2.3.2二次根式的加减法-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-06-29 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ B、 $3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = 1$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2} = \sqrt{3}$

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2. 下列二次根式是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{9}$ C、 $\sqrt{\frac{1}{2}}$ D、 $\sqrt{\frac{4}{7}}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $- {(a^{3} b)}^{2} = a^{6} b^{2}$ B、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ C、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ D、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$

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4. 已知 $5 + \sqrt{11}$ 的整数部分为 $a$ ， $5 - \sqrt{11}$ 的小数部分为b，则a+b的值为（）

A、10 B、 $2 \sqrt{11}$ C、 $\sqrt{11} - 12$ D、 $12 - \sqrt{11}$

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5. 若式子 $\sqrt{8 - x}$ 是最简二次根式，则x的值可能为（　　）

A、0 B、 $- 4$ C、2 D、4

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6. 在下列式子中等号能成立的式子共有（）
① $\sqrt{0.9 x^{2}} = 0.3 x$ ；② $\sqrt{3^{2} + 2^{2}} = 3 + 2 = 5$ ；③ $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = \pm 5$ ；④ $\sqrt{3} + \sqrt{2} = \sqrt{5}$ ；⑤ $\sqrt{9 x^{2} + 3} = 3 \sqrt{x + 3}$ ．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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7. 计算 $\sqrt{8} + \sqrt{18}$ 的结果是（）

A、 $\sqrt{26}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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8. 下列计算中，正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3} \times \sqrt{6} = 3 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{3 - \sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a$

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二、填空题

9. 化简： $\sqrt{48}$ ＝．

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10. $（ \sqrt{3} - \sqrt{2} ）^{0} + \sqrt{27} =$ ．

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11. 已知最简二次根式 $\sqrt{4 a + 3 b}$ 与 $\sqrt[b + 1]{2 a - b + 6}$ 可以合并，则 $a + b$ 的值为.

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12. 化简： $\sqrt{8 x^{3} y^{2}} (y > 0) =$ ．

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13. 计算： $\sqrt{- a^{2}} + \sqrt{a + 1} - \sqrt{7 - 2 a} + \sqrt{- (a - 7)} =$ ．

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14. 观察： $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ， $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$ ， $\frac{1}{\sqrt{5} + 2} = \sqrt{5} - 2$ ， $⋯ ⋯$
计算： $1 + \frac{1}{\sqrt{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{\sqrt{2024} + \sqrt{2023}}$ = ．

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三、计算题

15. 计算：

(1)、 $\sqrt{32} - \sqrt{8}$ ；

(2)、 $| \sqrt{3} - 2 | + 3 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ；

(3)、 $\frac{\sqrt{45} - \sqrt{5}}{\sqrt{5}} + (2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ 。

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16. 化简：

(1)、 $\sqrt{8} - 2 \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{32}$

(2)、 $(3 + \sqrt{2}) (3 - \sqrt{2}) - \sqrt{24} \div \sqrt{6}$

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17. 计算

(1)、 $\sqrt{2} + \sqrt{8} - 2 \sqrt{32}$ ；

(2)、 $(\frac{5}{3} \sqrt{18} - \sqrt{50} + \sqrt{\frac{1}{5}}) \div \sqrt{5}$

(3)、 $|1 - \sqrt{3}| + {(- \frac{1}{3})}^{- 2} - {(\sqrt{3} - π)}^{0}$ ；

(4)、 $(\sqrt{7} + \sqrt{3}) (\sqrt{7} - \sqrt{3}) - {(2 + \sqrt{5})}^{2} + \frac{1}{\sqrt{5} + 2}$ ．

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18. 计算：

(1)、 $\sqrt{32} - \frac{1}{2} \sqrt{8} + \sqrt{18}$

(2)、 $\frac{\sqrt{36} + \sqrt{48}}{\sqrt{3}} - 2 \sqrt{2} \times \sqrt{6}$

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四、解答题

19. 已知一块长为 $7 dm$ ，宽为 $5 dm$ 的长方形木板，如图．

(1)、与这块长方形木板面积相等的正方形木板的边长为______ $dm$ ；

(2)、采用如图的方式，能否在这块木板上截出两个面积分别为 $8 {dm}^{2}$ 和 $18 {dm}^{2}$ 的正方形木板？试说明理由．

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20. 阅读下面的文字，解答问题.
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能完全地写出来，于是小明用 $\sqrt{2} - 1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗?事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.请解答下列问题：

(1)、求出 $\sqrt{3} + 2$ 的整数部分和小数部分；

(2)、已知： $10 + \sqrt{5} = x + y$ ，其中 $x$ 是整数，且 $0 < y < 1$ ，请你求出 $(x - y)$ 的相反数.

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21. 设 $a = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

(1)、求 $a + b$ ， $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、求 $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 的值．

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22. 北师大教材第48页中提到：我们已经知道 $(\sqrt{13} + 3) (\sqrt{13} - 3) = 4$ ，因此将 $\frac{8}{\sqrt{13} - 3}$ 分子、分母同时乘“ $\sqrt{13} + 3$ ”，分母就变成了4．请仿照这种方法解决下列问题：

(1)、化简： $\frac{9}{\sqrt{6} + \sqrt{3}}$ ， $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2}}$ ；

(2)、化简： $\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{4} + \sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{8}} ... + \frac{1}{\sqrt{2022} + \sqrt{2024}}$ ；

(3)、比较 $\sqrt{n + 2024} - \sqrt{n + 2022}$ 与 $\sqrt{n + 2022} - \sqrt{n + 2020}$ 大小，并说明理由．

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五、实践探究题

23. 阅读下列解题过程：
$\frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{4}} = \frac{1 \times (\sqrt{5} - \sqrt{4})}{(\sqrt{5} + \sqrt{4}) (\sqrt{5} - \sqrt{4})} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{4}}{(\sqrt{5})^{2} - (\sqrt{4})^{2}} = \sqrt{5} - \sqrt{4}$ ， $\frac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{1 \times (\sqrt{6} - \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5}) (\sqrt{6} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2} - (\sqrt{5})^{2}} = \sqrt{6} - \sqrt{5}$ ，
请回答下列问题：

(1)、观察上面的解答过程，请写出 $\frac{1}{\sqrt{100} + \sqrt{99}} =$ ；

(2)、请你用含n（n 为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律；

(3)、利用上面的解法，请化简：
$\frac{1}{1 + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + . . . . . . + \frac{1}{\sqrt{98} + \sqrt{99}} + \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$

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24. 已知 $a$ ， $b$ ， $m$ 都是实数，若 $a + b = 2$ ，则称 $a$ 与 $b$ 是关于 $l$ 的“平衡数”．

(1)、 $4$ 与是关于 $l$ 的“平衡数”， $3 - \sqrt{2}$ 与是关于 $l$ 的“平衡数”；

(2)、若 $（ m + \sqrt{3} ）（ 1 - \sqrt{3} ） = - 2$ ，判断 $m + \sqrt{3}$ 与 $2 - \sqrt{3}$ 是否是关于 $l$ 的“平衡数”，并说明理由．

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25. 有这样一类题目：将 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 化简，如果你能找到两个数m、n，使 $m^{2} + n^{2} = a$ 且 $m n = \sqrt{b}$ ， $a \pm 2 \sqrt{b}$ 将变成 $m^{2} + n^{2} \pm 2 m n$ ，即变成 ${(m \pm n)}^{2}$ ，从而使 $\sqrt{a \pm 2 \sqrt{b}}$ 得以化简．

(1)、例如，∵ $5 + 2 \sqrt{6} = 3 + 2 + 2 \sqrt{6} = {(\sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} + 2 \sqrt{2} \times \sqrt{3} = {(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}$ ，
∴ $\sqrt{5 + 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} + \sqrt{2})}^{2}} =$ ______，请完成填空．

(2)、仿照上面的例子，请化简 $\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ ；

(3)、利用上面的方法，设 $A = \sqrt{6 + 4 \sqrt{2}}$ ， $B = \sqrt{3 - \sqrt{5}}$ ，求A＋B的值．

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