第一章《勾股定理》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

试卷更新日期：2026-07-23 类型：单元试卷

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一、选择题（每题3分，共30分）

1. 图1为八（10）班为美食节准备的一种火锅杯，图2是它从正面看的形状。它由上半部分的碗和下半部分的杯子组成，两部分的形状均为圆台。上碗口的圆心处有一个吸管口，吸管口到杯底的距离为 $22.4$ $c m$ 。已知配套吸管的长度为 $27.6$ $c m$ ，且吸管从吸管口任意放入杯中时，吸管口外露长度的最小值为 $5$ $c m$ （不计吸管粗细），则杯子的下底面直径为（）

A、 $3$ $c m$ B、 $4$ $c m$ C、 $6$ $c m$ D、 $8$ $c m$

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2. 如图，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，连接AC，交BE于点 P，若正方形ABCD 的面积为30， AE+BE=7，则△CFP与△AEP 的面积差是 ( )

A、 $\frac{7}{2}$ B、7 C、 $\frac{11}{2}$ D、11

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3. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 $x^{2} + 10 x =$ ( )

A、12 B、16 C、20 D、24

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4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边AC的中点，连结DE，连结BE交AD于点F，此时∠CAD=∠CBE，下列结论中：①BE平分∠ABC；AD²+CD²=4DE²；③∠CDE=∠ABE+∠BAD；④若记△ABF 的面积为S_△ABF ， △BDE的面积为S_△BDE ，则 S_△ABF=S_△BDE ，其中正确的结论是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、①②③④

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5. 如图，分别以 $R t △ A B C$ 三边为边向外作正方形，连接 BD.若 $S_{△ A B C} = 2 S_{△ A B D} = 4$ ，则正方形 ABGF 的面积为（）

A、8 B、10 C、16 D、20

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6. 如图所示，意大利著名画家达▪芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，证明了勾股定理．若设图1中空白部分（两个正方形和两个直角三角形组成）的面积为 $S_{1}$ ，经过以下裁剪，翻转，拼出图2，其中空白部分的面积为 $S_{2}$ ，嘉琪同学得出了以下四个结论：① $S_{1} = a^{2} + b^{2} + a b$ ；② $S_{2} = c^{2} + a b$ ；③ $S_{1} = S_{2}$ ；④ $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ．则其中正确的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 数学实践课上，老师给每位同学准备了四块全等的直角三角形纸板，小朋同学拿到纸板后随手做拼图游戏，结果拼出如图所示的图形，小友同学喜欢思考，借助这个图形设计了一道数学题：由四个全等的直角三角形拼成的图形中，C、D、E在同一直线上，设CE=a， HG=b，则正方形BDFA的面积是 ( )

A、 $\frac{a^{2} - b^{2}}{2}$ B、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{2}$ C、 $a^{2} - b^{2}$ D、 $a^{2} + b^{2}$

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8. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一.如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正三角形，再把较小的两张正三角形纸片按图2的方式放置在最大的正三角形内，△EFH，△FCG，四边形BDIG 的面积分别记为S₁ ， S₂ ， S₃ ，若已知 $S_{1} = 1 ， S_{2} = 3 ， S_{3} = 5 ，$ 则两个较小正三角形纸片的重叠部分 (△HIJ)的面积为( )

A、6 B、8 C、9 D、10

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9. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 $A B C D$ ，对角线 $A C ， B D$ 交于点 $O$ ．若 $A D = 1$ ， $B C = 4$ ，则 $A B^{2} + C D^{2}$ 等于（）

A、 $15$ B、 $16$ C、 $17$ D、 $20$

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10. 如图，正方形ABCD的边长为4，其面积标记为S₁ ，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S₂ ， …按照此规律继续下去，则S₂₀₂₃的值为（）

A、( $\frac{1}{2}$ )²⁰¹⁸ B、( $\frac{1}{2}$ )²⁰²⁰ C、( $\frac{1}{2}$ )²⁰²¹ D、( $\frac{1}{2}$ )²⁰²³

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. 我国汉末三国初数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①.图②由弦图变化得到，它是用8个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ，若 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = 10 ，$ 则S₂的值是.

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12. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘 B 处离桌面的高度 BC 为7 cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时 (D是B的对应点)，顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A 处与 E 之间的距离AE 为.

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13. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图” $($ 图 $1)$ ，后人称其为“赵爽弦图” $.$ 由图 $1$ 变化得到图 $2$ ，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形 $A B C D$ ，正方形 $E F G H$ ，正方形 $M N K T$ 的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3} .$ 若 $S_{2} = 12$ ，则 $S_{1} + S_{3}$ 的值为．

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14. 如图，AE⊥AB ，且AE=AB ， BC⊥CD ，且BC=CD ，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成图形的面积S= ．

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15. 如图，某数学兴趣小组在课后一起复习数学知识，首先他们在纸上画出 $Rt △ A B C$ ，然后分别以这个三角形的三边为直角边画出三个等腰直角三角形，最后把这个图形剪下来，并折成下图的样子， $D F$ 分别与 $A E 、 E C$ 交于G、H，若 $△ A D G, △ E G H, △ C F H$ 的面积分别为4，9，16，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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16. 勾股定理 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解 $(a ， b ， c)$ 常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组： $(3 ， 4 ， 5)$ ， $(5 ， 12 ， 13)$ ， $(7 ， 24 ， 25)$ ，…，分析上面勾股数组可以发现， $4 = 1 \times (3 + 1)$ ， $12 = 2 \times (5 + 1)$ ， $24 = 3 \times (7 + 1)$ ，…分析上面规律，第6个勾股数组为．

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三、解答题（共8题，共72分）

17. 勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中 $∠ A G B = ∠ D F A = ∠ C E D = ∠ B H C = 90^{\circ}$ ，连接 $A E$ 交 $B G$ 于点 $P$ ，连接 $B E$ ，得到图1．若 $∠ A B E = ∠ A E B$ ．

(1)、求证： $E F = D F$ ；

(2)、延长 $A E$ ，交 $B C$ 于点 $M$ ，若 $A B = 5$ ，求 $C M$ 的长．

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18. 【问题背景】
勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)、【探索求证】
图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图， $R t △ A D E$ 与 $R t △ E B C$ 按如图所示位置放置，连接 $C D$ ，其中 $∠ A = ∠ B = ∠ D E C = 90 °$ ，请你利用图②推导勾股定理．

(2)、【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ ， $B$ ，其中 $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H$ （A ， H ， B在同一条直线上），并新修一条路 $C H$ ，且 $C H ⊥ A B$ ．测得 $C H = 2.4$ 千米， $H B = 1.8$ 千米，问新路 $C H$ 比原路 $C A$ 少多少千米？

(3)、【延伸扩展】
如图④，已知 $A C = 4$ ， $B C = 5$ ， $A B = 6$ ， $C D ⊥ A B$ ，设 $A D = x$ ，求 $x$ 的值．

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19. 【问题情境】
数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为20，3，2，A和B是这个三级台阶两个相对的端点.
【探究实践】
老师让同学们探究：如图①所示，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少?
① ② ③ ④

(1)、同学们经过思考得到如下解题方法：如图②所示，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接AB，经过计算得到AB的长度为，就是最短路程.

(2)、【变式探究】如图③所示的是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为.

(3)、【拓展应用】如图④所示，圆柱形玻璃杯的高为9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少?(杯壁厚度不计)

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20. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D为 $A B$ 中点，点E在直线 $B C$ 上（点E不与点B ， C重合），连接 $D E$ ，过点D作 $D F ⊥ D E$ 交直线 $A C$ 于点F ，连接 $E F$ ．

(1)、如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段 $E F$ 与 $B E$ 的数量关系：．

(2)、如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段 $A F$ ， $E F$ ， $B E$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、若 $A C = 5$ ， $B C = 3$ ， $E C = 1$ ，请直接写出线段AF的长．

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21. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．

(1)、①如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，则______（用含有a，b和c的式子表示三者之间的等量关系）；
②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）

(2)、①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的有______个；
②如图7所示，分别以直角三角形两直角边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，直角三角形面积为 $S_{3}$ ，请判断 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 的关系并证明；

(3)、如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知 $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3 = ∠ α$ ，则当 $∠ α$ 变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）则：
① $a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} =$ ______．
②b与c的关系为______，a与d的关系为______．

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22. 项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的正整数 $a$ ， $b$ ， $c$ 是勾股数，记为 $(a, b, c)$ ．
设 $m$ ， $n$ 为正整数，且 $m > n$ ，因为 ${(m^{2} - n^{2})}^{2} + {(2 m n)}^{2} = {(m^{2} + n^{2})}^{2}$ ，所以 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$ 为勾股数．本项目只研究形如 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$ 的勾股数．
【规律探究】
分别对 $m$ ， $n$ 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：

$m$

$n$
勾股数 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$
序号

$2$

$1$

$(3,4, 5)$

$1$

$3$

$1$

$(8,6, 10)$

$2$

$2$

$(5,12,13)$

$3$

$4$

$1$

$(15,8, 17)$

$4$

$2$

$(12,16,20)$

$5$

$3$

$(7,24,25)$

$6$

$\dots$

$\dots$

$\dots$

$\dots$
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：

(1)、 $m = 5$ ， $n = 1$ 对应的勾股数是( ，， )序号为；

(2)、勾股数 $(35,12,37)$ 对应的 $m =$ ， $n =$ ；

(3)、序号为 $15$ 的勾股数是( ，， )

(4)、【项目拓展】项目组某成员观察上表发现：在序号从 $1$ 依次增大到 $6$ 的过程中，勾股数中 $m^{2} + n^{2}$ 的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从 $6$ 依次增大到 $16$ 的过程中， $m^{2} + n^{2}$ 的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．

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$m$	$n$	勾股数 $(m^{2} - n^{2}, 2 m n, m^{2} + n^{2})$	序号
$2$	$1$	$(3,4, 5)$	$1$
$3$	$1$	$(8,6, 10)$	$2$
$3$	$2$	$(5,12,13)$	$3$
$4$	$1$	$(15,8, 17)$	$4$
	$2$	$(12,16,20)$	$5$
	$3$	$(7,24,25)$	$6$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

第一章 《勾股定理》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

二、填空题（每题3分，共18分）

三、解答题（共8题，共72分）

第一章《勾股定理》能力卷-北师大版数学八上单元测试卷