北师大版数学七年级上册解一元一次方程同步练习

试卷更新日期：2026-07-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 根据等式的性质，下列各式变形错误的是（）

A、若 $a = b$ ，则 $a + 3 = b - 3$ B、若 $a = b$ ，则 $a c^{2} = b c^{2}$ C、若 $a = b$ ，则 $a - 2 = b - 2$ D、若 $a = b$ ，则 $a \div 3 = b \div 3$

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2. 下列等式变形，不一定正确的是（）

A、若 $x = y$ ，则 $x - 5 = y - 5$ B、若 $- 5 x = - 5 y$ ，则 $x = y$ C、若 $x = y$ ，则 $\frac{x}{m} = \frac{y}{m}$ D、若 $\frac{x}{2} = \frac{y}{2}$ ，则 $x = y$

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3. 已知 $a = b$ ，则下列式子错误的是（）．

A、 $b = a$ B、 $3 a = 3 b$ C、 $- \frac{1}{4} a = - \frac{1}{4} b$ D、 $a + 2 = b - 2$

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4. 解方程 $\frac{1}{3} - \frac{x - 1}{2} = 2$ 时，去分母正确的是（）

A、 $3 - 2 (x - 1) = 2$ B、 $3 - 2 (x - 1) = 12$ C、 $2 - 3 (x - 1) = 2$ D、 $2 - 3 (x - 1) = 12$

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5. 下列各式变形正确的是（）

A、若 $x - 5 = 6$ ，则 $x = 11$ B、若 $0.3 x = 45$ ，则 $\frac{0.3 x}{a} = \frac{45}{a}$ C、若 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ ，则 $2 a = 3 b$ D、若 $2 - \frac{1}{4} x = - 3$ ，则 $8 - x = 3$

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6. 下列说法错误的是（）.

A、如果x=y，那么x+1=y+1 B、如果x+3=y+3，那么-x=-y C、如果6x=3y，那么x=2y D、如果x=y，那么-3x+1=-3y+1

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7. 对于任意四个有理数a，b，c，d，定义新运算： $|\begin{array}{l} a & b \\ c & d \end{array}| = a d - b c$ ．已知 $|\begin{array}{l} 2 x + 3 & 4 \\ 1 - x & 5 \end{array}| = 18$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{14}{19}$

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8. 下列对等式的变形正确的是（）

A、由 $2 a + 1 = 5 a$ ，得 $2 a - 5 a = 1$ B、由 $a - 3 = b - 3$ ，得 $a = b$ C、由 $3 x + 7 = 12 x - 6$ ，得 $3 x - 12 x = 7 - 6$ D、由 $- \frac{1}{4} x = 12$ ，得 $x = - 3$

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9. 已知关于x的一元一次方程 $a x + b = 0$ （其中a，b为常数，且 $a \neq 0$ ），若这个方程的解恰好为 $x = a - b$ ，则称这个方程为“差解方程”．例如：方程 $2 x + 4 = 0$ 的解为 $x = - 2$ ，恰好为 $x = 2 - 4$ ，则方程 $2 x + 4 = 0$ 为“差解方程”．若关于x的一元一次方程 $6 x = - k$ 是“差解方程”，则k的值为（）

A、 $\frac{25}{4}$ B、 $\frac{36}{5}$ C、 $- \frac{36}{7}$ D、 $- \frac{10}{3}$

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二、填空题

10. 当 $x$ 为时， $\frac{3 x - 1}{2}$ 的值为 $- 1$ ．

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11. 已知关于 $x$ 的方程 $\frac{2 - x}{3} - \frac{1 - m x}{2} = 1$ 的解是整数，则满足条件的所有整数 $m$ 的绝对值的和为．

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12. 若式子 $x - \frac{x - 1}{2}$ 与 $\frac{x + 2}{5} - 2$ 的值互为相反数，则x的值为．

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13. 若单项式 $\frac{1}{3} a^{m + 1} b^{3}$ 与 $- 2 a^{2} b^{n + 1}$ 的和仍是单项式，则关于x的方程 $\frac{m}{3} x - \frac{5 x - n}{7} = 4$ 的解为．

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14. 由等式（a﹣2）x=a﹣2能得到x﹣1=0，则a必须满足的条件是　

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三、解答题

15. 解方程：

(1)、 $5 x + 3 = 2 (x - 3)$ ；

(2)、 $\frac{2 x - 1}{3} = 1 - \frac{x + 2}{4}$ ．

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16. 小明同学解方程后，经检验发现答案错了．请你帮他找寻原因，并完成相应的任务．
解方程： $\frac{x + 3}{2} - \frac{5 x - 3}{6} = 1$
解：去分母，得 $3 (x + 3) - (5 x - 3) = 1$ $\dots$ 第一步
去括号，得 $3 x + 9 - 5 x + 3 = 1$ $\dots$ 第二步
移项，得 $3 x - 5 x = - 9 - 3 + 1$ $\dots$ 第三步
合并同类项，得 $- 2 x = - 11$ $\dots$ 第四步
系数化为 $1$ ，得 $x = \frac{11}{2}$ $\dots$ 第五步

(1)、任务一；解答过程中，第________步开始出现了错误，产生错误的原因是________；

(2)、任务二：
①求出该一元一次方程正确的解；
②请写出一条解一元一次方程时应注意的事项：________．

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17. 定义一种新的运算法则： $a ※ b = a (a + b)$ ，如 $2 ※ 3 = 2 \times (2 + 3) = 10$ ．

(1)、根据这个运算法则，计算 $3 ※ (- 5)$ 的值；

(2)、求关于x的方程 $2 ※ (x + 1) = 0$ 的解．

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18. 阅读理解：我们把 $|\begin{array}{l} a b \\ c d \end{array}|$ 称为二阶行列式，规定它的运算法则为 $|\begin{array}{l} a b \\ c d \end{array}| = a d - b c$ ，例如： $|\begin{array}{l} 2 3 \\ 4 5 \end{array}| = 2 \times 5 - 3 \times 4 = - 2$

(1)、填空： $|\begin{array}{l} 2 3 \\ - 1 1 \end{array}| =$ ；若 $|\begin{array}{l} - 1 2 x - 1 \\ - 2 x \end{array}| = 0$ ，则 $x =$

(2)、若 $|\begin{array}{l} - x + 1 k \\ 3 - x 2 \end{array}|$ 的值与 $x$ 的取值无关，求 $|\begin{array}{l} - x + 1 k \\ 3 - x 2 \end{array}|$ 的值

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19. 如何解关于

x

的一元一次方程

2 (x + 2) + 1 = 7

呢？小明和小暗在课后使用了不同的解题思路．

小明的思路

去括号，得： $2 x + 4 + 1 = 7$

移项，合并同类项，得： $2 x = 2$

方程的两边都除以2，得： $x = 1$

小暗的思路

移项，合并同类项，得： $2 (x + 2) = 6$ ……第1步

方程的两边都除以2，得： $x + 2 = 3$ ……第2步

移项，合并同类项，得： $x = 1$ ……第3步

经过验算，两人的结果都正确．同时，小暗发现，对于方程 $2 m + 1 = 7$ ，只需进行思路中的第1步与第2步，可解得 $m = 3$ ，这刚好对应了 $x + 2 = 3$ ．小暗认为，方程 $2 (x + 2) + 1 = 7$ 中的“ $(x + 2)$ ”就相当于方程 $2 m + 1 = 7$ 中的“ $m$ ”．

请阅读以上内容，并解决下面的问题，方法不限，合理即可：

(1)、解方程

\frac{4 x - 6}{3} + 1 = \frac{4 x - 6}{4}

(2)、若

x = 1

是关于

x

的方程

a x - 7 = 8 x - a

的解，请你求出关于

y

的方程

a (2 y + 9) - 7 = 8 (2 y + 9) - a

的解．

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20. 阅读材料：
材料一：对于有理数a，b，定义 $F (a, b)$ 的含义：当 $a \leq b$ 时， $F (a, b) = a + b$ ，当 $a > b$ 时， $F (a, b) = a - b$ ．
例如： $F (1, 3) = 1 + 3 = 4$ ， $2 F (1, - 2) = 2 [1 - (- 2)] = 6$ ．
材料二：关于数学家高斯的故事：2000多年前，高斯提出了下面的问题： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + 100 = ?$ 据说，当其他同学忙于把100个数逐渐相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确的答案： $(1 + 100) + (2 + 99) + \cdot \cdot \cdot + (50 + 51) = 101 \times 50 = 5050$ ．
也可以这样理解：令 $S = 1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + 100$ ①，则 $S = 100 + 99 + \cdot \cdot \cdot + 3 + 2 + 1$ ②，
由①+②，得 $2 S = (1 + 100) + (2 + 99) + \cdot \cdot \cdot + (99 + 2) + (100 + 1) = 101 \times 100 = 10100$ ，即 $S = 10100 \div 2 = 5050$ ．
请你根据上述材料，解答下列问题．

(1)、 $F (- 4, 2)$ =______， $F (2, - 3)$ =______．

(2)、计算： $5 F (- 3.6, 2.8) + F (5.4, - 1.6)$ ．

(3)、解方程： $2 F (4, x) = 3 F (x, 4)$ ．

(4)、当 $F (- m^{2} + 2, 2) = 0$ 且 $m > 0$ 时，求 $F (1 ， m + 1) + F (5 ， m + 5) + ...... + F (101 ， m + 101)$ 的值．

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21. 若 $a + 5$ 与 $7 - b$ 互为相反数，求 $a$ 与 $b$ 的差．

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