相关试卷

1、若 $2 x - y - 2 = 0$ ，则 $9^{x} \div 3^{y} - 1$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、8 C、7 D、6

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2、等腰三角形的周长是30，其中一条边长为6，则等腰三角形的腰长为（）

A、18 B、6或12 C、12 D、6

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3、近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分，如图为槐荫区勾股数学公众号二维码，小莲将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，她在纸片内随机掷点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.75左右，则据此估计此二维码白色部分的面积为（）

A、15 B、5 C、0.75 D、0.25

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4、
四边形的形状特征与几何性质，和它的对角线有着密不可分的关系．在凸四边形中，若它的两条对角线互相垂直，且其中一条对角线与四边形的一边相等，则称该凸四边形为“垂等四边形”．如图 $1$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A C ⊥ B D$ ， $A C = B C$ ，此时，四边形 $A B C D$ 是“垂等四边形”．

【探究性质】
（1）如图 $2$ ，在垂等四边形 $A B C D$ 中， $A B = A C$ ， $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $E$ ．
①判断 $∠ B A C$ 与 $∠ D B C$ 的数量关系是______；
②若 $A B = 6$ ， $B D = 8$ ，求垂等四边形 $A B C D$ 的面积；
【判定推理】
（2）如图 $3$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转，得到 $△ A D E$ ，若点 $D$ 恰好落在 $B C$ 的垂直平分线上，连接 $C D$ ， $B E$ ，求证：四边形 $B C D E$ 是垂等四边形；
【综合运用】
（3）如图 $4$ ，在平面直角坐标系中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标分别为 $(0, 4)$ ， $(- 3, 0)$ ， $(3, 0)$ ，点 $P$ 为平面内一个动点，若以 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $P$ 为顶点的四边形是垂等四边形，且 $B P = B C$ ，直接写出点 $P$ 的坐标．

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5、
【研究背景】某实验室研发了一款面向复杂地形场景的巡检机器人．为避免其与障碍物发生碰撞，优化起跳性能，研究团队将机器人近似看作一点，以起跳点为坐标原点，水平向右为 $x$ 轴正方向，在固定起跳仰角下，机器人的跳跃高度 $y$ 与跳跃水平距离 $x$ 的关系，可用函数 $y = - \frac{p}{v^{2}} x^{2} + q x$ 描述，式中 $v$ 为起跳速度（单位： $m/s$ ）， $p$ ， $q$ 是常数，轨迹系数由起跳速度的大小与仰角共同决定．
例如：以 $45 °$ 起跳时，则满足 $y = - \frac{10}{v^{2}} x^{2} + x$ ；以 $60 °$ 起跳时，则满足 $y = - \frac{20}{v^{2}} x^{2} + \sqrt{3} x$ ．
【模型研究】如图 $1$ ，将机器人跳跃轨迹抽象成形如 $y = - a x^{2} + b x$ 的二次函数图象（ $a$ ， $b$ 均为常数， $a > 0$ ， $b > 0$ ），该函数图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，取抛物线顶点 $B$ ，过 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ．机器人单次跳跃的水平距离为线段 $O A$ 的长，跳跃最大高度为线段 $B C$ 的长，经研究发现 $O A$ 与 $B C$ 存在一定的比例关系．
（1）当 $a = 1$ ， $b = 6$ 时，则 $O A =$ ， $B C =$ ；
（2）用含 $a$ ， $b$ 的式子来表示 $O A$ ， $B C$ 的长度，并求出 $\frac{O A}{B C}$ 的值；
【模型应用】图 $2$ 是研究团队利用高速摄像机记录的某次机器人连续两次跳跃的轨迹，两次跳跃均以某相同的起跳仰角起跳，每段跳跃轨迹均可用 $y = - \frac{12}{v^{2}} x^{2} + 2 x$ 描述，两次共跳了 $3 m$ 远．在起跳点正上方 $1 m$ 处，设置有一条平行于地面的观测线 $M N$ ．若两次跳跃过程中，均未触碰到 $M N$ ，设两次跳跃的最大高度分别为 $D E$ ， $F G$ ．
（3）①求 $D E + F G$ 的值；
②设其第一次起跳的速度为 $v_{1}$ （单位： $m/s$ ），求 $v_{1}^{2}$ 的取值范围．

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6、已知三个正整数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $0 < x < y < z$ ，且 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，求 $x$ ， $y$ ， $z$ ．
解： $∵ 0 < x < y < z$ ， $∴ \frac{1}{x} > \frac{1}{y} > \frac{1}{z}$ ；
由 $\frac{1}{x} > \frac{1}{y}$ ， $\frac{1}{x} > \frac{1}{z}$ ，可得 $\frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} > \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，
$∴ \frac{3}{x} > 1$ ，解得 $x < 3$ ，
又 $∵ \frac{1}{x} < \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ ，解得 $x > 1$ ，
综上， $x$ 的取值范围是①                  ，
$∵ x$ 为正整数， $∴ x =$ ②                       ．

(1)、直接填空：①               ；②                  ．

(2)、类比上述探究方法，求出 $y$ 的取值范围；

(3)、直接写出方程 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$ 的正整数解．

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7、如图， $▱ A B C D$ 的对角线 $A C ⊥ B C$ ， $E$ 为 $C D$ 的中点，连接 $A E$ ，并延长 $A E$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $D F$ ．

(1)、求证： $△ A D E ≌ △ F C E$ ；

(2)、求证：四边形 $A C F D$ 是矩形．

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8、如图 $1$ ，在扇形 $O A B$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ．

(1)、尺规作图：作 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点 $C$ （不写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的条件下，连接 $A B$ ， $O C$ ，并且 $A B$ ， $O C$ 交于点 $D$ ，若 $C D = 3$ ．
①求 $\overset{⌢}{A B}$ 的长；
②如图 $2$ ，将如图 $1$ 中的扇形 $O A B$ 围成圆锥， $O A$ ， $O B$ 恰好重合，求圆锥的底面半径．

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9、按要求完成下列计算：

(1)、计算： ${(- 2)}^{2} \times \frac{1}{4} - 5$ ；

(2)、化简： $\frac{a^{2} - 1}{a - 1} \div \frac{a + 1}{a}$ ．

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10、汽车在转弯时会产生内轮差盲区，内轮差指车辆在转弯时前内轮与后内轮转弯半径之差．如图 $1$ 所示，为了安全，许多路口都设置如图 $2$ 的“右转危险区”（阴影部分）示意图． $A B$ ， $C D$ 与扇形 $O_{1} A D$ 分别相切于点 $A$ ，点 $D$ ，与扇形 $O_{2} B C$ 分别相切于点 $B$ ，点 $C$ ，后内轮转弯半径 $O_{1} A = O_{1} D = 12 m$ ，前内轮转弯半径 $O_{2} B = O_{2} C = 6 m$ ， $∠ D O_{1} A = ∠ C O_{2} B = 90 °$ ．则“右转危险区”（阴影部分）的面积是 $m^{2}$ ．

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11、用若干张图 $1$ 中的直角三角形和四边形纸片密铺（不重叠、无空隙）成图 $2$ ，则 $2 x + y =$ °．

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12、如图，在月历表中任取 $1$ 天，恰好这一天是星期二的概率是．

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13、单项式 $3 a^{2} b$ 的系数为．

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14、中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为 $x$ ，频率为 $y$ ，选取 $5$ 组数对 $(x, y)$ ，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 5 = 0$ 两个根，则 $x_{1} x_{2}$ 值为（）

A、 $5$ B、 $- 5$ C、 $2$ D、 $- 2$

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16、如图，木工师傅只用两枚钉子就把一根木条固定在墙上，依据的数学原理是（）

A、两点确定一条直线 B、经过一点有无数条直线 C、垂线段最短 D、两点之间，线段最短

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17、某同学参加学校举行的“十大歌手”评选活动， $7$ 位评委分别给出了评分，去掉一个最高分、一个最低分后，剩下的 $5$ 个评分与原始的 $7$ 个评分相比一定不发生变化的是（）

A、中位数 B、加权平均数 C、算术平均数 D、众数

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18、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，将线段 $C D$ 水平向左平移 $n$ 个单位得到线段 $M N$ ，若四边形 $A B M N$ 为菱形，则 $n$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $5$

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19、如图，若 $△ A B C$ 的三边长 $A B = 3$ ， $B C = 4$ ， $A C = 5$ ，则 $tan C$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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20、如图，“云形”盖住的点的坐标可能是（）

A、 $(2, 2)$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(- 2, - 2)$ D、 $(2, - 2)$

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