冀教版九年级上册第二十六章解直角三角形单元测试基础卷

试卷更新日期：2026-09-03 类型：单元试卷

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 如图，分别以A，B为圆心，以大于 $\frac{1}{2}$ AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN，分别与AB，AP交于点D，E，再以点D为圆心，BD的长为半径画弧，与AP交于点C，连接BC.若BC=6，AC=10，则sin∠CBE是（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{8}{15}$ C、 $\frac{7}{17}$ D、 $\frac{7}{15}$

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2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，AC是矩形ABCD的对角线，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使点E在线段AC上，EF交CD于点G，AF交CD于点H，则tan∠FGH的值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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3. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的 $△ A B C$ 的面积为 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} b^{2} - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2})}^{2}}$ ． $△ A B C$ 的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} a b s i n C = \frac{1}{2} a c s i n B = \frac{1}{2} b c s i n A$ ．下列结论中正确的是（）

A、 $c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ B、 $c o s C = - \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}$ C、 $c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a c}$ D、 $c o s C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 b c}$

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4. 如图，梯子 $($ 长度不变 $)$ 跟地面所成的锐角为 $∠ α$ ，叙述正确的是( )

A、 $s i n α$ 的值越大，梯子越陡 B、 $c o s α$ 的值越大，梯子越陡
C、 $t a n α$ 的值越小，梯子越陡 D、陡缓程度与 $∠ α$ 的函数值无关

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5. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=6. BC 的垂直平分线交 BC 于点 D，交AC于点E，则DE的长为( )

A、2 B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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6. 如图①是一个连通器装置，当液体不流动时，连通器各部分容器中液面的高度总是相同的.图②是其截面示意图（液面宽度忽略不计)，若∠ACB=90°， ∠ABC=α，当 $h_{1} = h_{2} = h$ 时，AB可表示为（ )

A、hsinα B、 $\frac{h}{s i n α}$ C、htanα D、 $\frac{h}{t a n α}$

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7. 如图，▱ABCD中，DE∥BG，AF∥CH，E，G分别在AF，CH上，连结FH，∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF，△AED与△HEF的面积相等，则 $\frac{A E}{E F}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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8. 如图，等边 $△ A B C$ 的边长为6，点 $D$ 在边 $A B$ 上， $B D = 2$ ，线段 $C D$ 绕 $D$ 顺时针旋转60°得到线段 $D E$ ，连接 $D E$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，连接 $A E$ ，下列结论：①四边形 $A D C E$ 面积为 $9 \sqrt{3}$ ；② $△ A D E$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ ；③ $A F : F C = 2 : 7$ ；其中正确的是（）

A、①②③ B、①③ C、①② D、②③

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9. 如图，等边△ABC的边长为2．以AB的中点O为原点建立平面直角坐标系，把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△DFE，BC与DE相交于点G，连接OG，下列判断不正确的是（）

A、点E的坐标是（ $\sqrt{3}$ ， 0） B、△BGE是等腰三角形 C、CG的长是3- $\sqrt{3}$ D、∠OGB=60°

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二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

10. 如图，渔船在 $A$ 处看到灯塔 $C$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，渔船向正东方向航行了 $12$ 海里到达 $B$ 处，在 $B$ 处看到灯塔 $C$ 在正北方向上，这时渔船与灯塔 $C$ 的距离是．

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11. 如图，四边形ABCD是菱形， BC=12，且∠B=120°， P为对角线AC上任意一点(不与C重合)，则 $DP + \frac{1}{2} CP$ 的最小值为.

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12. 某校数学创新小组使用圭表测量正午太阳高度角，圭表由铅垂的表 $A B$ （高2.0米）和水平的圭 $B C$ 组成．冬至日正午，测得太阳光线 $A D$ 与圭 $B C$ 的夹角 $∠ A D B = 44 °$ ，则冬至日正午表 $A B$ 落在圭面 $B C$ 的影长 $B D$ 为米．（精确到0.1米，参考数据： $s i n 44 ° \approx 0.69$ ， $c o s 44 ° \approx 0.72$ ， $t a n 44 ° \approx 0.97$ ）

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13. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10.点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G.若CF＝CG＝5，则线段BF的长为．

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三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

14. 如图，在△ABC中， AE⊥AB交BC于点E， D为BE的中点，连结AD，AD=4，AE=2EC=2.

(1)、作AH⊥BC，垂足为H，求AH的长；

(2)、求tan∠EAC的值.

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15. 如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F ，与外角∠ACD的平分线交于点E ．

(1)、求sinA的值；

(2)、求点E到直线BD的距离．

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16. 如图，点B为线段 $A D$ 上一点， $C B ⊥ A D$ ，以 $C D$ 为斜边作等腰 $R t △ C D E$ ，若线段 $A B$ 、 $C B$ 长为关于x的一元二次方程 $x^{2} - 4 k x + 4 k^{2} = 0$ 的两个根，

(1)、试判定此一元二次方程的根的情况；

(2)、求证： $A E = E D$ ；

(3)、若 $△ A E D$ 与 $△ C E D$ 的面积比 $2 : 3$ ， $B D = a$ ，则 $\frac{k}{a}$ =（直接写出答案）．

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17. 为弘扬传统文化，学校建设了一条特色的文化长廊如图1，九年级数学实践小组利用所学的知识测量文化长廊顶部到地面的距离．图2为测量示意图，经过实地测量后，他们得到如下信息．
信息1：如图2，点A，B，C，D，E在同一平面内，多边形 $A B D E C$ 为轴对称图形，点A与点B对称，点C与点D对称．
信息2：经测量得到 $A B = 2.80 m$ ， $B D = 1.80 m$ ， $∠ A B D = 127 °$ ， $∠ B D E = 90 °$ ．
任务（1）：求文化长廊最大宽度 $C D$ 的长；
任务（2）：计算文化长廊最高点E到地面的距离．
（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ，结果精确到 $0.01 m$ ）

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D ⊥ B C$ ，再添加一个条件就能够证明 $△ A B C$ 是直角三角形．

(1)、给出下列四个条件：① $s i n B = s i n C$ ；② $s i n B = c o s C$ ；③ $A C^{2} = C D \cdot B D$ ；④ $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，其中可以选择的条件有（填序号）；

(2)、在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．

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19. 陕甘边革命根据地照金纪念馆广场上屹立着三位革命家的塑像，高高矗立，身姿伟岸.某数学兴趣小组计划在假期前往照金革命根据地学习，并测量塑像高度，活动方案如下：
测量方案：如图，点B、E、F、D四点在同一条直线上，在点E处放置平面镜，此时小明视线刚好在平面镜内看到塑像顶端C的像，在点F处安装测倾器，测得塑像顶端C的仰角约为51.3°.
数据收集：测得眼睛离地面高度AB=1.6米，BE=2米，EF=4米，GF=1.4米，AB⊥BD，GF⊥BD，CD⊥BD. 求塑像 CD 的高度. (参考数据： sin51.3°≈0.78，cos51.3°≈0.63， tan51.3°≈1.25)

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20. 初三（1）班成立项目式学习小组，开展停车位设计研究．
【查阅资料】依据《中华人民共和国行业标准——汽车库建筑设计规范》，日常停车位有平行式、垂直式和斜停式三种，车位大小及通道最小宽度要求如下表（单位：m）：
停车方式
车位长度
车位宽度
通道最小宽度
平行式
6
2.4
3.8
斜停式
30°
5.3
2.4
3.8
45°
5.3
2.4
3.8
60°
5.3
2.4
4.2
垂直式
5.3
2.4
5.5
【整理数据】关于斜停式车位，通过计算得到如下近似数据（单位：m）：
$H = 5.3 \sin θ + 2.4 \cos θ$ ， $L = \frac{2.4}{\sin θ}$
$θ$
$H$
$L$
30°
4.8
4.8
45°
5.5
3.4
60°
5.8
2.8
【设计方案】如图，现教学楼与围墙之间有一块长 $42 m$ ，宽 $9 m$ 的广场，计划改造为停车场．请帮忙设计停车位，使得车位数量最大，并说明理由．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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停车方式		车位长度	车位宽度	通道最小宽度
平行式		6	2.4	3.8
斜停式	30°	5.3	2.4	3.8
	45°	5.3	2.4	3.8
	60°	5.3	2.4	4.2
垂直式		5.3	2.4	5.5

$θ$	$H$	$L$
30°	4.8	4.8
45°	5.5	3.4
60°	5.8	2.8

冀教版九年级上册 第二十六章 解直角三角形 单元测试基础卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）

三、解答题（本大题共8个小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

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