相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、一组数据2，3，3，4，5，6的众数和中位数都是3 B、“打开电视机，正在播放足球赛”是必然事件 C、了解贵州省中学生观看电影《哪吒2》的情况适合采用普查（全面调查） D、甲组数据的方差 $s_{甲}^{2} = 0.21$ ，乙组数据的方差 $s_{乙}^{2} = 0.03$ ，则乙组数据比甲组数据稳定

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2、如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且 $∠ 2 = 58 °$ ，则 $∠ 1 =$ （）

A、 $102 °$ B、 $122 °$ C、 $142 °$ D、 $146 °$

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3、下列计算正确的是（）

A、 $2 a + 3 a = 5$ B、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$ C、 $a \cdot (- 2 a) = - 2 a^{2}$ D、 ${(a^{3})}^{3} = a^{6}$

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4、 $DeepSeek$ 是中国深度求索公司研发的高性能 $AI$ 语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手 $DeepSeek$ 的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（）

A、 $733 \times 10^{5}$ B、 $7.33 \times 10^{6}$ C、 $7.33 \times 10^{7}$ D、 $0.733 \times 10^{8}$

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5、【阅读理解】
我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图1， $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在直线 $A B$ 、 $C D$ 上，点 $P$ 在直线 $A B$ 、 $C D$ 之间，设 $∠ A E P = ∠ α$ ， $∠ C F P = ∠ β$ ，求证： $∠ P = ∠ α + ∠ β$ ．
证明：如图2，过点 $P$ 作 $P Q / / A B$ ，
$∴ ∠ E P Q = ∠ A E P = ∠ α$ ，
$∵ P Q ∥ A B$ ， $A B ∥ C D$ ，
$∴ P Q ∥ C D$ ，
$∴ ∠ F P Q = ∠ C F P = ∠ β$ ，
$∴ ∠ E P F = ∠ E P Q + ∠ F P Q = ∠ α + ∠ β$ ．
即 $∠ P = ∠ α + ∠ β$ ．
可以运用以上结论解答下列问题：

(1)、【类比应用】
①如图3，已知 $A B ∥ C D$ ，已知 $∠ D = 40 °$ ， $∠ G A B = 60 °$ ，求 $∠ P$ 的度数；
②如图4，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在直线 $C D$ 上，点 $P$ 在直线 $A B$ 上方，连接 $P A$ 、 $P E$ ．设 $∠ A = ∠ α$ 、 $∠ C E P = ∠ β$ ，则 $∠ α$ 、 $∠ β$ 、 $∠ P$ 之间有何数量关系？请说明理由；

(2)、【拓展应用】
如图5，已知 $A B ∥ C D$ ，点 $E$ 在直线 $C D$ 上，点 $P$ 在直线 $A B$ 上方，连接 $P A$ 、 $P E$ ， $∠ P E D$ 的角平分线与 $∠ P A B$ 的角平分线所在直线交于点 $Q$ ，求 $\frac{1}{2} ∠ P + ∠ Q$ 的度数

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6、我们在学习圆的知识时，常常碰到题目中明明没有圆，但解决问题时要用到，这就是所谓的“隐圆”问题：
下面让我们一起尝试去解决：

(1)、如图1， $Rt △ A B C$ 中， $A B ⊥ B C, A B = 6, B C = 4$ ， P是 $△ A B C$ 内部的一个动点，且满足 $∠ P A B = ∠ P B C$ ，则线段 $C P$ 长的最小值为________；

(2)、如图2，在正方形 $A B C D$ 中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边 $D C, C B$ 上移动，连接 $A E$ 和 $D F$ 交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动．若 $A D = 2$ ，则线段 $C P$ 的最小值是_______；

(3)、如图3，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 3$ ，点E，F分别为 $A D, D C$ 边上的点，且 $E F = 2$ ，点G为 $E F$ 的中点，点P为 $B C$ 上一动点，则 $P A + P G$ 的最小值为多少？

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7、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，E，F分别是 $A D, B C$ 边上的点，且 $∠ A B E = ∠ C D F$ ．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、连接 $C E$ ，若 $C E$ 平分 $∠ D C B$ ， $C F = 3, D E = 5$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的周长．

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8、今年是我市全面推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年．某校对全校学生进行了期中检测评价，检测结果分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格）四个等级．并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表（图1）和统计图（图2）．
等级
频数
频率
A
a
0.3
B
35
0.35
C
31
b
D
4
0.04
图1
请根据图1，图2提供的信息，解答下列问题：

(1)、本次随机抽取的样本容量为________；

(2)、 $a =$ ________； $b =$ ________；

(3)、请在图2中补全条形统计图；

(4)、若该校共有学生800人，据此估算，该校学生在本次检测中达到“A（优秀）”等级的学生人数为________．

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9、先化简，再求值： $(x - 1) (x + 1) - x (x + 2)$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

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10、解方程组： $\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ x - 2 y = 5 \end{cases}$

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11、在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．

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12、下列运算正确的是（）

A、 $x - 2 x = x$ B、 $x (x + 3) = x^{2} + 3$ C、 ${(- 2 x^{2})}^{3} = - 8 x^{6}$ D、 $3 x^{2} \cdot 4 x^{2} = 12 x^{2}$

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13、如果三角形的两个内角 $α$ 与 $β$ 满足 $2 α + β = 90 °$ ，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”
基础巩固：（1）若 $△ A B C$ 是“准互余三角形”， $∠ C > 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ B =$ °；
尝试应用：（2）如图①，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 50 °$ ．
①若 $A D$ 是 $∠ B A C$ 的平分线，判断 $△ A B D$ 是否是“准互余三角形” （是、否）；
②在边 $B C$ 上存在点E（异于点D），使得 $△ A B E$ 也是“准互余三角形”，求此时 $∠ E A C$ 的度数；
拓展提高：（3）如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 7$ ， $C D = 12$ ， $B D ⊥ C D$ ， $∠ A B D = 2 ∠ B C D$ ，且 $△ A B C$ 是“准互余三角形”，求对角线 $A C$ 的长．

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14、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是弧 $B C$ 的中点， $B C$ 与 $A D 、 O D$ 分别交于点 $E 、 F$ ．

(1)、求证： $D O ∥ A C$ ；

(2)、若 $\tan ∠ C A D = \frac{1}{2}$ ，
①求 $\frac{D E}{A D}$ 的值；
②求 $\sin ∠ C D A$ 的值．

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15、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ 的图象相交于点 $A (- 1, n)$ 、 $B (2, 1)$ ．

(1)、求一次函数、反比例函数的表达式；

(2)、方程 $k x + b = \frac{m}{x}$ 的解为；

(3)、直接写出当 $0 < y_{1} < y_{2}$ 时自变量x的范围．

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16、某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别
成绩x（分）
百分比
A组
$x < 60$
$5 %$
B组
$60 \leq x < 70$
$\begin{array}{l} 15 % \end{array}$
C组
$70 \leq x < 80$
a
D组
$80 \leq x < 90$
$\begin{array}{l} 35 % \end{array}$
E组
$90 \leq x \leq 100$
$\begin{array}{l} 25 % \end{array}$
根据所给信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的成绩统计表中 $a =$ $%$ ，并补全条形统计图；

(2)、这200名学生成绩的中位数会落在组（填A、B、C、D或E）；

(3)、试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．

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17、计算： ${(- 1)}^{2020} + {(- 2)}^{- 1} + |\sqrt{2} - 1|$ ．

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18、如图，已知正方形 $A B C D$ ，边长为4，正方形内有一动点 $E$ ， $∠ B E C = 135 °$ ．连接 $A E$ ，则线段 $A E$ 的最小值为．

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19、已知二次函数 $y = a x^{2} + (2 a - 3) x + a - 1$ （x是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围为．

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20、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的弦，若 $∠ B C D = 20 °$ ，则 $∠ A B D =$ °．

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组别	成绩x（分）	百分比
A组	$x < 60$	$5 %$
B组	$60 \leq x < 70$	$\begin{array}{l} 15 % \end{array}$
C组	$70 \leq x < 80$	a
D组	$80 \leq x < 90$	$\begin{array}{l} 35 % \end{array}$
E组	$90 \leq x \leq 100$	$\begin{array}{l} 25 % \end{array}$

等级	频数	频率
A	a	0.3
B	35	0.35
C	31	b
D	4	0.04