1.2一定是直角三角形吗-北师大版数学八上同步分层训练

试卷更新日期：2026-07-23 类型：同步测试

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一、基础训练

1. 下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（ )

A、1， 2， 3 B、2， 3， 4 C、5， 12， 13 D、4， 5， 6

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2. 已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形（）

A、∠A=∠B+∠C B、 $c^{2} - a^{2} = b^{2}$ C、a： b： c=3： 4： 5 D、 $a^{2} : b^{2} : c^{2} = 5 : 12 : 13$

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3. 下列各组数中，不是勾股数的是（）

A、3，4，5 B、6，8，10 C、7，24，25 D、1.5，2，2.5

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4. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=9，AD=12，AC=20，则△ABC是( )

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、无法确定

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5. 如图，每个小正方形的边长都是1， $A$ ， $B$ ， $C$ 是小正方形的顶点，则 $∠ A B C =$ ．

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6. 若三角形的三边长分别为6，8，10，则三角形的面积为.

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7. 如图，在3×4的正方形网格中， $∠ 2 =$ $°$

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8. 若 $△ A B C$ 的三边分别是a．b．c，且a，b，c满足 $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ ，则 $∠$ $= 90 °$

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9. 如图， AB⊥BC， AB=4， BC=3， DC=12， AD=13，请你连结AC. 求：

(1)、 AC的长；

(2)、四边形ABCD 的面积.

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二、巩固提升

10. 下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）

A、2、3、4 B、3、4、5 C、6、8、10 D、5、12、13

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11. 如果m表示大于1的整数，设 $a = 2 m$ ， $b = m^{2} - 1$ ， $c = 2 m^{2} + 2 m$ ， $d = m^{2} + 1$ ，其中任选三个数能构成勾股数的为（）．

A、a，b，c B、a，b，d C、a，c，d D、b，c，d

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12. 如图，在小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点.点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中能与点M，N构成一个直角三角形的是（）

A、点A B、点B C、点C D、点 D

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13. 有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列摆放正确的是( )

A、 B、 C、 D、

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14. 如图所示的一块土地，AB=3m，BC=4m，CD=13m，AD=12m，∠ABC=90°，则这块土地的面积为m².

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15. 如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为36cm，点P从点A 出发沿 AB 边向 B 点以 1 cm/s 的速度移动，点Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以2cm /s的速度移动.若P，Q两点同时出发，则3s时，△BPQ 的面积为cm².

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ， $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，若 $P$ 、 $Q$ 分别是 $A D$ 和 $A C$ 上的动点，则 $P C + P Q$ 的最小值是

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17. 已知△ABC的三边a，b，c满足 ${(a - 5)}^{2} + （ b -$ ${12 ）}^{2} + ∣ c - 13 ∣ = 0,$ 则△ABC 是三角形.

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18. 如图所示，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 15$ ， $B C = D E = 9$ ， $D E ⊥ A C$ 于E， $S_{△ D A C} = 54$ ，则 $∠ A C B$ 的度数等于．

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19. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B C A = 9 0^{\circ}, A C = 12, A B = 13,$ 点D是 $R t △ A B C$ 外一点，连接DC， DB，且CD=4，BD=3.

(1)、求BC的长；

(2)、求证： $△ B C D$ 是直角三角形.

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20. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设AB 为最长边，当 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 时，△ABC 是直角三角形；当 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ 时，通过比较代数式（ $a^{2} + b^{2}$ 和c² 的大小，探究△ABC 的形状（按角分类）.

(1)、当△ABC 三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；当△ABC 三边长分别为6，8，11时，△ABC为三角形.

(2)、猜想：当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时，△ABC 为锐角三角形；当 $a^{2} + b^{2}$ $c^{2}$ 时，△ABC 为钝角三角形.

(3)、当a=2，b=4时，探究△ABC 的形状，并求出对应的c² 的取值范围.

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三、能力应用

21. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c， $a = \frac{1}{2} m^{2} - \frac{1}{2} ， c = \frac{1}{2} m^{2} + \frac{1}{2} ，$ n是大于1的奇数，则b= (用含m的式子表示).

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22. 定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM.MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.
（1）已知M、N线段AB分割成AM，MN，NB，若 $A M = 2.5 ， M N = 6.5 ， B N = 6$ ，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若 $A B = 30 ， A M = 5$ ，求BN的长.

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23. 为了测量如图墙体是否与地面垂直，即

M O

是否垂直

P N

于点

O

，在没有角尺、量角器、刻度尺，只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决方案，其中第一、第二组的设计方案如下表．

问题	如何测量墙体是否与地面垂直？
工具	若干条无弹性的绳子
小组	第一小组	第二小组	第三小组
测量方案	模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打 $13$ 个结，得到 $12$ 条线段，且用叠合法使得这 $12$ 条线段都相等，设每一条线段长为 $a$ ．如下图放置这总长是 $12 a$ 的绳子，使在 $O M$ 上的绳子 $O A = 4 a$ ，在 $O N$ 上的绳子 $O B = 3 a$ ，若 $A B = 5 a$ ，则 $A O ⊥ O B$ ，即 $M O ⊥ P N$ 于点 $O$ ，否则不垂直．	如图2，在射线 $O M$ ， $O N$ 上分别取点 $A$ ， $B$ ，放置绳子 $A B$ ，对折 $A B$ 得到相等的两段 $A C$ ， $B C$ ，放置绳子 $O C$ ，用叠合法比较 $O C$ 与 $B C$ 的长度，若 $O C = B C$ ，则墙体与地面垂直，即 $M O ⊥ P N$ 于点 $O$ ，否则不垂直．
测量示意图

(1)、第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由．

(2)、请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画出测量示意图，然后证明方案的可行性．

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