相关试卷

1、阅读材料：有一边是另一边 $\sqrt{3}$ 倍的三角形叫做“卓越三角形”，这两边中较长的边称为“卓越边”，这两边的夹角称为“卓越角”．

(1)、如图①，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O ，已知 $∠ A B C = 60 °$ ，请找出图中的一个“卓越三角形”，并说明判断依据．

(2)、如图②， $△ A B C$ 是卓越三角形， $∠ A$ 是卓越角， $A C$ 是卓越边，若 $∠ B = 45 ° ，$ $A B = 2$ ，求 $B C$ 的长．

(3)、如图③，在平面直角坐标系中，有一卓越 $△ A B C$ ， $∠ B$ 是卓越角， $B C$ 是卓越边，顶点A在x轴上，其坐标为 $(5, 0)$ ，顶点B、C均在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的第一象限图象上，点B在点C下方，且纵坐标为 $\sqrt{3}$ ，当 $△ A B C$ 是直角三角形时，求反比例函数的表达式．

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2、如图

(1)、【探究发现】如图1，正方形 $A B C D$ 的对角线相交于点O ，在正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点O旋转的过程中，边 $A^{'} O$ 与边 $B C$ 交于点M ，边 $C^{'} O$ 与边 $C D$ 交于点N ．证明： $△ O M C ≌ △ O N D$ ．

(2)、【类比迁移】如图2，矩形 $A B C D$ 的对角线相交于点O ，且 $A B = 6$ ， $A D = 12$ ，在矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ ，绕点O 旋转的过程中，边 $A^{'} O$ 与边 $B C$ 交于点M ，边 $C^{'} O$ 与边 $C D$ 交于点N ．若 $D N = 1$ ，求 $C M$ 的长；

(3)、【拓展应用】如图3，四边形 $A B C D$ 和四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} O$ 都是平行四边形，且 $∠ A^{'} O C^{'} = ∠ A D C$ ， $A B = 3$ ， $B C = 3 \sqrt{5}$ ， $△ B C D$ 是直角三角形，在 $▱ A^{'} B^{'} C^{'} O$ 绕点O 旋转的过程中，边 $A O$ 与边 $B C$ 交于点M ，边 $C^{'} O$ 与边 $C D$ 交于点N ．当 $▱ A B C D$ 与 $▱ A^{'} B^{'} C^{'} O$ 重叠部分的面积是 $▱ A B C D$ 的面积的 $\frac{1}{4}$ 时，请直接写出 $O N$ 的长．

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3、你玩过荡秋千游戏吧？图（a）是秋千的侧视图，当秋千 $A B$ 静止时，下端 $B$ 离地面 $l$ 的距离 $B D$ 为 $0.5 m$ ．

(1)、如图（a），当秋千两边摆动时，两边摆动的角度相等（即 $∠ B A C_{1} = ∠ B A C_{2}$ ），当秋千分别荡到两边的最高点 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 位置时，若 $A D$ 交 $C_{1} C_{2}$ 于点 $E$ ， $A E = \frac{1}{2} A D$ ，且 $C_{1} C_{2} = 4 m$ ，请你计算秋千 $A B$ 的长度．

(2)、如图（b），在（1）的条件下，设计一个侧视图为 $△ P Q R$ 的挡光板，用于遮挡阳光，点 $Q$ ， $P$ ， $D$ 都在 $l$ 上，已知 $∠ R P Q = 45 °$ ， $P D = 2 m$ ，如果把挡光板沿 $Q P$ 方向向右平移，但为安全起见，要求 $P R$ 与秋千运动弧线最近点的距离不小于 $0.5 m$ ，问挡光板应最多向右平移多少米？（不考虑人体和坐板的大小，结果精确到 $0.1 m$ ）

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4、新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分．数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议．小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律．
规律一
当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二
当每千克蔬菜的售价每降低 $0.5$ 元，每天的销售量就会增加10千克．
经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题．

(1)、【建立模型】
设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式；

(2)、【设计方案】
当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？

(3)、【实际需求】
若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围.

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5、在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图 $①$ ），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图 $②$ ）．
数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图．

(1)、图 $③$ 是图 $①$ 门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{D C}$ 和矩形 $A B C D$ 组成，且 $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{D C}$ ，圆心是倒锁按钮点 $F$ ，若 $\overset{⌢}{C D}$ 的弓形高 $E G = 2 c m$ ， $C D = 8 c m$ ，请求出此时图 $③$ 中圆心 $F$ 到 $A B$ 的距离．

(2)、图 $④$ 是图 $②$ 门锁的工作简化图，锁芯 $O$ 固定在门边 $R P$ 右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达 $K$ 处，把手绕锁芯 $O$ 旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边 $N$ 点处，此时 $∠ N O S = 20 °$ ．将 $O N$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到 $O Q$ ，过点 $Q$ 作 $Q M ⊥ P R$ 于点 $M$ ．若 $\overset{⌢}{Q N}$ 所在圆的半径 $O N = 10 c m$ ，请求出此时 $M N$ 的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据： $s i n 20 ° \approx 0.342$ ， $c o s 20 ° \approx 0.940$ ， $t a n 20 ° \approx 0.364$ ）

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6、如图， $A B$ 为半圆的直径，四边形 $A B C D$ 中， $A D = B C$ ， $D C ∥ A B$ ．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．

(1)、请在图中，作出半圆的圆心 $O$ ；

(2)、若 $∠ A = 60 °$ ， $A D = 4$ ， $C D = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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7、计算： ${(- \frac{1}{4})}^{- 1} - \sqrt{9} + 2 c o s 45 ° + | \sqrt{2} - 2 |$ ；

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8、如图，等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10 c m ， B C = 6 c m$ ， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的中点，则 $▱ B D E F$ 的周长为．

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9、计算 $a - 2 + \frac{4}{a + 2} =$ ．

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10、关于 $x$ 的不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组的整数解有个．

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11、一组数据2，1，2，5，2，6的众数是．

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12、方程 $\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{16}{x^{2} - 4} = 1$ 的解为（　）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = 3$ D、无解

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13、已知抛物线 $y = - a x^{2} - 4 a x - 12 (a \neq 0)$ ，若点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 、 $C (2, 0)$ 均在该抛物线上，且 $x_{1} < - 6 < x_{2} < 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $y_{2} > 0 > y_{1}$ B、 $y_{1} > y_{2} > 0$ C、 $0 > y_{2} > y_{1}$ D、 $y_{1} > 0 > y_{2}$

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14、如图，点 $P$ 在 $▱ A B C D$ 的对角线 $B D$ 上，过点 $P$ 作 $E F ∥ B C$ ， $G H ∥ A B$ ．已知 $S_{▱ A B C D} = 22$ ， $S_{四边形 B G P E} = 2$ ， $S_{四边形 P F D H} = 10$ ，则四边形 $A E P H$ 的面积是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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15、下列运算正确的是（　　）

A、 ${(- a^{2})}^{3} = - a^{6}$ B、 $a^{2} b \cdot a b = a^{3} b$ C、 $a b - a = b$ D、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$

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16、拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓，节约一粒米的账：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省3240万斤，这些粮食可供9万人吃一年，“3240万”这个数据用科学记数法表示为（）

A、 $0.324 \times 1 0^{8}$ B、 $3.24 \times 1 0^{7}$ C、 $32.4 \times 1 0^{6}$ D、 $3.24 \times 1 0^{8}$

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17、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、如图，已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AO=OC，OB=OD且∠1=∠2．

(1)、求证：四边形ABCD是菱形；

(2)、E为AO上一点，连接BE，若AE=4，AB=6，EB=2 $\sqrt{3}$ ，求AO的长．

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19、如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=50°，求∠ADC的度数．

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20、如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转，得到矩形EFGC，且点E落在AD上，连接BE，BG，BG交CE于点H，连接FH，若FH平分∠EFG，则下列结论正确的是 .
①AE+CH=EH；
②∠DEC=3∠ABE；
③BH=HG；
④CH=2AB.

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规律一	当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克．
规律二	当每千克蔬菜的售价每降低 $0.5$ 元，每天的销售量就会增加10千克．