相关试卷

1、数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图 $1 .$ 因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定 $y = 2 x - 1$ 与 $y = \frac{1}{x}$ 的关系时，由函数表达式得 $2 x - 1 = \frac{1}{x}$ ，去分母得 $2 x^{2} - x - 1 = 0$ ，因为 $Δ = 9 > 0$ ，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】

(1)、对于函数 $① y = - \frac{2}{x}$ ， $② y = 2 x$ ， $③ y = - 3 x + 1 .$ 其中 $①$ 与 $②$ 是“函数”， $①$ 与 $③$ 是“函数”；

(2)、若 $y_{1} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 与 $y_{2} = k x + b (k \neq 0)$ 是“友好函数”，如图 $2$ ，当 $y_{1} > y_{2}$ 时， $x$ 的取值范围是；若 $y = \frac{n}{x} (n \neq 0)$ 与 $y = 2 x - 6$ 是“相连函数”，则 $n$ 的值为；

(3)、如图 $3$ ，过点 $C (0,6)$ 的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 对应的函数分别与 $y = \frac{k_{1}}{x} (k_{1} \neq 0, x < 0)$ ， $y = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} \neq 0, x > 0)$ 是“相连函数”，相连点分别为 $P$ ， $Q$ ， $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与 $x$ 轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，已知 $A B = 6$ ， $k_{1} k_{2} = - 18$ ，求 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2}$ 的值．

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2、综合与实践

背景	某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路 $A C ($ 忽略小路宽度 $)$ 把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域 $(▵ A B C)$ 种植甲种蔬菜，Ⅱ区域 $(▵ A C D)$ 种植乙种蔬菜．
素材一	用测量工具测得： $A B = 6$ 米， $B C = 8$ 米， $C D = 24$ 米， $A D = 26$ 米， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ；
素材二	用 $200$ 元购进甲种菜苗， $1080$ 元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多 $20 %$ ，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的 $4$ 倍多 $200$ 株；
素材三	经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为 $75 %$ ，乙种菜苗成活率为 $95 %$ ．

完成以下任务

(1)、任务一：求四边形空地的面积；

(2)、任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；

(3)、任务三：从成活率看，菜苗实际成本

G = \frac{购 买 某 种 菜 苗 的 费 用}{实 际 成 活 的 菜 苗 株 数}

，比较大小：

G_{甲}

G_{乙} (

填“

>

”“

<

”或“

=

”

)

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3、已知：如图， $P$ 为 $⊙ O$ 外一点， $P A$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A .$ 连接 $O P$ ， $A C / / O P$ ， $B C$ 为 $⊙ O$ 的直径、连接 $P B$ ．

(1)、试判断 $P B$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $\sqrt{6}$ 、 $A C = 4$ ，求 $P B$ 的长．

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4、在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九 $(6)$ 班同学需要翻越一座小山．他们由山脚 $A$ 处出发，先沿坡角为 $42^{\circ}$ 的山坡行走 $300 m$ 到达 $B$ 处，再沿坡角为 $30^{\circ}$ 的山坡行走 $200 m$ 到达山顶 $C$ 处．估计这座小山的高度． $($ 参考数据： $s i n 42^{\circ} \approx 0.67$ 、 $c o s 42^{\circ} \approx 0.74$ ， $t a n 42^{\circ} \approx 0.90$ ，结果保留整数 $)$

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5、在学习 $《$ 特殊平行四边形 $》$ 时，为了让同学们对特殊平行四边形判定方法掌握得更好，王老师画出下面思维导图帮助学生理解记忆．

(1)、在以上思维导图中横线 $① ②$ 上需要补充的条件依次为，；

(2)、对于特殊平行四边形的判定，除添加对角线条件外，还有其它方法，请选择平行四边形、矩形、菱形中的一个，添加除对角线外的条件变成正方形．是正方形； $($ 请将添加的条件填在横线上 $)$

(3)、通过复习，同学们对特殊平行四边形的判定方法有了更深入的理解，请完成下题的证明．
已知：如图， $E$ 、 $F$ 是正方形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 所在直线上的两点，且 $B E = D F$ ．
求证：四边形 $A E C F$ 是菱形．

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6、为了增强学生的交通安全意识，某校对七、八年级学生开展了交通安全知识竞赛活动．以下是本次竞赛成绩 $($ 成绩为百分制且为整数 $)$ 的数据收集、整理、分析过程．
【收集数据】从七、八年级学生中各随机抽取 $30$ 名学生的竞赛成绩进行记录数据．
【整理数据】将收集的 $60$ 名学生的竞赛成绩进行整理 $($ 成绩均不低于 $60$ 分，用 $x$ 表示 $)$ ，将成绩分为四个等级： $A$ 等级 $(90 \leq x \leq 100)$ ； $B$ 等级 $(80 \leq x < 90)$ ； $C$ 等级 $(70 \leq x < 80)$ ； $D$ 等级 $(60 \leq x < 70) .$
下面给出了部分数据：
七年级 $30$ 名学生竞赛成绩的数据是：
$65$ 、 $65$ 、 $69$ 、 $72$ 、 $73$ 、 $74$ 、 $74$ 、 $75$ 、 $75$ 、 $78$ 、 $78$ 、 $79$ 、 $82$ 、 $83$ 、 $84$ ，
$84$ 、 $85$ 、 $85$ 、 $85$ 、 $86$ 、 $87$ 、 $88$ 、 $89$ 、 $93$ 、 $94$ 、 $96$ 、 $97$ 、 $97$ 、 $98$ 、 $100$ ．
八年级 $30$ 名学生竞赛成绩在 $B$ 等级中的数据是：
$89$ 、 $88$ 、 $87$ 、 $87$ 、 $85$ 、 $85$ 、 $83$ 、 $88$ 、 $82$ 、 $83$ ．
【描述数据】根据整理的数据、绘制出如下统计图表：
所抽取学生竞赛成绩得分统计表
统计量年级
七年级
八年级
平均数
$83$
$83$
中位数
$a$
$b$
众数
$c$
$83$
【分析数据】根据以上信息，回答下列问题．

(1)、表格中的 $a =$ ， $b =$ ， $c =$ ；

(2)、根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对交通安全知识掌握得更好？请说明理由； $($ 言之有理即可 $)$

(3)、该校八年级有学生 $600$ 人，请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于 $90$ 分的学生人数．

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7、化简： $\frac{a^{2} - b^{2}}{4 a^{2} + 12 a b} \div \frac{a - b}{a + 3 b}$ ．

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8、计算 $2 s i n 30^{\circ} - {(2026 - π)}^{0} + \sqrt{4} + |- 1|$ ．

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9、如图，已知正六边形 $A B C D E F$ 的中心为 $O$ 、边心距 $O M = \sqrt{3}$ ，分别以 $F$ 、 $C$ 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边 $A B$ ， $D E$ 所围成的阴影部分面积是．

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10、中国古代数学家李冶的 $《$ 测圆海镜 $》$ 是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定， $《$ 测圆海镜 $》$ 是高次幂在上，低次幂在下，如图 $1$ 中的天元式表示多项式 $144 x^{2} + 5184 x + 2488320$ ，则图 $2$ 表示的多项式的二次项系数为．

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11、如图， $A B / / D E$ 、 $B E = F C .$ 请你添加一个条件，使得 $▵ A B C ≌ ▵ D E F$ ．

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12、 $6$ 把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是．

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13、实数 $m$ ， $n$ 在数轴上对应点的位置如图所示．则 $m$ $n ($ 填“ $>$ ”或“ $<$ ” $)$ ．

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14、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0, c < 0)$ 的自变量 $x$ 与函数 $y$ 的部分对应值如下表：

$x$

$- 2$

$0$

$2$

$y$

$0$

$c$

$c$
在下列结论中： $① a > 0$ ； $② 2 a + b = 0$ ； $③$ 当 $x < 1$ 时， $y$ 的值随着 $x$ 值的增大而增大； $④ x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 4$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根．正确结论的个数是( )

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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15、若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式 $2 x - 5 \leq 0$ 的正整数解．则等腰三角形的周长为( )

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $4$ 或 $5$

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16、为比较两种物质的密度，物理兴趣小组选取甲、乙两种物体进行实验探究，得到了甲、乙两种物质的 $m - V$ 图象，如图 $(ρ = \frac{m}{V}, m$ 表示质量， $ρ$ 表示密度， $V$ 表示体积 $)$ ，下列说法正确的是( )

A、当甲乙体积相等时，甲的质量是乙的质量的 $2$ 倍 B、当乙的质量为 $10 g$ 时，体积为 $10 c m^{3}$ C、甲物质的密度小于乙物质的密度 D、甲物质的密度等于乙物质的密度

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17、下列命题为真命题的是( )

A、对顶角相等 B、三角形的一个外角等于它的两个内角之和 C、带根号的数都是无理数 D、一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定

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18、“转化”是一种重要的数学思想，下列选项中用到转化思想的是( )

$①$ $三角形 \{\begin{cases} 锐角三角形 \\ 直角三角形 \\ 钝角三角形 \end{cases}$	$②$
$③ x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 一元二次方程 $↓ x - 3 = 0$ 或 $x - 1 = 0$ 一元一次方程	$④ (a + b) (2 a^{3} - b)$ 多项式 $\times$ 多项式 $= a (2 a^{3} - b) + b (2 a^{3} - b)$ 单项式 $\times$ 多项式 $= a \cdot 2 a^{3} - a \cdot b + b \cdot 2 a^{2} - b \cdot b$ 单项式 $\times$ 单项式

A、

① ② ③

B、

① ② ④

C、

② ③ ④

D、

① ③ ④

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19、食盐的主要成分是 $N a C l$ ，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水的浓度在 $1 % \sim 1.5 %$ 时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入 $1000 m L$ 水，要想烧出味美的汤，可放入盐 $($ $) ($ 水的密度是 $1 g / c m^{3}$ ， $1 m L = 1 c m^{3})$

A、 $6 g$ B、 $12 g$ C、 $18 g$ D、 $25 g$

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20、下列计算正确的是( )

A、 $a^{6} + a^{2} = a^{8}$ B、 ${(a^{6})}^{2} = a^{8}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{6} \cdot a^{2} = a^{8}$

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统计量年级	七年级	八年级
平均数	$83$	$83$
中位数	$a$	$b$
众数	$c$	$83$

$x$		$- 2$	$0$	$2$
$y$		$0$	$c$	$c$