2.3.3二次根式的混合运算及应用-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-06-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $3 \sqrt{2} - \sqrt{2} = 3$ C、 $\sqrt{12} \div \sqrt{3} = 4$ D、 $\sqrt{12} \times \sqrt{3} = 6$

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2. $\sqrt{m + n}$ 的一个有理化因式是（）

A、 $\sqrt{m + n}$ B、 $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ C、 $\sqrt{m} - \sqrt{n}$ D、 $\sqrt{m - n}$

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3. 已知 $a, b$ 均为有理数，且 $a + b \sqrt{3} = {(2 - \sqrt{3})}^{2}$ ，则 $a, b$ 的值为（）

A、 $a = 4, b = 3$ B、 $a = 7, b = - 4$ C、 $a = 4, b = 4$ D、 $a = 7, b = 4$

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4. 陈老师在黑板上写了一个式子： $(\sqrt{3} + 1) □ (1 - \sqrt{3})$ ， “□”中的运算符号没有给出，如果要求运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（）

A、+或× B、×或÷ C、+或- D、-或÷

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5. 若 $a = 1 + \sqrt{2} ， b = \frac{1}{1 - \sqrt{2}}$ ，则a、b两数的关系是（）

A、互为相反数 B、互为倒数 C、相等 D、互为负倒数

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6. 已知 $m = 1 + \sqrt{2}$ ， $n = 1 - \sqrt{2}$ ，则代数式 $\sqrt{m^{2} + n^{2} - 3 m n}$ 的值为（）

A、9 B、 $\pm 3$ C、3 D、5

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7. 与 $\sqrt{3^{2} - 2^{2} - 1^{2}}$ 结果相同的是（）

A、 $3 - 2 + 1$ B、 $3 + 2 - 1$ C、 $3 + 2 + 1$ D、 $3 - 2 - 1$

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8. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $p = \frac{a + b + c}{2}$ ，那么三角形的面积为 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 所对的边分别记为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $a = 5$ ， $b = 6$ ， $c = 7$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、 $6 \sqrt{6}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $18$ D、 $\frac{19}{2}$

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二、填空题

9. 化简： $\frac{3}{\sqrt{3}}$ = ．

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10. $\sqrt{5} - 2$ 的一个有理化因式是.

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11. $\sqrt{m} + \sqrt{n}$ 的倒数是．

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12. 对于任意不相等的两个数 $a$ ， $b$ ，定义一种运算 $※$ 如下： $a ※ b = \frac{\sqrt{a + b}}{a - b}$ ，如 $5 ※ 4 = \frac{\sqrt{5 + 4}}{5 - 4} = 3$ ，那么 $(2 - \sqrt{3}) ※ (7 ※ 5) =$ ．

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13. 已知x，y为实数，且 $y = \sqrt{x - 2024} - \sqrt{2024 - x} + 2000$ ，则 $\sqrt{x - y}$ =.

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14. 大家知道 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是可以用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分（因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分）．
⑴如果 $\sqrt{7}$ 的小数部分为 $a$ ， $\sqrt{11}$ 的整数部分为 $b$ ，求 $a + b - \sqrt{7}$ 的值．
⑵已知： $21 + \sqrt{10} = x + y$ ，其中x是整数，且 $0 < y < 1$ ，求 $x - y$ 的相反数．

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三、计算题

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{\frac{4}{3}} + \frac{2}{\sqrt{6}} \times \sqrt{8} - \sqrt{27}$

(2)、 $(\sqrt{5} + \sqrt{2}) (\sqrt{5} - \sqrt{2}) - {(\sqrt{2} - 1)}^{2}$

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16. 计算：

(1)、 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1)$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}} - \sqrt[3]{8}$ ；

(3)、 $\sqrt{18} - \sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{8}}$ ．

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17. 计算题

(1)、 $| - 1 | - \sqrt{4} + {(π - 3)}^{0} + 2^{2}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}$

(3)、 $(\sqrt{6} - 2 \sqrt{15}) \times \sqrt{3} - 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{16} - {(\frac{1}{2})}^{- 1} \times {(π - 1)}^{0} - {(- 1)}^{2013} + \sqrt[3]{- 27}$

(2)、 ${(\sqrt{3} - 1)}^{2} - \frac{\sqrt{12} + \sqrt{27}}{\sqrt{3}}$

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四、解答题

19. 某居民小区有块形状为矩形 $A B C D$ 的绿地，长 $B C$ 为 $\sqrt{128}$ 米，宽 $A B$ 为 $\sqrt{50}$ 米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为 $(\sqrt{13} + 1)$ 米，宽为 $(\sqrt{13} - 1)$ 米．

(1)、求矩形 $A B C D$ 的周长．（结果化为最简二次根式）

(2)、除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

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20. 下面是小明同学计算 $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$ 的过程，请认真阅读并完成相应的任务，
解： $\sqrt{\frac{4}{3}} - \frac{1}{2} (\sqrt{12} - \sqrt{75})$
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} (2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3})$ 第一步
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} - \frac{1}{2} \times 5 \sqrt{3}$ 第二步
$= \frac{2 \sqrt{3}}{3} - \sqrt{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ 第三步
$= \frac{4 \sqrt{3}}{6} - \frac{6 \sqrt{3}}{6} - \frac{15 \sqrt{3}}{6}$ 第四步
$= - \frac{17 \sqrt{3}}{6}$ 第五步
任务一：小明同学的解答过程从第 ▲ 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ▲ .
任务二：请你写出正确的计算过程.

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21. 求代数式 $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ 的值，其中 $a = 1007$ ，如图是小亮和小芳的解答过程：

(1)、__________的解法是错误的；

(2)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中 $a = - 2024$ ．

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22. 我们知道 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ，因此将 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ 分子、分母同时乘“ $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ”，分母就变成了1，原式可以化简为 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ，所以有 $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．
请仿照上面的方法，解决下列各题．

(1)、化简： $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} =$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} =$ ；

(2)、若 $x = \frac{1}{3 + 2 \sqrt{2}}$ ， $y = \frac{1}{3 - 2 \sqrt{2}}$ ，求 ${(x - y)}^{2} - x y$ 的值；

(3)、根据以上规律计算下列式子的值： $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{3}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2021}}$ ．

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五、实践探究题

23. 我们已经学过完全平方公式a²±2ab+b²＝（a±b）² ，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（ $\sqrt{2}$ ）² ， 3＝（ $\sqrt{3}$ ）² ， 7＝（ $\sqrt{7}$ ）² ， 0＝0² ，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3-2 $\sqrt{2}$ 的算术平方根．
解：3- $2 \sqrt{2} = 2 - 2 \sqrt{2} + 1 = (\sqrt{2})^{2} - 2 \sqrt{2} + 1^{2} = (\sqrt{2} - 1)^{2}$ ， ∴3-2 $\sqrt{2}$ 的算术平方根是 $\sqrt{2}$ -1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：

(1)、 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$

(2)、 $\sqrt{10 + 8 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

(3)、 $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}} + \sqrt{7 - 2 \sqrt{12}} + \sqrt{9 - 2 \sqrt{20}} + \sqrt{11 - 2 \sqrt{30}}$

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24. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料1.古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式 $S = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ （其中a，b，c为三角形的三边长， $p = \frac{a + b + c}{2}, s$ 为三角形的面积）.
材料2.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式： $S = \sqrt{\frac{1}{4} [a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}]$ 其中三角形边长分别为a，b，c，三角形的面积为S.

(1)、利用材料1解决下面的问题：当 $a = \sqrt{5}, b = 3, c = 2 \sqrt{5}$ 时，求这个三角形的面积?

(2)、利用材料2解决下面的问题：已知 $△ A B C$ 三条边的长度分别是 $\sqrt{x + 1}, \sqrt{(5 - x)^{2}}, 4 - (\sqrt{4 - x})^{2}$ ，记 $△ A B C$ 的周长为 $C_{A B C}$ .
①当 $x = 2$ 时，请直接写出 $△ A B C$ 中最长边的长度；
②若 $x$ 为整数，当 $C_{△ A B C}$ 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 $△ A B C$ 的面积.

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六、阅读理解题

25. 阅读材料，然后作答：
在化简二次根式时，有时会碰到形如 $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ， $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 这一类式子，通常进行这样的化简： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1$ ，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将 $\frac{2}{\sqrt{3} + 1}$ 进行分母有理化：
例如： $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{{(\sqrt{3})}^{2} - 1^{2}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt{3} - 1$ ；
请仿照上述方法解决下面问题：
(1)化简 $\frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ ；
(2)化简 $\frac{a - b}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$ ．

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26. 阅读材料：
【材料一】两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，例如： $\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5, (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = 6 - 2 = 4$ ，我们称 $\sqrt{5}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{5}, \sqrt{6} - \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ ．如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．例如： $\frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{1 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\frac{8}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})} = \frac{8 (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} = 2 \sqrt{6} + 2 \sqrt{2} .$
【材料二】小明在学习了上述材料后结合所学知识灵活解决问题：已知 $a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ ，求 $2 a^{2} - 8 a + 1$ 的值．他是这样分析与解答的： $∵ a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})} = 2 - \sqrt{3}$ ， $∴ a = 2 - \sqrt{3}, ∴ {(a - 2)}^{2} = 3, a^{2} - 4 a + 4 = 3, ∴ a^{2} - 4 a = - 1$ ， $∴ 2 a^{2} - 8 a + 1 = 2 (a^{2} - 4 a) + 1 = 2 \times (- 1) + 1 = - 1$ ．
请你根据材料中的方法探索并解决下列问题：

(1)、 $\sqrt{13}$ 的有理化因式是， $\sqrt{11} - \sqrt{5}$ 的有理化因式是；（均写出一个即可）

(2)、计算： $\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + ⋯ + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2023}}$ ；

(3)、若 $a = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$ ，求 $3 a^{2} - 6 a + 5$ 的值．

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