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1、我国海拔最低点是艾丁湖洼地，其海拔高度约为 $- 154.31 m$ ，表示低于平均海平面 $154.31 m$ ， “贵州屋脊”六盘水市韭菜坪最高处高于平均海平面约 $2900.6 m$ ，其海拔应记为（）

A、 $2900.6 m$ B、 $- 2900.6 m$ C、 $154.31 m$ D、 $- 154.31 m$

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2、已知 $△ A B C$ 为等边三角形， $P$ 为直线 $B C$ 上方一点（不与 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点重合），连接 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ ．

(1)、当 $∠ B P C = 60 °$ ，且线段 $C P$ 与 $A B$ 交于点 $D$ 时，
①如图1，若点 $D$ 为 $A B$ 的中点，求证： $P A = \frac{1}{2} P C$ ；
②如图2，若点 $D$ 为边 $A B$ 上任意一点，作 $A E ⊥ C P$ ，垂足为 $E$ ，试求 $\frac{C P - B P}{P E}$ 的值．

(2)、如图3，当 $∠ B P C = 120 °$ 时， $F$ 为边 $B C$ 的中点，连接 $P F$ ，
①求证： $∠ A C P = ∠ P B C$ ；
②试猜想 $∠ A P C$ 与 $∠ B P F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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3、【阅读材料】对于两个不等的非零实数 $a$ ， $b$ ，若关于 $x$ 的分式 $\frac{(x - a) (x - b)}{x}$ 的值为零，则解得 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．又因为 $\frac{(x - a) (x - b)}{x} = \frac{x^{2} - (a + b) x + a b}{x} = x + \frac{a b}{x} - (a + b)$ ，所以关于 $x$ 的方程 $x + \frac{a b}{x} - (a + b) = 0$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ．例如：方程 $x + \frac{1 \times 2}{x} - (1 + 2) = 0$ 的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 2$ ．

(1)、【理解应用】方程 $x + \frac{1}{x} = 3 + \frac{1}{3}$ 的解为 $x_{1} =$ ______， $x_{2} =$ ______．

(2)、【知识迁移】若方程 $x + \frac{5}{x} = 9$ 的解为 $x_{1} = a$ ， $x_{2} = b$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值；

(3)、【拓展提升】若关于 $x$ 的方程 $\frac{x^{2} + 7}{x} = k$ 的解为 $x_{1} = t + 1$ ， $x_{2} = t + 2$ ，求 $k^{2} - 4 k + 8 t$ 的值．

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4、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的高， $A E$ 平分 $∠ B A D$ 交 $B C$ 于点E，过点 $C$ 作 $C F ⊥ A E$ ，垂足为点F，并交 $A D$ 于点G，且 $A F = C F$ ．

(1)、求证： $△ A F G ≌ △ C F E$ ；

(2)、试探究线段 $B E$ ， $A G$ 和 $A B$ 三者间的数量关系，并证明你的结论．

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5、由粤港澳大湾区承办的第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州盛大开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”备受大众喜爱，现有两种包含吉祥物的礼盒供顾客选购：

(1)、已知 $A$ 礼盒的单价比 $B$ 礼盒的单价贵30元，若用880元购买 $A$ 礼盒的数量恰好是用290元购买 $B$ 礼盒数量的2倍．设 $B$ 礼盒的单价为 $x$ 元，则 $A$ 礼盒的单价为元（直接用含 $x$ 的代数式表示），根据题意可列方程；

(2)、某玩具厂承担6000个“喜洋洋”和4000个“乐融融”的生产任务，受产能限制，每天只能安排生产其中一种吉祥物．已知每天生产“喜洋洋”的数量是生产“乐融融”数量的 $1.5$ 倍，该工厂完成这批订单总共用了10天．求该工厂每天分别生产“喜洋洋”和“乐融融”多少个？

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B A$ 延长线上一点．

(1)、尺规作图并在图中标出相应的字母：在射线 $B D$ 的右侧，过点 $A$ 作射线 $A M ∥ B C$ ，并在射线 $A M$ 上截取 $A E = B C$ ，连接 $B E$ 交 $A C$ 于点 $F$ （保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）所作的图中，求证：点 $F$ 为线段 $A C$ 的中点．

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7、如图， $C A = C D$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $B C = E C$ ．求证： $A B = D E$ ．

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8、分解因式：

(1)、 $x^{2} - 6 x y + 9 y^{2}$ ；

(2)、 $12 x^{2} - 3 y^{2}$ ．

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9、计算：

(1)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 3 a) \div (3 a)$ ；

(2)、 $(3 x + 1) (x - 2)$ ．

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $∠ A B C = 30 °$ ， $∠ A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $P$ ， $Q$ 分别在线段 $B D$ ， $A B$ 上运动，则 $P A + P Q$ 的最小值是．

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11、如图，有甲、乙两个花坛（阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种 $m$ 颗花种，则甲花坛的撒播密度是乙花坛撒播密度的倍．（注： $撒播密度 = \frac{花种数量}{撒播面积}$ ，结果保留 $π$ ）

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12、如图，已知 $△ A B C ≌ △ D E F$ ， $B F = 10$ ， $B E = 3$ ，则 $C E =$ ．

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13、若点 $P (a, 3)$ 与点 $Q (2, b)$ 关于 $y$ 轴对称，则 $a =$ ， $b =$ ．

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14、如图，将等腰直角三角形 $A B C$ 放置于平面直角坐标系中，直角顶点 $A$ 位于 $x$ 轴上的点 $A (1, 0)$ 处，点 $B$ 对应的坐标为 $(- 3, 1)$ ，则点 $C$ 对应的坐标是（）

A、 $(1, 4)$ B、 $(2, 3)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(3, 4)$

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图的痕迹，可以判断以下结论错误的是（）

A、 $D E = C D$ B、 $A E = A C$ C、 $∠ E D B = ∠ B A C$ D、 $A D = B D$

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16、如图，将边长为a的正方形剪去一个边长为b的小正方形后，剩余部分拼成梯形，验证的公式是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ C、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ D、 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

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17、已知多项式 $x^{2} + m x y + 4 y^{2}$ 是一个完全平方式，则m的值是（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $\pm 4$ D、8

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18、下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A、1，2，3 B、1，1，3 C、3，3，3 D、3，4，8

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19、下列运算正确的是（）

A、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{6}$ B、 $m (- m + 2) = - m^{2} + 2 m$ C、 ${(m^{3} n)}^{2} = m^{5} n^{2}$ D、 $m^{8} \div m^{2} = m^{4}$

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20、如图， $∠ 1$ 和 $∠ A C D$ 是 $△ A B C$ 的外角，已知 $∠ A = 80 °$ ， $∠ A C D = 140 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $120 °$ B、 $125 °$ C、 $130 °$ D、 $140 °$

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