°.正确结论的个数是 ( )
A、4个 B、3个 C、2个 D、1个6. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到直线的距离为（ ）
A、 B、 C、 D、7. 如图， 在△ABC中， ∠B=90°， AB=3， BC=4， AC的中垂线分别交AC， BC于点D， E， 则BE的长是( )
A、 B、 C、 D、8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，∠CAB的平分线交BC于点D，则CD的长度为（ ）
A、1cm B、 C、2cm D、cm9. 两个边长分别为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（ ）
A、 B、 C、 D、10. 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成.如图，直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.若b-a=4，c=16，则每个直角三角形的面积为( )
A、64 B、60 C、120 D、128二、填空题（每题3分，共18分）
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11. “今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.即AC=5，DC=1，BD=BA，则BC= .
12. 如图，是一个由3个白色的直角三角形和7个深色的正方形构成的“勾股树”，若所有正方形的面积之和是 ， 则正方形的面积是 ．
13. 如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、 ， A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为dm．
14. 如图，已知长方形纸板的边长DE=10，EF=11，在纸板内部画Rt△ABC，并分别以三边为边长向外作正方形，当边HI、LM和点 K、J都恰好在长方形纸板的边上时，则△ABC的面积为.
15. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1米，将它往前推4米至 C处时(即水平距离CD=4米)，踏板离地的垂直高度 CF=3米，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是米.
16. 如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE=7，则△CFP与△AEP的面积差是.
三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分）
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17. 如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点 ， 处于同一水平面上的距离米，且米．
(1)、求的度数；(2)、现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接 ， 求这架无人机向下飞行的距离的长 ．18. 为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知 ， ， ， ， 技术人员通过测量确定了 ．
(1)、小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？(2)、这片绿地的面积是多少？19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为米．
(1)、求风筝的垂直高度 ．(2)、如果风筝沿射线方向垂直下落，小明站在原地，将线往回收了5米时，风筝线刚好拉紧拉直，那么风筝的垂直高度下降多少米？20. 如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB=CD.
(1)、求证：△ABC≌△CDE.(2)、若AB=3，DE=4，求AE的长.21. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
22. 如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米．
(1)、现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离；(2)、为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由．23. 消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米．
(1)、求处与地面的距离．(2)、完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？24. 如图 ①，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，它的三边上分别有一个正方形.执行下面的操作：分别以两个小正方形的边为斜边，向外作一个锐角为40°的直角三角形；再分别以所得到的直角三角形的直角边为边，向直角三角形外作正方形.图②是1次操作后得到的图形.
(1)、试画出2次操作后得到的图形.(2)、已知最初的直角三角形斜边长为1cm，写出2次操作后得到的图形中所有正方形的面积和.(3)、如果一直画下去，你能想象出它的样子吗?请借助数学软件进行探索.(4)、重复上述步骤若干次后得到的图形称为“毕达哥拉斯树”.如果最初的直角三角形是等腰直角三角形，那么此时“毕达哥拉斯树”会是什么形状?