相关试卷

1、教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第102页的部分内容．

2．线段垂直平分线

我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴、如图12.4.1，直线 $M N$ 是线段 $A B$ 的垂直平分线， $P$ 是 $M N$ 上任一点，连接 $P A$ 、 $P B$ ．将线段 $A B$ 沿直线 $M N$ 对折，我们发现 $P A$ 与 $P B$ 完全重合．于是有：

线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．

已知：如图12.4.1， $M N ⊥ A B$ ，垂足为点C， $A C = B C$ ，点P是直线 $M N$ 上的任意一点．

求证： $P A = P B$ ．

分析图中有 $Rt △ A P C$ 和 $Rt △ B P C$ ，只要证明这两个三角形全等，便可证得 $P A = P B$ ．

请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

（1）如图②，在 $△ A B C$ 中，请你用无刻度的直尺和圆规作 $A B$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点E，垂足为D，连接 $A E$ ．若 $△ A E C$ 的周长为34， $A C = 14$ ，则 $B C$ 的长度为______．

（2）如图③，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ， E、P分别是 $A B 、 A D$ 上任意一点，若 $A B = 6$ ， $△ A B C$ 的面积为30，则 $B P + E P$ 的最小值是________．

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2、近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度，随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个冰雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)、参与本次调查的学生有_______人，扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数为______ $°$ ；

(2)、补全条形统计图；

(3)、若该校共有学生560人，喜欢“滑雪橇”的学生约有多少人？

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3、如图，图①、②是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的边长都为1，线段 $A B$ 的端点在格点上，在图①、②中，按要求各画出一个以 $A B$ 为边的等腰三角形，等腰三角形各顶点都在格点上．

(1)、在图①中以 $A B$ 为腰画等腰 $△ A B C$ ；

(2)、在图②中以 $A B$ 为底画等腰 $△ A B D$ ，且顶角为锐角，并写出 $△ A B D$ 的面积．

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4、如图，已知 $∠ B = ∠ E$ ，点 $C$ 和点 $F$ 在线段 $B E$ 上， $A C$ 与 $D F$ 交于点 $O$ ， $∠ A = ∠ D$ ， $B F = E C$ ．

(1)、求证： $△ A B C ≌ △ D E F$ ；

(2)、若 $∠ A O F = 56 °$ ，则 $∠ A C E$ 的度数为度．

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5、计算

(1)、 $\sqrt{25} + \sqrt[3]{- 8} + |2 - \sqrt{5}|$ ；

(2)、 $(12 a^{3} - 6 a^{2} + 3 a) \div 3 a + 2 a$ ．

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6、如图，在等边 $△ A B C$ 中有一点 $P$ ，连接 $P A 、 P B 、 P C$ ，将 $B P$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到 $B D$ ，连接 $P D 、 A D$ ．给出下面四个结论： $① △ B P C ≌ △ B D A$ ； $② △ B D P$ 是等边三角形； $③ P A = P D$ ； $④$ 若 $∠ B P C = 150 °$ ，则 $P A^{2} = P B^{2} + P C^{2}$ ．上述结论中，所有正确结论的序号是．

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7、图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ 于点E， $D F ⊥ A C$ 于点F，若 $A B = 8, A C = 6$ ， $D E = 3$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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8、命题“有两个角互余的三角形是直角三角形”，该命题是命题．（填“真”或“假”）．

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9、下列计算正确的是（）

A、 $a^{6} \cdot a^{2} = a^{8}$ B、 ${(a^{2} b)}^{2} = a^{2} b^{2}$ C、 ${(3 x y^{2})}^{2} = 6 x^{2} y^{4}$ D、 ${(- m)}^{7} \div {(- m)}^{2} = m^{5}$

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10、49的平方根是（）

A、 $- 7$ B、 $\pm \sqrt{7}$ C、7 D、 $\pm 7$

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11、在下列各数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{16}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $- \frac{22}{7}$ D、 $\sqrt[3]{27}$

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12、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P$ 、点 $M$ 和图形 $G$ ，给出如下定义：在图形 $G$ 上存在点 $Q$ ，使得点 $M$ 是线段 $P Q$ 的中点（ $P$ ， $Q$ 不重合），则称点 $P$ 为图形 $G$ 关于点 $M$ 的“映射点”。
已知正方形 $A B C D$ 的顶点为 $A (- 1,2)$ ， $B (3,2)$ ， $C (3, - 2)$ ， $D (- 1, - 2)$ 。

(1)、已知点 $M$ 的坐标为 $(4,1)$ ，在点 $P_{1} (5,3)$ ， $P_{2} (6, - 1)$ ， $P_{3} (8,4)$ 中，正方形 $A B C D$ 关于点 $M$ 的映射点是.

(2)、已知点 $M (m, - m + 4)$ ，若 $x$ 轴上存在正方形 $A B C D$ 关于点 $M$ 的映射点，直接写出 $m$ 的取值范围；

(3)、已知点 $T (t, 0)$ ，点 $M$ 在半径为 $1$ 的 $⊙ T$ 上，若 $⊙ T$ 上存在正方形 $A B C D$ 关于点 $M$ 的映射点，直接写出 $t$ 的取值范围。

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13、如图，在 $∆ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 为 $∆ A B C$ 的中线， $E$ 是 $A D$ 上一点，连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点 $C$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $C F$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ D C$ 交 $D C$ 的延长线于点 $G$ 。

(1)、求证： $A D = F G$ ；

(2)、连接 $B F$ ，取 $B F$ 的中点 $H$ ，连接 $A H$ ， $D H$ 。依题意补全图形，用等式表示线段 $A H$ 与 $D H$ 之间的数量关系，并证明。

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 经过点 $(2,3)$ 。点 $M$ 为抛物线上任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $M$ 作 $M P ∥ x$ 轴，点 $P$ 的横坐标为 $- 2 m$ 。

(1)、求 $b$ 的值；

(2)、当线段 $M P$ 与抛物线有两个公共点时，求出 $m$ 的取值范围；

(3)、过点 $P$ 作 $P Q ⊥ x$ 轴交抛物线 $y = x^{2} + b x + 3$ 于点 $Q$ ，点 $M$ 在抛物线上运动的过程中，若线段 $P Q$ 的长随 $m$ 的增大而增大，直接写出 $m$ 的取值范围。

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15、如图，在 $R t ∆ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 是 $B C$ 上一点， $⊙ O$ 是 $∆ A C D$ 的外接圆。过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，交 $A B$ 的延长线于点 $E$ 。

(1)、求证： $∠ E = ∠ D A B$ ；

(2)、若 $B$ 是 $A E$ 的中点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求 $C D$ 的长。

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16、2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目。篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线。以机器人站立点为原点建立平面直角坐标系，篮球飞行的竖直高度 $y$ （单位：米）与水平距离 $x$ （单位：米）满足二次函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)$ 。
机器人某次投篮，篮球飞行的水平距离 $x$ 与竖直高度 $y$ 的几组数据如下：
水平距离 $x$ （米）
0
1
2
3
4
5
竖直高度 $y$ （米）
2.0
2.7
3.2
3.5
3.6
3.5

挑战者在同样地点投篮，篮球飞行的竖直高度 $y$ 与水平距离 $x$ 近似满足二次函数关系 $y = - 0.08 (x - 4.32)^{2} + 3.8$ 。

(1)、根据上述数据，直接写出机器人投篮时，篮球飞行的竖直高度的最大值为米，满足的函数关系 $y = a (x - h)^{2} + k (a < 0)$ 是；

(2)、若篮球在水平距离5米处的竖直高度 $y$ 满足 $3.2 \leq y \leq 3.5$ ，视为有效投篮，则机器人投篮（填“有效”或“无效”），挑战者投篮（填“有效”或“无效”）。

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17、在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一。随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元/千瓦时，2025年电池成本约为972元/千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率。

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18、某班开展“我爱北京”的综合实践活动，班委会决定设置“山水”“历史”“文学”“艺术”（分别记作A，B，C，D）四个研究主题，并采取小组合作的研究方式。同学们在四张完全相同的不透明卡片的正面分别写上这四个研究主题，卡片背面保持完全相同。

(1)、将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“历史”的概率为；

(2)、各小组从这四张卡片中随机抽取一张，将卡片内容作为本小组的研究主题。将这四张卡片背面朝上洗匀后，小明代表第一小组从中随机抽取一张，记下结果后放回，背面朝上洗匀后，小红代表第二小组从中随机抽取一张。请用列表或画树状图的方法，求这两个小组研究主题不同的概率。

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19、已知在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， $△ A B C$ 的三个顶点A，B，C均在格点(小正方形的顶点)上。

(1)、如图1，以边AC的中点O为旋转中心，将 $△ A B C$ 旋转180°，得到 $△ A$ ₁B₁C₁ ，画出 $△ A$ ₁B₁C₁；

(2)、如图2，在图中找一个格点E，使 $∠ A E C + ∠ A B C = 180$ °。

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20、在二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 中， $x$ 与 $y$ 的几组对应值如表所示。
$x$
…
$- 2$
$0$
$1$
…
$y$
…
$- 2$
$- 2$
$1$
…

(1)、求二次函数的表达式；

(2)、求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象；

(3)、将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象与直线 $y = 2$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，请直接写出线段 $A B$ 的长。

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水平距离 $x$ （米）	0	1	2	3	4	5
竖直高度 $y$ （米）	2.0	2.7	3.2	3.5	3.6	3.5

$x$	…	$- 2$	$0$	$1$	…
$y$	…	$- 2$	$- 2$	$1$	…