4.4 一次函数的应用-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-07-02 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，将函数 $y = 3 x$ 的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴交点的坐标为（）

A、 $(0, 6)$ B、 $(- 6, 0)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(- 2, 0)$

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2. 正比例函数 $y = 3 x$ 的图象经过点 $A (x_{1}, y_{1})$ ，点 $B (x_{2}, y_{2})$ 和点 $C (x_{3}, y_{3})$ ，当 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ 时，下列命题正确的是（）

A、若 $x_{1} x_{2} > 0$ ，则 $y_{2} y_{3} > 0$ B、若 $x_{1} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{2} > 0$ C、若 $x_{2} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{3} > 0$ D、若 $x_{2} x_{3} < 0$ ，则 $y_{1} y_{2} > 0$

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3. 一次函数 $y = 2 x - 4$ 与 $x$ 轴的交点坐标是（　　）

A、 $(0, - 4)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(2, 0)$ D、 $(- 2, 0)$

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4. 点 $A (- 2, y_{1})$ 和 $B (2, y_{2})$ 都在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2}$ B、 $y_{1} > y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、不能比较

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5. 第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气，决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛.下列函数图象可以体现这次比赛过程的是( ).

A、 B、 C、 D、

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6. 在探究“水沸腾时温度变化特点”的实验中，发现在水沸腾前，水的温度 $y (℃)$ 与加热时间x（分钟）之间满足一次函数关系，如表记录了实验中温度 $y (℃)$ 和时间x（分钟）变化的部分数据．
时间x/分钟
6
10
15
…
时间 $y / ℃$
28
40
55
…
则加热18分钟时水的温度是（）

A、 $62^{°} C$ B、 $64 ℃$ C、 $66 ℃$ D、 $68 ℃$

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7. 关于函数 $y = - \sqrt{3} x + \sqrt{6}$ ，下列结论正确的（）

A、函数图象一定经过点 $(\sqrt{2}, - 2 \sqrt{6})$ B、函数图象经过第一、二、三象限 C、 $y$ 的值随 $x$ 的值的增大而增大 D、函数图象与坐标轴围成的三角形面积为 $\sqrt{3}$

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8. “漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具（如图1），综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置（如图2）。上午9：00，综合实践小组在甲容器里加满水，经过实验得到甲容器的水面高度h（cm）与流水时间t（min）的关系如图3所示，下列说法错误的是（）

A、甲容器的初始水面高度为30cm； B、14：00甲容器的水流光； C、甲容器的水面高度h与流水时间t的关系式为 $h = - 0.1 t + 30$ ； D、11：00时甲容器的水面高度为12cm。

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二、填空题

9. 函数 $y = 3 x - 4$ 的图象与y轴的交点坐标是．

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10. 同一温度的华氏度数 $y$ （℉）与摄氏度数 $x$ （℃）之间的函数关系是 $y = \frac{9}{5} x + 32$ ，如果某一温度的摄氏度数是5℃，那么它的华氏度数是℉．

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11. 函数 $y = a x$ 和 $y = k x + b$ 的图象相交于点 $A (- 2, 1)$ ，则方程 $a x = k x + b$ 的解为．

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12. 若点 $P (- 3, y_{1})$ 和点 $Q (2, y_{2})$ 是一次函数 $y = - 2 x + 3$ 的图象上的两点， $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系是： $y_{1}$ $y_{2}$ （填＂＞，＜或 $= ")$ 。

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13. 如图所示，一次函数 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $C$ 是 $x$ 轴上一动点，连接 $B C$ ，将 $△ A B C$ 沿 $B C$ 所在的直线折叠，当点 $A$ 落在 $y$ 轴上时，点 $C$ 的坐标为．

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14. 如图所示，在平面直角坐标系中，线段AB所在直线的函数表达式为y=-x+4，C是AO的中点，P是AB上一动点，则PO+PC的最小值是.

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三、解答题

15. 如图，一次函数y $= - \frac{3}{4}$ x+6与坐标轴交于A、B两点，求点A、B的坐标.

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16. 有一水箱，它的容积为 $500 L$ ，水箱内原有水 $100 L$ ，现往水箱中注水，已知每分钟注水 $10 L$ ．

(1)、写出水箱内水量 $Q (L)$ 与注水时间 $t (m i n)$ 的函数关系．

(2)、求注水 $18 m i n$ 时水箱内的水量？

(3)、需多长时间把水箱注满？

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17. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件的数量为 $y_{甲}$ （个），乙组加工零件的数量为 $y_{乙}$ （个），其函数图象如图所示．
（1）求 $y_{乙}$ 与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（2）求a的值，并说明a的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为480个．

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18. 某日上午，甲、乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往 $B$ 地（此公路全程速度限定为不超过 $120 k m / h$ ）， $A$ 地与 $B$ 地的距离为300km.甲车在上午7点离开 $A$ 地，以 $60 k m / h$ 的速度向 $B$ 地匀速行驶（途中不停靠）.设甲车行驶的时间为 $t (h)$ ，行驶路程为 $s (k m)$ .

(1)、写出 $s$ 关于 $t$ 的函数表达式，并求出甲车到 $B$ 地所需的时间.

(2)、已知乙车在当天上午8点出发，以 $80 k m / h$ 的速度向 $B$ 地匀速行驶（途中也不停靠），请判断甲，乙两车谁先到达 $B$ 地，并说明理由.

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19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + 5$ 的图象 $l_{1}$ 分别与 $x, y$ 轴交于 $A, B$ 两点，正比例函数的图象与 $l_{1}$ 交于点 $C (2,4)$ ．

(1)、求 $k$ 的值及直线 $l_{2}$ 的表达式；

(2)、若点 $M$ 是直线 $l_{1}$ 上一点，连结 $O M$ ，当 $△ B O M$ 的面积是 $△ B O C$ 的面积的 2 倍时，求点 $M$ 的坐标。

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20. 某商场计划从厂家购进 $A, B$ 两款衣服共 100 件，这两款衣服的进价和售价如下表．设购进 $A$ 款衣服 $x$ 件，商场总利润为 $y$ 元．
品名
$A$
$B$
进价（元／件）
90
75
售价（元／件）
120
100

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、厂家规定 $A$ 的进货数量不得超过 $B$ 进货数量的两倍，问应如何设计进货方案才能获得最大利润并求出最大利润；

(3)、为进一步激励销人员，商场准备实施奖励计划，每卖出一件 $A$ 衣服奖励 $m$ 元，每卖一件 $B$ 衣服奖励 $n$ 元，结果发现：若 100 件衣服均按原定售价卖完，无论购进 $A$ 商品多少件，商场利润恒为 2000 元，求 $m$ ， $n$ 的值．

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四、实践探究题

21. 根据提供的材料解决问题．

材料一	内容
材料一	某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元 $/$ 斤：乙品种葡萄的进货总金额 $y$ （单位：元）与乙品种葡萄的进货量 $x$ （单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在 $H$ 城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元 $/$ 斤和14元 $/$ 斤．
材料二	在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤．
材料三	葡萄运到 $H$ 城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者．
任务一	求图中直线 $M N$ 函数解析式．
任务二	若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为 $w$ 元（利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）．求出 $w$ （单位：元）与乙品种葡萄的进货量 $x$ （单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案．
任务三	在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的 $\frac{1}{3}$ 让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？

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22. 【了解概念】已知函数 $y_{1}$ 是自变量 $x$ 的函数，当 $y_{2} = 2 y_{1} - x$ ，称函数 $y_{2}$ 为函数 $y_{1}$ 的“倍差函数”．
在平面直角坐标系中，对于函数 $y_{1}$ 图象上一点 $A (m, n)$ ，称点 $B (m, 2 n - m)$ 为点 $A$ 关于函数 $y_{1}$ 的“倍差点”，点 $B$ 在函数 $y_{1}$ 的“倍差函数”的图象上．
【理解运用】例如：函数 $y_{1} = 2 x$ ．当 $y_{2} = 2 y_{1} - x = 4 x - x = 3 x$ 时，称函数 $y_{2} = 3 x$ 是函数 $y_{1}$ 的“倍差函数”．在平面直角坐标系中，函数 $y_{1} = 2 x$ 图象上任意一点 $A (m, n)$ ，点 $B (m, 2 n - m)$ 为点 $A$ 关于 $y_{1}$ 的“倍差点”，点 $B$ 在函数 $y_{1} = 2 x$ 的“倍差函数” $y_{2} = 3 x$ 的图象上．
（ $1$ ）求函数 $y_{1} = x - 2$ 的“倍差函数” $y_{2}$ 的表达式；
（ $2$ ）点 $P (m, n)$ 在函数 $y_{1} = 2 - x$ 的图象上，点 $P$ 关于函数 $y_{1}$ 的“倍差点”为点 $Q$ ，若点 $Q$ 与点 $P$ 的纵坐标的和为 $- 2$ ，求点 $P$ 的坐标；
【拓展提升】
（ $3$ ）在（ $2$ ）的条件下， $y_{1}$ 的“倍差函数” $y_{2}$ ，直线 $y_{2}$ 交 $y$ 轴于点 $T$ ，已知点 $A (t, t)$ ， $B (t + 1, t + 2)$ ．若直线 $A B$ 与 $△ P Q T$ 有交点，求 $t$ 的取值范围．

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品名	$A$	$B$
进价（元／件）	90	75
售价（元／件）	120	100

时间x/分钟	6	10	15	…
时间 $y / ℃$	28	40	55	…