2.3.1二次根式（性质意义与乘除运算）-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 若式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x > 1$ C、 $x \leq 1$ D、 $x \geq 1$

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2. 函数 $y = \frac{\sqrt{x + 1}}{x}$ 的自变量的取值范围是（）

A、 $x \geq - 1$ B、 $x \geq - 1$ 且 $x \neq 0$ C、 $x > 0$ D、 $x > - 1$ 且 $x \neq 0$

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3. 若 $\sqrt{8}$ 与最简二次根式 $\sqrt{a + 1}$ 是同类二次根式，则a的值为（）

A、7 B、9 C、2 D、1

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4. 若 $\sqrt{x - 2} + | y + 7 | + {(z - 7)}^{2} = 0$ ，则 $x - y + z$ 的平方根为（）

A、±2 B、4 C、2 D、±4

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5. 当 $x < 0$ ， $y < 0$ 时，在下列各式的计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{x^{2} y^{5}} = x y^{2} \sqrt{x y}$ B、 $\sqrt{x^{5} y^{3}} = - x^{2} y \sqrt{x y}$ C、 $\sqrt{4 x^{3} y} = 2 x \sqrt{- x y}$ D、 $\sqrt{- 9 x^{4} y} = - 3 x^{2} \sqrt{y}$

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二、填空题

6. 已知 $m n < 0$ ，化简： $\sqrt{- m^{2} n} =$ ．

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7. 化简： $\sqrt{(π - 3)^{2}}$ = ．

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8. 计算： $\frac{\sqrt{6} \times \sqrt{8}}{\sqrt{2}} =$ .

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9. 计算 ${(\sqrt{5})}^{2} - (1 - 3 \sqrt{2}) (1 + 3 \sqrt{2}) =$ ．

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10. 计算： ${(\sqrt{3} - \sqrt{2})}^{^{2}}$ = .

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11. 已知 $\sqrt{2.1} \approx 1.449$ ， $\sqrt{21} \approx 4.573$ ，则 $\sqrt{210} \approx$ .

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三、计算题

12. 计算： $2 \sqrt{\frac{2}{3 m}} \div \frac{1}{6} \sqrt{6 m} \cdot \sqrt{8 m^{3}}$

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13. 计算： $\sqrt{\frac{b}{a}} \times \sqrt{\frac{a^{3}}{b}} \div \sqrt{a b}$

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14. 计算： $3 \sqrt{x_{}^{2} y} \times \frac{1}{6} \sqrt{\frac{x_{}^{2}}{y}} \div 2 \sqrt{x_{}^{3} y_{}^{2}}$ $(x > 0 ， y > 0)$

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15. 计算： $3 \sqrt{1 \frac{1}{7}} \div \frac{\sqrt{2}}{2} \times \sqrt{\frac{3}{14}}$

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四、解答题

16. 已知 $a$ ， $b$ 两数在数轴上的表示如图所示，化简： $\sqrt{{(a + 2)}^{2}} - \sqrt{{(b - 2)}^{2}} + \sqrt{{(a + b)}^{2}}$ .

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17. 阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简： ${(\sqrt{2 - 3 x})}^{2} - |1 - x|$ ．
解：隐含条件 $2 - 3 x \geq 0$ ，
解得 $x \leq \frac{2}{3}$ ，
∴ $1 - x > 0$ ，
∴原式 $= (2 - 3 x) - (1 - x) = 2 - 3 x - 1 + x = 1 - 2 x$
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简 $\sqrt{{(x - π)}^{2}} - {(\sqrt{3 - x})}^{2}$ （结果保留 $π$ ）
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简： $\sqrt{a^{2}} - \sqrt{{(a + b)}^{2}} - |b - a|$

（3）已知a，b，c为 $△ A B C$ 的三边长．化简： $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} - \sqrt{{(b - a - c)}^{2}} + \sqrt{{(c - b - a)}^{2}}$

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18. 如图，实数 $a ， b ， c$ 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 $\sqrt{a^{2}} + | b - a | - \sqrt[3]{(a + b)^{3}} - \sqrt{(b - c)^{2}}$ 的结果．

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19. 已知 $\frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{3 - x}} = \sqrt{\frac{x - 2}{3 - x}}$ 成立。

(1)、填空： $x$ 的取值范围是.

(2)、化简： $\sqrt{\frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 6 x + 9}}$

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20. 实数 $a$ 与 $b$ 满足 $b = \sqrt{4 - a}$ .

(1)、写出 $a$ 与 $b$ 的取值范围；

(2)、已知 $\sqrt{3} b$ 是有理数，
①当 $a$ 是正整数时，求 $b$ 的值；
②当 $a$ 是整数时，若将符合条件的 $a$ 的值从大到小排列，求排在第3个位置和第11个位置的 $a$ .

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21. 我们规定用（a ， b）表示一对数对，给出如下定义：记m＝ $\sqrt{a}$ ， n＝ $\sqrt{b}$ （a＞0，b＞0），将（m ， n）与（n ， m）称为数对（a ， b）的一对“对称数对”．例如（4，1）的一对“对称数对”为（2，1）与（1，2）．

(1)、数对（25，4）的一对“对称数对”是和；

(2)、若数对（x ， 2）的一对“对称数对”的一个数对是（ $\sqrt{2}$ ， 3），求x的值．

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五、实践探究题

22. 先来看一个有趣的现象： $\sqrt{2 \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{2^{2} \times 2}{3}} = 2 \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，这里根号里 $\frac{2}{3}$ 前后2经过适当的演变，竟“跑”到了根号外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如 $\sqrt{3 \frac{3}{8}} = 3 \sqrt{\frac{3}{8}}$ ， $\sqrt{4 \frac{4}{15}} = 4 \sqrt{\frac{4}{15}}$

(1)、猜想： $\sqrt{5 \frac{5}{24}}$ = ，并验证你的猜想。

(2)、你能只用一个正数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗?写出此等式，并证明。

(3)、请再写出1个具有“穿墙”性质的数。

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23. 探究题：
$\sqrt{3^{2}}$ =3， $\sqrt{{0.5}^{2}}$ =0.5， $\sqrt{{(- 6)}^{2}}$ =6， $\sqrt{{(- \frac{3}{4})}^{2}}$ = $\frac{3}{4}$ ， $\sqrt{0^{2}}$ =0．
根据以上算式，回答：

(1)、 $\sqrt{a^{2}}$ 一定等于a吗？如果不是，那么 $\sqrt{a^{2}}$ =；

(2)、利用你总结的规律，计算：
①若x＜2，则 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}}$ =；
② $\sqrt{{(3.14 - π)}^{2}}$ = ．

(3)、若a，b，c为三角形的三边长，化简： $\sqrt{{(a + b - c)}^{2}}$ + $\sqrt{{(b - c - a)}^{2}}$ + $\sqrt{{(b + c - a)}^{2}}$ ．

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