相关试卷

1、【综合与实践】
【问题背景】阅读以下材料，并按要求解决问题：
从正方形的一个顶点引出来角为 $4 5^{°}$ 的两条射线，与正方形两个边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可以利用旋转得出多个几何结论，例如：
如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的 $∠ E A F = 4 5^{°}$ ， AE、AF与BC、CD边分别交于E、F两点，若BE=a，DF=b，EF=c(a，b，c为常数).易证：EF=BE+FD，则可以得到a，b，c之间的数量关系是：c=a+b.
证明：如图2，将 $△ A D F$ 绕点A顺时针旋转 $9 0^{°}$ ，得到 $△ A B G$ ，由 $∠ G B E = 18 0^{°}$ 可得G、B、E三点共线， $∠ C A E = ∠ E A F = 4 5^{°}$ ，可证明 $△ A E G ≅ △ A E F$ ，故EF=GE=BE+DF，进而得到c=a+b.
【方法转化】如果把背景中的正方形换成特殊项角的等腰三角形，同学们可以利用上述问题背景得到多个结论.

(1)、【问题解决】在半角模型中可以利用旋转的方法解决问题.
如图3，在等腰 $R t △ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 4 5^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，将 $△ A D B$ 绕点A逆时针旋转 $9 0^{°}$ ，如图4，得到 $△ A C F$ ，易证 $∠ E C F = 9 0^{°}$ ， $△ A D E ≅ △ A F E$ ，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a，b，c之间的数量关系是：

(2)、如图5，在等边 $△ A B C$ 中，以A为顶点的 $∠ D A E = 3 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点.若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(3)、如图6，在等腰 $△ A B C$ 中，顶角 $∠ B A C = 12 0^{°}$ ，以A为顶点的 $∠ D A E = 6 0^{°}$ ， AD、AE与BC边分别交于D、E两点，则可以得到BD、DE、CE之间的数量关系：
① 若 $B D = 3$ ， $C E = 4$ ，则可得DE=
② 若 $B D = a$ ， $C E = b$ ， $D E = c$ ，则a、b、c之间的数量关系是：

(4)、【实践应用】
在第(3)问第①小问基础上，把 $△ A B D$ 绕点A逆时针旋转 $12 0^{°}$ 得 $△ A C F$ ，如图7，如果线段EF与边AC交于点G，则线段CG=

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2、平移是初中数学中的重要图形变换之一，其特点是保持图形形状、大小不变，仅改变位置.
我们先以抛物线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 为例，对平移变换做了以下研究：把抛物线 $C_{1} ： y = x^{2}$ 先向右平移1个单位，再向下平移4个单位得到抛物线 $C_{2}$ ，抛物线 $C_{2}$ 与x轴交于A，B两点，其对称轴与x轴交于点D.

(1)、抛物线 $C_{2}$ 的表达式为：.

(2)、如图 1，抛物线 $C_{1}$ ： $y = x^{2}$ 与抛物线 $C_{2}$ 的交点 C 的坐标为： $C$ .抛物线 $C_{2}$ 与 x 轴交于 A， B 两点，线段 AB =.

(3)、平移求解（参考图 1、图 2）
① 如果把线段 AB 平移，线段的一个端点落在抛物线 $C_{2}$ 的对称轴上记作点 E，另一个端点落在抛物线 $C_{2}$ 上记作点 F，则点 F 坐标为：F
② 如果把线段 DB 平移，线段一个端点落在抛物线 $C_{1}$ 上记作点 G，另一个端点落在抛物线 $C_{2}$ 上记作点 H，则点 H 的横坐标为：

(4)、对于直线 $l_{1} : y = x$ ，通过对其上下平移可得直线 $l_{2} : y = x + b$ ，如果直线 $l_{2}$ 恰好与抛物线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 共有三个交点，则 b 的值为：

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3、如图， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆， $A B = A C$ ， D是 $⊙ O$ 上一点

(1)、请只用无刻度的直尺完成作图（保留作图痕迹，不写作法）.
①画出线段BC的垂直平分线
②画出 $∠ B D C$ 的平分线

(2)、已知， $A B = 6$ ， $B C = 4$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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4、深圳市罗湖区作为深圳最早发展的城区之一，融合了自然景观、历史文化、现代都市风貌，有很多知名景区，比如“仙湖植物园”、“梧桐山”、“洪湖公园”、“东门老街”等.请同学们认真阅读以下材料，并完成相关的学习任务：
材料一：2025年“五一”劳动节假期，大批深圳市民进入“仙湖植物园”观光游玩，据统计，5月4日上午8：00-10：00有接近4200人乘坐私家车和客车两种交通工具进入仙湖植物园停车场，根据停车场监控统计，在此段时间内私家车和客车共320辆进入，假如每辆私家车平均乘坐3人，客车平均每辆乘坐30人.
材料二：某学校计划五一过后，组织学校720名师生到“仙湖植物园”研学，一共租甲、乙两种型号的客车20辆，根据下表提供的信息要求在保证将全部师生送达目的地的前提下，租车费用不超过7200元.
型号
每辆载客量
每辆租金
甲型号
30
320
乙型号
45
400
请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成（1），（2）任务.

(1)、请同学们估算材料一中提供的时间段内分别有多少辆私家车和客车进入停车场.

(2)、有几种租车方案供学校选择？最少租车费用是多少？

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5、为丰富学生的校园生活，增强学生的美育意识，某校开设了五个社团活动：美食共享（A）、书法创作（B）、绘画给美（C）、音乐之声（D）、经典诗词（E），每个学生每个学期只参加一个社团活动，为了了解本学期学生参加社团活动的情况，学校随机抽取了若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图. 请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、在扇形统计图中，美食共享（A）对应扇形的圆心角度数是；

(3)、若该校有1800名学生，请估算本学期参加音乐之声（D）活动的学生人数；

(4)、若小明和小亮可从这五个社团活动中任选一个参加，请直接写出两人恰好选择同一个社团的概率.

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6、先化简，再求值： $(\frac{1}{m + 1} + \frac{1}{m - 1}) \div \frac{m}{m - 1}$ ，其中 $m = 9$ .

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7、计算： $- 1^{2025} + | \sqrt{3} - 2 | + 2 c o s 3 0^{°} + (2 - t a n 6 0^{°})^{0}$

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8、如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{°}$ ，边BC上有一点D，将 $△ A D B$ 沿线段AD折叠得 $△ A D B^{'}$ ，线段DB'与边AC交于点E，若 $\frac{C D}{B D} = \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{D E}{B^{'} E}$ =.

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9、如图，在直角坐标系中，正方形ABCD边长为4， $A B / / y$ 轴， $B C / / x$ 轴，其对角线的交点E坐标为(-6，5)，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ .的图象经过点C，则k的值是.

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10、如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ . 若 $∠ C = 4 5^{°}$ ， $A B = \sqrt{2}$ .则AB的弧长为.

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11、如图，将 $R t △ A B C$ 沿射线BC方向平移6cm，得到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，已知 $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， BC=3cm，AC=4cm，则阴影部分的面积为 $c m^{2}$ .

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12、如果 $x = 1$ 是一元二次方程 $a x^{2} + b x - 1 = 0$ 的一个解，则 $2024 - (a + b) =$ .

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13、如图， $△ A B C$ 中，顶点A，B在x轴上，顶点C在y轴上， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ， A、C两点的坐标分别为A(-3，0)，C(0， $\sqrt{3}$ )，点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动. 在运动过程中，将 $△ B M N$ 沿MN翻折得到 $△ P M N$ ，若点P恰好落在AC边上，求此时点P的坐标（）

A、 $(\frac{1}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ B、 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ C、 $(- 1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(- \frac{2}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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14、甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客车运车平均速度是原来的1.5倍，因此从甲地到乙地的时间缩短了2小时，设原来的平均速度为x千米/时，可列方程为（）

A、 $\frac{420}{x} + \frac{420}{1.5 x} = 2$ B、 $\frac{420}{x} - \frac{420}{1.5 x} = 2$ C、 $\frac{x}{420} + \frac{1.5 x}{420} = 2$ D、 $\frac{x}{420} - \frac{1.5 x}{420} = 2$

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15、通过如下尺规作图，能说明 $△ A B D$ 的面积和 $△ A C D$ 的面积相等的是（）

A、 B、 C、 D、

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16、如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边上，若 $∠ 1 = 5 5^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $5 5^{°}$ B、 $4 5^{°}$ C、 $3 5^{°}$ D、 $2 5^{°}$

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17、如图是由9个全等的小正方形组成的图案，假设可以在图案中随意取一个点（不包括边界线），那么这个点取在阴影部分的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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18、下列运算正确的是（）

A、 $3 a + b = 3 a b$ B、 $a^{3} \cdot a^{2} = a^{5}$ C、 $(a b)^{n} = a b^{n}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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19、实数 a， b， c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a > b$ B、 $a + b > 0$ C、 $b c > 0$ D、 $a + c < 0$

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20、深圳作为科技创新之城，有很多知名品牌，以下深圳品牌标志，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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型号	每辆载客量	每辆租金
甲型号	30	320
乙型号	45	400