1.3勾股定理的应用-北师大版数学八上同步分层训练

试卷更新日期：2026-07-23 类型：同步测试

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一、基础训练

1. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离AC为2.4m，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m，则小巷的宽为（）

A、2m B、2.4m C、2.7m D、2.8m

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2. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面 $x$ 尺，根据题意，列出的正确方程为（）

A、 $x^{2} + 6^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(10 - x)}^{2} + 6^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + 6^{2} = {(10 - x)}^{2}$ D、 ${(10 - x)}^{2} + x^{2} = 62$

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3. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何?”题意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇AB，高出水面部分 BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部 B恰好碰到岸边的B'（如图)，则水深和芦苇长各多少尺?若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是（ )

A、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x + 1)}^{2}$ B、 ${(x - 1)}^{2} + 5^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + 5^{2} = {(x + 1)}^{2}$ D、 ${(x - 1)}^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$

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4. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸（一尺等于十寸），两隅相去适一丈（一丈等于十尺）.问户高、广各几何?”意思为“现有一扇门，高比宽多了六尺八寸，门的对角线长刚好为一丈.求门的高和宽各为多少?”如图，设户广为x尺，可列出方程（）

A、 ${(x - 6.8)}^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(x + 6.8)}^{2} + x^{2} = 1 0^{2}$ C、 ${(x + 6.8)}^{2} + 1 0^{2} = x^{2}$ D、 $x^{2} + 1 0^{2} = {(x + 6.8)}^{2}$

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5. 如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要米长．

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6. 如图，一个梯子 $A B$ 长 $25$ 米，斜靠在竖直的墙上，这时梯子下端 $B$ 与墙角 $C$ 距离为 $7$ 米，梯子滑动后停在 $D E$ 上的位置上，如图，测得 $A E$ 的长 $4$ 米，则梯子底端 $B$ 向右滑动了米．

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7. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形 $A B C D$ ）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长 $25 m$ （ $A C = 25 m$ ）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的 $A B$ 边长 $7 m$ ， $B C$ 边长 $24 m$ ，蔬菜区的 $A D$ 边长 $20 m$ ， $∠ D = 90 °$

(1)、求蔬菜区边 $C D$ 的长；

(2)、求劳动基地（四边形 $A B C D$ ）的面积．

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8. 学过《勾股定理》后，八（1）班数学兴趣小组来到操场上测量旗杆 $A B$ 的高度．小华测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1），小明拉着绳子的下端往后退，当他将绳子拉直时，小凡测得此时小明拉绳子的手到地面的距离 $C D$ 为1米，到旗杆的距离 $C E$ 为9米（如图2）．

(1)、设 $A B$ 长为 $x$ 米，绳子为_____米， $A E$ 为_____米（用 $x$ 的代数式表示）；

(2)、请你求出旗杆的高度 $A B$ ．

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二、巩固提升

9. 我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位所著，名著里有一道关于“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几?”其大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板离地5尺，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长.设绳索长为x尺，则x满足的方程为( )

A、 $x^{2} = {(x + 1)}^{2} + 1 0^{2}$ B、 $x^{2} = 1 0^{2} + {(x + 1 - 5)}^{2}$ C、 $x^{2} = {(x - 5)}^{2} + 1 0^{2}$ D、 $x^{2} = 1 0^{2} + {(x - 5 - 1)}^{2}$

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10. 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈 $= 10$ 尺）

A、10尺，11尺 B、11尺，12尺 C、12尺，13尺 D、13尺，14尺

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11. 如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角O处为0.7 m．当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动的距离为（　　)

A、3 m B、2.5 m C、2 m D、1.5 m

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12. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出4尺；竖放竿比门高长出2尺，斜着放，竿与门对角线恰恰相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为 $x$ 尺，则可列方程为（）

A、 ${(x - 2)}^{2} + {(x - 4)}^{2} = 2 x^{2}$ B、 ${(x - 2)}^{2} + 4^{2} = x^{2}$ C、 ${(x - 4)}^{2} + {(x - 2)}^{2} = x^{2}$ D、 ${(x - 4)}^{2} + x^{2} = {(x - 2)}^{2}$

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13. 如图，东西方向上有 $A, C$ 两地相距10千米，甲以16千米/时的速度从 $A$ 地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从 $C$ 地出发向正南方向前进，甲、乙两人相距6千米时，最短用时是（）

A、 $0.4$ 小时 B、 $0.5$ 小时 C、 $0.6$ 小时 D、 $0.8$ 小时

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14. 已知，如图，长方形ABCD中， AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为.

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15. 如图，在某一景观河的一侧有一最佳观景点 C，河边有两个入口A、B，通过道路AC、BC可前往观景点C，BC=AB．因景区改造，需要关闭通道AC，为了方便游客观景，分散人流，决定新修道路CH(点H在河边，A、H、B在同一直线上)．经测量：BC=250米，HC=240米， BH=70米．

(1)、判断CH 是否为从C到河边的最近道路，并说明理由．

(2)、求原道路AC的长度．

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三、能力应用

16.

项目背景	如图①，某校八年级数学兴趣小组自主开展测量学校旗杆高度的项目研究．他们制订了测量方案，并进行实地测量．
项目方案	测量过程步骤一：如图②，线段MN表示旗杆高度，MN垂直地面于点N.将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段NE.用皮尺测出NE的长度．步骤二：如图③，小丽同学将绳子末端放置于头顶，向正东方向水平移动，直到绳子拉直为止，此时小丽同学直立于地面点B处．用皮尺测出点A与点B之间的距离．步骤三：用皮尺测量出小丽直立位置距旗杆底端的水平距离．
各项数据	绳子垂到地面多出的部分：0.5 m
	小丽直立位置距旗杆底端的水平距离：6 m
	点A与点B之间的距离：1.5 m

请根据表格所给信息，回答下列问题．

(1)、直接写出线段MN与AM之间的数量关系；

(2)、根据该数学兴趣小组的测量方案和数据，求学校旗杆MN的高度．

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17. 【问题背景】
著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为 $a$ ，较小的直角边长都为 $b$ ，斜边长都为 $c$ ，大正方形的面积可以表示为 $c^{2}$ ，也可以表示为 $4 \times \frac{1}{2} a b + {(a - b)}^{2}$ ，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为 $a$ ， $b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
【探索求证】
古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②， $Rt △ A D E$ 与 $Rt △ E B C$ 按如图所示位置放置，连接CD，其中 $∠ A = ∠ B = ∠ D E C = 90 °$ ，请你利用图②推导勾股定理.
【问题解决】
如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄 $C$ ，河边原有两个取水点 $A$ ， $B$ ，其中 $A B = A C$ ，由于某种原因，由 $C$ 到 $A$ 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 $H$ （ $A$ 、 $H$ 、 $B$ 在同一条直线上），并新修一条路CH，且 $C H ⊥ A B$ .测得 $C H = 2.4$ 千米， $H B = 1.8$ 千米，求新路CH比原路CA少多少千米？
【延伸扩展】
在第（2）向中若 $A B \neq A C$ 时， $C H ⊥ A B$ ， $A C = 5$ ， $B C = 6$ ， $A B = 7$ ，设 $A H = x$ ，求 $x$ 的值.

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