相关试卷

1、已知点 $A (t, m)$ 在抛物线 $y_{1} = 2 a x^{2} + (6 a + 1) x + 3$ （ $a$ 为常数且 $a > 0$ ）上，点 $B (t, n)$ 在直线 $y_{2} = (a + 1) x - 1$ 上.

(1)、求证：抛物线 $y_{1} = 2 a x^{2} + (6 a + 1) x + 3$ 与 $x$ 轴必有交点.

(2)、当 $a = 1$ 时，求满足 $m \leq n + 2$ 的整数 $t$ 的值.

(3)、若仅存在一个整数 $t$ ，使得 $m \leq n + 2$ 成立，求 $a$ 的取值范围.

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2、如图1，三个城市A，B，C在同一直线 $l$ 上， $A B > B C$ ，甲车从 $A$ 出发经过 $B$ 到达 $C$ ，乙车从 $C$ 出发经过 $B$ 到达 $A$ ．已知甲，乙两车同时出发，行驶时间为 $x$ （时），两车与 $B$ 城市的距离为 $y$ （千米）， $y$ 关于 $x$ 的函数图象如图2所示.

(1)、填空： $A B =$ 千米； $B C =$ 千米.

(2)、当乙车在 $B$ 城市行驶 $A$ 城市过程中，求乙车与 $B$ 城市的距离 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式.

(3)、求甲，乙两车相遇的时间.

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3、已知BD是菱形ABCD的对角线.

(1)、如图1，以 $A$ 为圆心，适当长度为半径作弧，交BD于点E，F，连结AE，AF，CE，CF.求证：四边形AECF是菱形.

(2)、尺规作图：在图2中作正方形AMCN，其中M，N在BD上（保留作图痕迹，不写作法）.

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4、国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体胖瘦程度，计算公式为 $B M I = \frac{m}{h^{2}}$ （ $m$ 表示体重，单位：千克； $h$ 表示身高，单位：米）．其中BMI与胖瘦程度见下表．
BMI的范围
BMI $< 18.5$
$18.5 ⩽ B M I < 24.0$
$24.0 ⩽ B M I < 28.0$
BMI $⩾ 28.0$
健康类型
体重过低
正常
超重
肥胖
某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动.

(1)、【设计调查方式】
有下列选取样本的方式：①随机调查全校的60名同学的身高体重；②随机调查该校60名九年级女同学的身高体重；③随机调查该校60名九年级同学的身高体重．其中最合理的方式是（填写序号）．

(2)、【数据收集与整理】
该小组同学计算并整理了60名同学的BMI值，制作了相应的频率表如下：
BMI的范围
$B M I < 18.5$
$18.5 ⩽ B M I < 24.0$
$24.0 ⩽ B M I < 28.0$
$B M I ⩾ 28.0$
人数
3
$a$
6
9
频率
0.05
$b$
$c$
0.15
求表中 $b$ 的值.

(3)、【数据应用】
若该校九年级共有500名同学，根据（2）中的数据估算该校九年级健康类型为正常的人数.

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是BC的中点，点 $E$ 在BD上，连结 $A D, A E, A E = B E$ .

(1)、若 $∠ B = 4 0^{°}$ ，求 $∠ D A E$ 的度数.

(2)、若 $C A = C E$ ，求 $∠ B$ 的度数.

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6、下面是小亮解不等式 $\frac{x + 4}{2} - \frac{x - 2}{6} > \frac{2 x + 1}{3}$ 的过程：
解：去分母，得 $3 x + 12 - x + 2 > 4 x + 2$ ①
移项，得 $3 x - x + 4 x > 2 - 2 - 12$ ②
合并同类项，得 $6 x > - 12$ ③
系数化为1，得 $x > - 2$ ④
小亮的解答过程从哪一步开始错误？请写出正确的解答过程．

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7、计算： $| 1 - 2 \sqrt{3} | + {(\frac{1}{2})}^{- 1} - \sqrt{12}$

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8、如图，在矩形ABCD中， $A B : B C = 3 : 4$ ，将矩形ABCD绕点 $A$ 顺时针旋转，旋转 $9 0^{°}$ 得矩形 $A B_{1} C_{1} D_{1}$ ，继续旋转使得点 $B$ 的对应点 $B_{2}$ 落在 $B_{1} D_{1}$ 上，连结 $B B_{1}, B B_{2}$ ，则 $s i n ∠ B_{1} B B_{2} =$ .

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9、如图，在半径为4的扇形AOB中， $∠ A O B = 4 5^{°}$ ，点 $P$ 为OB中点，作 $P Q ⊥ O B$ 交OA于点 $Q$ ，则 $\overset{⌢}{A B}, A Q, Q P, P B$ 围成的图形（阴影部分）的周长为．

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10、待定系数法是确定函数解析式的常用方法，也可用于化学方程式的配平．锂是新能源时代的核心战略金属，锂和水反应的化学方程式为 $x L i + y H_{2} O = x L i O H + H_{2} ↑$ ，其中x，y为常数，则 $x + y$ 的值为．

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11、如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），若甲、乙5次成绩的方差分别为 ${S_{甲}}^{2} 、 {S_{乙}}^{2}$ ，则 ${S_{甲}}^{2}$ ${S_{乙}}^{2}$ （填＂>＂=＂或＂<“）

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12、若 $\frac{m}{n} = 2$ ，则 $\frac{m + n}{n} =$ ．

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13、如图，在 $▱ A B C D$ 中，对角线AC，BD交于点 $O$ ，点 $E$ 为BC中点， $D E ⊥ A C$ 于点 $P$ ，已知 $A B = 5, B D = x, B C = y$ .当x，y发生变化时，下列代数式值不变的是（）

A、 $(x + y)^{2}$ B、 $(x - y)^{2}$ C、 $x^{2} + y^{2}$ D、 $x^{2} - y^{2}$

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14、已知点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k < 0)$ 的图象上， $x_{1} < x_{2}$ ，则以下说法正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} > 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} > 0$ B、若 $x_{1} + x_{2} > 0$ ，则 $y_{1} + y_{2} < 0$ C、若 $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ D、若 $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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15、如图，面积为 $S$ 的正方形ABCD是由正方形EFGH和四个形状、大小一样的直角三角形组成，其中 $B E = 2 A E$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{4} S$ B、 $\frac{1}{5} S$ C、 $\frac{1}{6} S$ D、 $\frac{1}{7} S$

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16、在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点分别为 $A (2, 4), B (8, 8)$ ，平移线段AB，点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A^{^{'}}, B^{^{'}}$ ，已知 $A^{^{'}} (0, 5)$ ，则点 $B^{^{'}}$ 的坐标为（）

A、 $(6, 9)$ B、 $(6, 7)$ C、 $(10, 9)$ D、 $(10, 7)$

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17、如图，AB切 $⊙ O$ 于点B，OA交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，连结 $C D, B D, ∠ D = 2 5^{°}$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、 $2 5^{°}$ B、 $3 0^{°}$ C、 $4 0^{°}$ D、 $4 5^{°}$

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18、抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现点数为偶数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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19、2025年1月1日金华市四个景点的最高气温与最低气温如下表，该天温差最大的景点是（）
景点
诸葛八卦村
永康方岩
金华双龙洞
磐安百丈潭
最高气温
$1 3^{°} C$
$1 6^{°} C$
$1 4^{°} C$
$1 2^{°} C$
最低气温
$- 2^{°} C$
$2^{°} C$
$0^{°} C$
$- 1^{°} C$

A、诸葛八卦村 B、永康方岩 C、金华双龙洞 D、磐安百丈潭

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20、国家统计局2025年4月16日发布数据，今年一季度，我国国内生产总值（GDP）突破31870000000000元，将数31870000000000用科学记数法表示为（）

A、 $31.87 \times 1 0^{11}$ B、 $31.87 \times 1 0^{12}$ C、 $3.187 \times 1 0^{13}$ D、 $3.187 \times 1 0^{12}$

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BMI的范围	BMI $< 18.5$	$18.5 ⩽ B M I < 24.0$	$24.0 ⩽ B M I < 28.0$	BMI $⩾ 28.0$
健康类型	体重过低	正常	超重	肥胖

BMI的范围	$B M I < 18.5$	$18.5 ⩽ B M I < 24.0$	$24.0 ⩽ B M I < 28.0$	$B M I ⩾ 28.0$
人数	3	$a$	6	9
频率	0.05	$b$	$c$	0.15

景点	诸葛八卦村	永康方岩	金华双龙洞	磐安百丈潭
最高气温	$1 3^{°} C$	$1 6^{°} C$	$1 4^{°} C$	$1 2^{°} C$
最低气温	$- 2^{°} C$	$2^{°} C$	$0^{°} C$	$- 1^{°} C$