3.3 轴对称与坐标变化-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-06-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 在平面直角坐标系中，点 $A (- 3 ， 2)$ 关于y轴对称的点在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 若点 $A (m, 3)$ 与点 $B (4, n)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $m + n =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、-7

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3. 若点 $P (a, b)$ 与点 $P^{'} (1, - 2)$ 关于x轴对称，则点 $A (3 a - b, a + b)$ 关于y轴对称的点 $A^{'}$ 的坐标是（）

A、 $(- 1, 3)$ B、 $(1, 3)$ C、 $(- 1, - 3)$ D、 $(5, 1)$

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4. 已知， $\sqrt{{(a - 2)}^{2}} + | b + 1 | = 0$ ，则点 $P (a ， b)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(2 ， - 1)$ B、 $(- 2 ， - 1)$ C、 $(- 2 ， 1)$ D、 $(2 ， 1)$

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5. 若 $P (- 2 a + 1, a + 1)$ 关于 $y$ 轴的对称点在第一象限，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{2} < a < 1$ B、 $- \frac{1}{2} < a < 1$ C、 $- 1 < a < \frac{1}{2}$ D、 $a > \frac{1}{2}$

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6. 若点 $A (4, m + 5)$ 与点 $B (n - 5, 3)$ 关于 $y$ 轴对称，则 ${(m + n)}^{2024}$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、2024 D、 $- 7$

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7. 一个图案上各点的横坐标都不变，纵坐标变为原来的相反数，但图案却未发生任何变化.下列叙述中，正确的是( ).

A、原图案各点一定都在x轴上 B、原图案各点一定都在y轴上 C、原图案是轴对称图形，对称轴是x轴 D、原图案是轴对称图形，对称轴是y轴

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8. 已知点 $P (m - 1,4)$ 与点 $Q (2, n + 2)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $n^{m}$ 的值为（）

A、 $- 2$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $1$

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二、填空题

9. 点 $P (m, 3)$ 和点 $Q (2, n)$ 关于x轴对称，则 $m + n$ 的值为．

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10. 在平面直角坐标系中，如果点A(2a-1，-8)绕原点旋转180°后与点B(-5，3b-1)重合，那么a= ， b=.

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11. 在平面直角坐标系中，对 $△ A B C$ 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 $A$ 的坐标是 $(\sqrt{3} ， \sqrt{2})$ ，则经过第2021次变换后所得的点 $A$ 的坐标是．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，已知 $A (3, 4)$ ， $B (1, 2)$ ， $C (3, - 1)$ ，请你在坐标系内找一点 $P$ （不与点 $B$ 重合），使 $P A = B A$ ， $P C = B C$ ，则点 $P$ 的坐标是．

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13. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (m, 4)$ ，与点 $B (5, n)$ 关于x轴对称，那么 $(m + n)^{2011}$ 的值为

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14. 如图在 $12 \times 12$ 的表格中记O为 $(0, 0)$ ， $M (- 4, 3)$ ， $△ A B C$ 三个顶点分别位于格点上，直线l位于格子横线上，N在l的格点上运动，当N为时（填写有序数对）， $△ A B C$ 关于直线 $M N$ 对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 三个顶点都在格点上．

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三、解答题

15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (- 4, 2), B (2, 8)$ ，点 $C$ 与点 $B$ 关于 $y$ 轴对称.

(1)、画出点 $C$ 的位置，并求点 $C$ 的坐标.

(2)、连接 $A B, A C, B C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

(3)、将点 $A$ 向右平移 $n$ 个单位得到点 $D$ ，连接CD ，若 $A B ⊥ C D$ ，请你直接写出 $n$ 的值.

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16. 如图，在直角坐标系中，已知点 $A (1, 2), B (- 1, 3), C (2.5, - 1)$ ，直线l是第二、四象限的角平分线．

(1)、操作：连结线段 $A B$ ，作出线段 $A B$ 关于直线l的轴对称图形 $A_{1} B_{1}$ ．

(2)、发现：请写出坐标平面内任一点 $P (a, b)$ 关于直线l的对称点 $P^{'}$ 的坐标．

(3)、应用：请在直线l上找一点Q，使得 $Q A + Q C$ 最小，并写出点Q的坐标．

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17. 在平面直角坐标系中，直线l过点M(3，0)，且平行于y轴.

(1)、已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(-2，0)，B(-1，0)，C(-1，2)，△ABC关于y轴的对称图形是△A₁B₁C₁ ， △A₁B₁C₁关于直线l的对称图形是△A₂B₂C₂ ，写出△A₂B₂C₂三个顶点的坐标.

(2)、已知点P(-a，0)，其中a>0，点P关于y轴的对称点是P₁ ，点P₁关于直线l的对称点是P₂ ，求PP₂的长.

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18. 对于实数x、y我们定义一种新运算M（x ， y）＝mx+ny（其中m、n均为非零的常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数值我们称为点M的线性数，记作M（x ， y），其中x、y叫做线性数的一个数对．例如：若M（x ， y）＝x+2y ，则M（1，3）＝1×1+2×3＝7，数值7是当m＝1，n＝2时，点（1，3）的线性数．

(1)、若M（x ， y）＝x+3y ，则M（3，3）＝；

(2)、已知M（2，1）＝7，M（3，﹣1）＝3，求m、n的值；

(3)、在（2）的条件下，求点M（3，2）关于x轴对称的点的线性数．

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四、实践探究题

19. 我们学习了平移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题.

(1)、【图案设计】
如图1，在平面直角坐标系中， $A (3 ， 4)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (5 ， 1)$ .
作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴的对称图形 $△ D E F$ ，并标注出点 $D$ ， $E$ ， $F$ ；

(2)、【拓展应用】
如图1，点 $P$ 是 $x$ 轴上一动点，并且满足 $P A + P B$ 的值最小，请在图中找出点 $P$ 的位置（保留作图痕迹），并直接写出 $P A + P B$ 的最小值为.

(3)、【实际应用】
如图2，某地有一块三角形空地 $A B C$ ，已知 $∠ A B C = 4 5^{∘}$ ， $G$ 是 $△ A B C$ 内一点，连接 $G B$ 后测得 $G B = 20$ 米，现当地政府欲在三角形空地 $A B C$ 中修一个三角形花坛 $G M N$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $A B$ ， $B C$ 边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问 $△ G M N$ 的周长最少约多少米?（保留整数）（ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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20. 综合探究：
“在 $△ A B C$ 中， $A B$ 、 $B C$ 、 $A C$ 三边的长分别为 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{10}$ 、 $\sqrt{13}$ ，求这个三角形的面积”．
小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点 $△ A B C$ （即 $△ A B C$ 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求 $△ A B C$ 的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求 $△ A B C$ 面积的方法叫做构图法．

(1)、直接写出图1中 $△ A B C$ 的面积是______；

(2)、若 $△ M N P$ 的边长分别为 $\sqrt{m^{2} + 16 n^{2}}$ 、 $\sqrt{9 m^{2} + 4 n^{2}}$ 、 $\sqrt{4 m^{2} + 4 n^{2}}$ （ $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $m \neq n$ ），试运用构图法在图2中画出相应的 $△ M N P$ ，并求出 $△ M N P$ 的面积．

(3)、拓展应用：求代数式： $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (0 \leq x \leq 4)$ 的最小值．

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五、综合题

21. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格格点上，点 $B$ 坐标为 $(3 ， 1)$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出点 $B^{'}$ 的坐标；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $P A + P C$ 最短，并写出点 $P$ 的坐标．

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22. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l经过点 $M (3 ， 0)$ ，且平行于y轴给出如下定义：点 $P (x ， y)$ 先关于y轴对称得点 $P_{1}$ ，再将点 $P_{1}$ 关于直线l对称得点 $P^{'}$ ，则称点 $P^{'}$ 是点P关于y轴和直线l的二次反射点．

(1)、已知 $A (- 4 ， 0) ， B (- 2 ， 0) ， C (- 3 ， 1)$ ，则它们关于y轴和直线l的二次反射点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ 的坐标分别是；

(2)、若点D的坐标是 $(a ， 0)$ ，其中 $a < 0$ ，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点 $D^{'}$ ，求线段 $D D^{'}$ 的长；

(3)、已知点 $E (4 ， 0)$ ，点 $F (6 ， 0)$ ，以线段 $E F$ 为边在x轴上方作正方形 $E F G H$ ，若点 $P (a ， 1)$ ， $Q (a + 1 ， 1)$ 关于y轴和直线l的二次反射点分别为 $P^{'} ， Q^{'}$ ，且线段 $P^{'} Q^{'}$ 与正方形 $E F G H$ 的边有公共点，求a的取值范围．

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23. 如图所示，△ABC的顶点分别为A（-4， 5），B（﹣3， 2），C（4，-1）．

(1)、作出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁；

(2)、写出A₁、B₁、C₁的坐标；

(3)、若AC=10，求△ABC的AC边上的高．

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