2.2.1平方根-北师大版(2025)数学八年级上册

试卷更新日期：2025-06-28 类型：同步测试

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一、选择题

1. 2的算术平方根是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、± $\sqrt{2}$ D、±2

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2. 下列说法正确的是（）

A、-6是36的算术平方根 B、±6是36的算术平方根 C、 $\sqrt{6}$ 是36的算术平方根 D、 $\sqrt{6}$ 是 $\sqrt{36}$ 的算术平方根

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3. 若 $n$ 满足 $| n - 16 | = 0$ ，则 $n$ 的算术平方根是（）

A、 $- 4$ B、 $\pm 4$ C、0 D、4

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4. $\sqrt{25}$ 的平方根是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、±5 C、5 D、± $\sqrt{5}$

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5. 若 $m + 4$ 与 $m - 2$ 是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　）

A、3 B、 $- 3$ C、1 D、 $- 1$

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6. 实数 $1 - 3 a$ 有平方根，则 $a$ 可以取的值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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7. 在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{°}$ ， c为斜边，a. b为直角边，则化简 $\sqrt{(a - b + c)^{2}} - 2 | c - a - b |$ 的结果为（）

A、 $3 a + b - c$ B、 $- a - 3 b + 3 c$ C、 $a + 3 b - 3 c$ D、2a

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8. 已知 $\sqrt{12.34} = 3.512$ ， $\sqrt{123.4} = 11.108$ ，则 $\sqrt{1234} =$ （）

A、35.12 B、351.2 C、111.08 D、1110.8

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二、填空题

9. $\sqrt{16} =$ ； $\sqrt{81}$ 的平方根是.

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10. 计算： $\sqrt{{(- 2)}^{2}}$ ＝．

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11. 一个正方形的面积扩大为原来的4倍，则它的边长变有原来的倍．

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12. 定义运算： $x \otimes y = \sqrt{x y + 4}$ ，则 $(2 \otimes 6) \otimes 8 =$ ．

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13. 若 $a - b = 5$ ， $a b = 4$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ ， $a + b =$ .

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14. 下图是一个无理数筛选器的工作流程图．

（1）当 $x$ 为9时， $y$ 值为；
（2）如果输入 $x$ 值后，没有算术平方根，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请写出此时输入的 $x$ 满足的条件．

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三、解答题

15. 一个正数 $x$ 的平方根分别是 $3 a ＋ 13 与 a - 5$ ，求 $a$ 和 $x$ 的值．

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16. 已知 $2 a - 1$ 的平方根是 $\pm 3$ ， $4 a + 2 b + 1$ 的算术平方根是5，求 $a - 2 b$ 的平方根.

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17. 已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，x是2的平方根，求 $\frac{5 (a + b)}{a^{2} + b^{2}} - \sqrt{2 c d} + x$ 的值．

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18. 已知 $x = 1 - 2 a$ ， $y = 3 a - 4$ ．

(1)、已知 $x$ 的算术平方根为3，求 $a$ 的值；

(2)、如果一个正数的平方根分别为 $x$ ， $y$ ，求这个正数．

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19. 在平面直角坐标系中， $A ， B$ 两点的坐标分别是 $A (0 ， a) ， B (0 ， b)$ ，且 $\sqrt{a + 6} + | 12 - b | = 0$ ．

(1)、求 $b - a$ 的平方根；

(2)、若在 $x$ 轴的正半轴上有一点 $C$ ，且 $△ A B C$ 的面积是27，求点 $C$ 的坐标；

(3)、过（2）中的点 $C$ 作直线 $M N ∥ y$ 轴，在直线 $M N$ 上是否存在点 $D$ ，使得 $△ A C D$ 的面积是 $△ A B C$ 面积的 $\frac{1}{9}$ ？若存在，请求出点 $D$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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四、阅读理解题

20. 阅读理解
∵ $\sqrt{4}$ ＜ $\sqrt{5}$ ＜ $\sqrt{9}$ ，即2＜ $\sqrt{5}$ ＜3．
∴1＜ $\sqrt{5}$ ﹣1＜2
∴ $\sqrt{5}$ ﹣1的整数部分为1．
∴ $\sqrt{5}$ ﹣1的小数部分为 $\sqrt{5}$ ﹣2．
解决问题：
已知a是 $\sqrt{17}$ ﹣3的整数部分，b是 $\sqrt{17}$ ﹣3的小数部分，求（﹣a）³+（b+4）²的平方根．

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21. 阅读材料，解答下列问题．
例：当a＞0时，如a=6，则|a|=|6|=6，故此时|a|是它本身；当a=0时，|a|=0，故此时|a|是零；
当a＜0时，如a=﹣6，则|a|=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a|是它的相反数．
综上所述，|a|可分三种情况，即|a|= ${\begin{array}{l} a (a > 0) \\ 0 (a = 0) \\ - a (a < 0) \end{array}$
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．
问：

(1)、请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式 $\sqrt{a^{2}}$ 的各种展开的情况．

(2)、猜想 $\sqrt{a^{2}}$ 与|a|的大小关系是 $\sqrt{a^{2}}$ |a|．

(3)、当1＜x＜2时，试化简： $| x - 1 | + \sqrt{{(x - 2)}^{2}}$ ．

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22. 阅读材料：
⑴对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b ．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
⑵对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a²﹣b²＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a²﹣b²）与（a﹣b）的符号相同
当a²﹣b²＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a²﹣b²＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a²﹣b²＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：

(1)、课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y，且x＞y ，张丽同学的用纸总面积为W₁ ，李明同学的用纸总面积为W₂ ．回答下列问题：
①W₁＝        用x、y的式子表示）
W₂＝        （用x、y的式子表示）
②请你分析谁用的纸面积最大．

(2)、如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km ， BE＝4km），AB＝xkm ，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P ，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a₁＝AB+AP ．
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P ，泵站修建在店P处，该方案中管道长度a₂＝AP+BP ．
①在方案一中，a₁＝        km（用含x的式子表示）；
②在方案二中，a₂＝        km（用含x的式子表示）；
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

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五、综合题

23. 已知 $\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2} ； \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ； \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} ⋯$ ，

(1)、观察上式得出规律，则 $\frac{1}{99 \times 100} =$ ， $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ．

(2)、若 $\sqrt{a - 1} + \sqrt{a b - 2} = 0 ，求 a 、 b$ 的值．

(3)、由（2）中 $a$ 、 $b$ 的值，求 $\frac{1}{a b} + \frac{1}{(a + 1) (b + 1)} + \frac{1}{(a + 2) (b + 2)} + ⋯ + \frac{1}{(a + 2014) (b + 2014)}$ 的值．

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24.

(1)、已知 $| x | = | - y |$ ，且 $| x + y | = - x - y$ ，求 $x - y$ 的值

(2)、已知数a与b互为相反数，c与d互为倒数， $x + 2 = 0$ ，求式子 ${(a + b)}^{2009} - \frac{{(a + b - c d)}^{2008}}{x^{3}}$ 的值.

(3)、已知 $\sqrt{25} = x$ ， $\sqrt{y} = 2$ ，z是9的算术平方根，求 $2 x + y - z$ 的平方根.

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