相关试卷

1、如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且 $B C = 10$ 米，则树高度 $A B$ 为（）米．

A、 $\frac{10}{tan α}$ B、 $10 \tan α$ C、 $10 \sin α$ D、 $\frac{10}{sin α}$

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2、下列运算正确的是（）

A、 $2 m \cdot m = 2 m^{2}$ B、 $m^{2} - m = m$ C、 ${(2 m^{2})}^{3} = 6 m^{6}$ D、 $(m + 1) (m - 1) = 1 - m^{2}$

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3、下列图形中，对称轴最多的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、下列数中，比 $\sqrt{3}$ 大的实数是（）

A、 $- 2$ B、0 C、3 D、 $\sqrt{2}$

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5、【问题背景】对于平面直角坐标系中的两条直线，给出如下定义：若不平行的两条直线与x轴相交所成的锐角相等，则称这两条直线为“等腰三角线”．如图1中，若 $∠ P Q R = ∠ P R Q$ ，则直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 称为“等腰三角线”；反之，若直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 为“等腰三角线”，则 $∠ P Q R = ∠ P R Q ．$
【构建联系】
（1）如图1，若直线 $P Q$ 与直线 $P R$ 为“等腰三角线”，且点P、Q的坐标分别为 $(2, 5)$ 、 $(- 3, 0)$ ，求直线 $P R$ 的解析式；
【深入探究】
（2）如图2，直线 $y = \frac{1}{4} x$ 与双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 交于点A、B，点C是双曲线 $y = \frac{1}{x}$ 上的一动点，且点C在点A的左侧，点C的横坐标为 $n (n > 0)$ ，直线 $B C 、 A C$ 分别与x轴于点D、E；
①求证：直线 $A C$ 与直线 $B C$ 为“等腰三角线”；
②过点D作x轴的垂线l，在直线l上存在一点F，连接 $E F$ ，当 $∠ E F D = ∠ D C A$ 时，求出线段 $D E + E F$ 的值 $($ 用含n的代数式表示 $) ．$

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6、点C为 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 的公共顶点，将 $△ C D E$ 绕点C顺时针旋转 $α (0 ° < α < 360 °)$ ，连接 $B D$ ， $A E ．$

(1)、【问题发现】如图1所示，若 $△ A B C$ 和 $△ C D E$ 均为等边三角形，求证： $B D = A E$ ；

(2)、【类比探究】如图2所示，若 $∠ A B C = ∠ E D C = 90 °$ ， $∠ A C B = ∠ E C D = 60 °$ ，其他条件不变，请写出线段 $B D$ 与线段 $A E$ 的数量关系是；

(3)、【拓展应用】如图3所示，若 $∠ B A C = ∠ D E C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $C E = D E$ ， $B C = 2 C D = 4 \sqrt{2}$ ，当点B，D，E三点共线时，求 $A E$ 的长．

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7、综合与实践：根据以下素材，探索求圆半径的方法．
【背景素材】同学们用若干大小不一的透明圆形 $($ 或半圆形 $)$ 纸片，及一张宽 $2 cm$ 且足够长的矩形纸带 $($ 如图 $1)$ 设计了一系列任务，探索完成任务．
【任务一】若同学甲将一圆形纸片与矩形纸带摆放成如图2位置，使圆经过A，B， $G ．$ 现测得 $A G = 1 cm$ ，求出该圆的半径．
【任务二】按如图3摆放纸片，点A，P在圆上．在AD边上取点M使 $A M = 2 A B$ ，作 $M N ⊥ B C$ 于N，连接 $A N$ 恰过圆心O，交圆于点Q，连接 $P N$ ，量得 $∠ 1 = ∠ 2 ．$
①判断直线 $P N$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；
②直接写出 $⊙ O$ 的半径为______ $cm ．$

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8、为保护青少年视力，某企业研发了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面示意（如图2），测得底座高 $A B$ 为 $2 cm$ ， $∠ A B C = 150 °$ ，支架 $B C$ 为 $18 cm$ ，面板长 $D E$ 为 $24 cm$ ， $C D$ 为 $6 cm$ $． ($ 厚度忽略不计)

(1)、求支点C离桌面l的高度 $C F$ 为多少？（结果保留根号）

(2)、当面板 $D E$ 绕点C转动时，面板与桌面的夹角 $α$ 满足 $30 ° \leq α \leq 70 °$ 时，保护视力的效果较好．当 $α$ 从 $30 °$ 变化到 $70 °$ 的过程中，面板上端E离桌面l的高度增加了多少？ $($ 结果精确到 $0.1 cm$ ，参考数据： $sin 70 ° \approx 0.94$ ， $cos 70 ° \approx 0.34$ ， $tan 70 ° \approx 2.75$ ）

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9、小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．

(1)、小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？

(2)、小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？

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10、项目式学习：“碳达峰”与“碳中和”是两个与全球气候变化紧密相关的概念．为了考察初中生对全球气候变化基础知识的了解程度，某校组织了一次测试，并将得分结果量化为0至100之间的分数，然后分别随机抽取了三个年级各10名学生的得分数据如下：
【收集整理】
七年级得分数据：60，65，70，70，70，70，85，85，95， $100$ ；
八年级得分数据：70、75，80，85，85，90，90，90，95， $100$ ；
九年级得分数据：65，70，80，80，80，90，90，95、100，100，
【描述分析】
（1）七、八、九年级学生得分的平均数、中位数、众数如表：

平均数
中位数
众数
七年级
a
70
70
八年级
86
$87.5$
c
九年级
85
b
80
直接写出 $a =$ ______， $b =$ ______， $c =$ ______．
【分析解决】
（2）关于学生的全球气候变化基础知识的掌握程度，请依据 $(1)$ 中的数据分析结果，任选一个角度，对三个年级的学生做出评价．

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11、如图， $O A$ 为 $⊙ O$ 的半径， $B M$ 为 $⊙ O$ 的直径，直线l与 $⊙ O$ 相切于点 $A ．$

(1)、请用无刻度的直尺和圆规过点O作线段 $B M$ 的垂线，交直线l于点 $C ($ 要求：不写作法，保留作图痕迹 $) ．$

(2)、在（1）的条件下，连接 $A B$ ，若 $∠ A B O = 20 °$ ，则 $∠ O C A$ 的度数为______．

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12、解不等式组： $\{\begin{cases} 2 (x - 1) \leq 6 \\ 3 - \frac{1}{2} x < 4 \end{cases}$

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13、如图，点D在等边三角形ABC边BC延长线上， $C D = A C = 2$ ，连接AD，则AD的长为．

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14、化简 $\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} =$ ．

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15、单项式 $3 x y$ 的次数为．

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16、如图，在 $⊙ O$ 中， $O C = 6$ ， $O C ⊥ A B$ ， $∠ D = 30 °$ ，则 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $2 π$ B、 $3 π$ C、 $4 π$ D、 $6 π$

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17、如图，已知一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 1)$ ，则关于x的方程 $k x + b = 0$ 的解为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 2$ D、 $x = 2$

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18、如图， $△ A D E ∽ △ A B C$ ，若 $A D = 1$ ， $A B = 3$ ，则 $△ A D E$ 与 $△ A B C$ 的相似比是（）

A、 $1 ： 2$ B、 $1 ： 3$ C、 $1 ： 9$ D、 $1 ： 4$

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19、2025年春节热门电影有以下4部：《哪吒之魔童闹海》、《熊出没》、《封神第二部》、《唐探1900》．若小明看了其中一部，则这部影片是《唐探1900》的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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20、【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出来角为 $4 5^{°}$ 的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的 $∠ E A F = 4 5^{°}$ ， AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点，若BE=a，DF=b，EF=c(a，b，c为常数).易证：EF=BE+FD，则可以得到a，b，c之间的数量关系是：c=a+b.
证明：如图2，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B G$ ，由 $∠ G B E = 18 0^{°}$ 可得G、B、E三点共线， $∠ C A E = ∠ E A F = 4 5^{°}$ ，可证明 $△ A E G ≅ △ A E F$ ，故EF=GE=BE+DF，进而得到c=a+b.
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊项角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论.

(1)、【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题.
如图3，在等腰 $R t △ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 4 5^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，将 $△ A D B$ 绕点A逆时针旋转 $9 0^{°}$ ，如图4，得到 $△ A C F$ ，易证 $∠ E C F = 9 0^{°}$ ， $△ A D E ≅ △ A F E$ ，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a，b，c之间的数量关系是：

(2)、如图5，在等边 $△ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 3 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点.若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(3)、如图6，在等腰 $△ A B C$ 中，顶角 $∠ B A C = 12 0^{°}$ ，以A为顶点的 $∠ D A E = 6 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(4)、【实践应用】
在第(3)问第①小问基础上，把 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $12 0^{°}$ 得 $△ A C F$ ，如图7，如果线段EF与边AC交于点G，则线段CG=

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	平均数	中位数	众数
七年级	a	70	70
八年级	86	$87.5$	c
九年级	85	b	80