冀教版九年级上册第二十八章圆单元测试提优卷

试卷更新日期：2026-09-03 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 秀秀在综合实践课上，把直尺和量角器按如图方式叠放，点D、E、B在同一条直线上，点D，A，C，E所对的刻度分别为 $0 °$ ， $60 °$ ， $150 °$ ， $180 °$ ，则 $∠ A B D$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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2. 如图，圆 $O$ 与菱形 $A B C D$ 中， $A$ 、 $B$ 、 $D$ 在圆上， $C$ 在圆内， $O$ 在 $A C$ 上 $.$ 若圆 $O$ 的半径为 $13$ ， $B D = 24$ ，则 $C O$ 的长度为多少？( )

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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3. 如图， $⊙ O$ 是等边 $△ A B C$ 的外接圆， $D$ ， $E$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点，延长 $E D$ 交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，若 $⊙ O$ 的半径 $r = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $D F$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5} - 2$ B、 $\sqrt{3} - \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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4. 如图，弦AC， BD 相交于点 E，且点 C为 $\hat{B D}$ 的中点，连结AD， AB， BC. 若∠ABC=110°，则∠AEB=（ )

A、60° B、70° C、80° D、90°

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5. 如图，AC为⊙O的直径，AB为弦，D为弧AB的中点，连接CD，若 $A C = 32, A B = 16 \sqrt{3},$ 则∠ACD的度数为（）.

A、15° B、30° C、45° D、60°

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6. 如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为 $1cm$ 的线段 $A B$ ，作等边 $△ A B C$ ，然后以点B为圆心， $A B$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $C B$ 的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心， $C D$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $A C$ 的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心， $A E$ 为半径逆时针画圆弧交线段 $B A$ 的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（）

A、 $12π cm$ B、 $14π cm$ C、 $16π cm$ D、 $18π cm$

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7. 如图，DE是△ABC的中位线，以点D为圆心，DE的长为半径作弧交边BC于点 F.若AC=6， ∠C=70°，则扇形EDF的面积为（ )

A、 $\frac{7}{4} π$ B、 $\frac{7}{6} π$ C、π D、 $\frac{2}{3} π$

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8. 如图，AB为圆O的弦，C是弧AB的中点，连结AC并延长，OB是⊙O的半径，作BE⊥OB，交AC的延长线于点D，连结BC.给出下列结：①若∠A=30°，则AD∥OB；②若AB=2BD，则 $B D^{2} + C D^{2} = A C^{2} .$ 其中正确的是（）

A、①，②都对 B、①对，②错 C、①错，②对 D、①，②都错

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9. 如图，在菱形 ABCD 中， ∠D=60°， AB=4，以 B 为圆心、BC 长为半径画弧AC，点 P 为菱形内一点，连接 PA， PB， PC .当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为( )

A、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3} + 2$ B、 $\frac{8}{3} π - 2 \sqrt{3} - 2$ C、8π D、 $8 π - 6 \sqrt{3} - 6$

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二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

10. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦．若 $∠ D C B = 45 °$ ， $A D = 1$ ，则 $A B =$ ．

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11. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OE=BE.点P是劣弧 $\hat{A D}$ 上任意一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长线相交于点F，当∠F=3∠PCD时，则 $\frac{A M}{B M}$ =.

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12. 类比圆面积公式的推导，我们对扇形的面积公式进行如下探究：将扇形均匀分割成n个“小扇形”（如图1），扇形的面积就是这些“小扇形”的面积和，当n无限大时，这些“小扇形”可以近似地看成底边长分别为l₁ ， l₂ ， l₃ ， …，ln，高为r的“小三角形”，它们的面积和为 $\frac{1}{2} l_{1} r + \frac{1}{2} l_{2} r + \dots + \frac{1}{2} l_{n} r = \frac{1}{2} r (l_{1} + l_{2} + \dots l_{n}) = \frac{1}{2} l r .$ 即扇形面积 $S = \frac{1}{2} l r .$ 请根据这样的方法继续思考：如图2，扇形ODG与扇形OEF有共同的圆心角，且弧长分别为a和b，DE=h，用含a，b，h的代数式表示图中阴影部分面积.

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13. 如图，已知点 $D$ 为 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 上一点，且 $A D = 2 D B$ ． $C$ 为 $⊙ O$ 上一点，满足 $A D = A C$ ：连接 $C D$ 并延长交圆于点 $E$ ．连接 $A E$ ，过点 $A$ 作 $A F ⊥ C D$ ，若 $C F = 1$ ，则 $E F$ 的长为

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三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

14. 如图，在扇形AOB中， $O A = A B = 2 ， O C ⟂ A B$ 于点D，求CD的长.

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15. 在如图所示的方格纸中存在△ABC，其中点A，B，C均在格点上.

(1)、仅用无刻度直尺作出△ABC的外接圆圆心O；（保留作图痕迹）

(2)、若方格纸中每个小正方形的边长为1，求△ABC外接圆半径R的长。

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16. 如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD 到点C，使DC=BD，连结AC 交⊙O于点 F.

(1)、AB与AC 的大小有什么关系?为什么?

(2)、若∠BAC=60°，AB=4，求DF 的长.

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17. 在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告.

主题	求生活中的圆弧长
研究内容	本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形OPQ（如图1所示），已知扇形OPQ所在圆的半径OM⊥PQ于点N，OP≈10.00m，用不同的方案分别求 $\hat{P Q}$ 的长l.
工具	软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方案与实践成果	方案一	方案二	方案三
	用软尺直接测量 $\hat{P Q}$ 的长. 测量数据：第一次6.36m 第二次6.32m	用测角仪测角，利用弧长公式计算 $\hat{P Q}$ 的长. 测量数据： ∠POQ≈36°	查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”.图1中，弧长 $I = P Q + \frac{M N^{2}}{O P} .$ 测量数据： PQ≈6.20m MN≈0.50m
	取两次测量结果的平均数，则l=6.34m.	利用弧长公式，……	根据“会圆术”，……
反思应用	①方案一可通过 ▲ 的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题.如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度AB为6m，拱高CD为1m，虽然弧长 $l_{\overset{⌢}{A B}}$ 和圆心角∠AEB不方便测量，但可以通过计算近似得出. 计算过程如下：……

请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：

(1)、写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）

(2)、分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算

\hat{P Q}

的长l；

(3)、求图2中弧长

l_{\overset{⌢}{A B}}

和圆心角∠AEB.（π取3.1）

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18. 如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结AC.

(1)、已知 $\hat{B D} = 7 0^{\circ},$ 求∠CAB 的度数.

(2)、若CD=8， BE=2，求⊙O的半径.

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19.
综合与探究
【问题背景】
如图①，在四边形 $A D B C$ 中， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $A D = B D$ ，探究线段 $A C$ ， $B C$ ， $C D$ 之间的数量关系．
小吴同学探究此问题的思路是：将 $△ B C D$ 绕点 $D$ ，逆时针旋转 $90 °$ 到 $△ A E D$ 处，点 $B$ ， $C$ 分别落在点 $A$ ， $E$ 处（如图②），易证点 $C$ ， $A$ ， $E$ 在同一条直线上，并且 $△ C D E$ 是等腰直角三角形，所以 $C E = \sqrt{2} C D$ ，从而得出结论： $A C + B C = \sqrt{2} C D$ ．
【简单应用】
（1）在图①中，若 $A C = 2 \sqrt{2}$ ， $B C = 3 \sqrt{2}$ ，则 $C D =$ ________．
（2）如图③，有一个圆形公园 $⊙ O$ ，直径 $A B$ 是贯穿公园 $⊙ O$ 的一条小路，出口点 $C$ 、 $D$ 在公园 $⊙ O$ 上，且 $\overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{B D}$ ，线段 $B C$ 也是一条小路，若路 $A B = 1300$ 米， $B C = 1200$ 米，现在要在出口 $C$ 、 $D$ 之间挖一条小河 $C D$ ，小河 $C D$ 最短是多少米？
【拓展规律】
（3）如图④， $∠ A C B = ∠ A D B = 90 °$ ， $A D = B D$ ，若 $A C = a$ ， $B C = b (a < b)$ ，求 $C D$ 的长（用含 $a$ ， $b$ 的代数式表示）．
（4）如图⑤， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C$ ，点 $P$ 为 $A B$ 的中点，若点 $E$ 满足 $4 A E = A C$ ， $C E = C A$ ，点 $Q$ 为 $A E$ 的中点，则线段 $P Q$ 与 $A C$ 的数量关系是________．（直接写出答案）

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20.
【定义】我们把对角线互相垂直的圆内接四边形称为“十字架四边形”.

(1)、【探究】如图①，已知▱ABCD是十字架四边形.求证：四边形ABCD是正方形.
以下是小明的部分证明过程：
证明：□ABCD是十字架四边形，
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
∵□ABCD为圆内接四边形，
……

(2)、【操作】已知AC是⊙O的一条弦，请你用圆规和无刻度的直尺在图②中作出十字架四边形ABCD，使BD为⊙O的直径（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色签字笔描黑）.

(3)、【拓展】如图③，四边形ABCD，为十字架四边形，连结OA、OB、OC、OD。
∠BOC与∠AOD的和为度；

(4)、若AD+BC=12时，则⊙O半径的最小值为.

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冀教版九年级上册 第二十八章 圆 单元测试提优卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

冀教版九年级上册第二十八章圆单元测试提优卷