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1、如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是 $B C ， A C$ 的中点，过点A作 $A F ∥ B C$ ，交 $D E$ 的延长线于点F，连接 $B F ， C F$ ．

(1)、求证：四边形 $A B D F$ 是平行四边形；

(2)、若 $B F = F C$ ，判断四边形 $A B D F$ 的形状，并说明理由；

(3)、当 $△ B F C$ 满足什么条件时，四边形 $A B D F$ 是正方形？（直接写出条件即可，不要求证明）

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2、阅读下面内容：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当 $a > 0$ ， $b > 0$ 时， $∵ {(\sqrt{a} - \sqrt{b})}^{2} = a - 2 \sqrt{a b} + b \geq 0$ ， $∴ a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，当且仅当 $a = b$ 时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：

(1)、当 $x > 0$ 时，求 $x + \frac{1}{x}$ 的最小值．

(2)、当 $x > 3$ 时，求当x取何值时 $y = \frac{x^{2} - 6 x + 9}{x - 3} + \frac{4}{x - 3}$ 有最小值?最小值是多少?

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3、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，连接 $O E$ 并延长至点 $F$ ，使 $E F = E O$ ，连接 $B F$ 和 $C F$ ．

(1)、求证：四边形 $O B F C$ 是菱形；

(2)、若 $A B = 4 \sqrt{5}$ ， $A D = 6$ ，求菱形 $O B F C$ 的面积．

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4、如图，A，B两块试验田相距200 $m$ ， C为水源地， $A C = 160 m ， B C = 120 m$ ，为了方便灌溉，现有下面两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C分别沿线段 $C A, C B$ 修筑两条水渠到A，B两块试验田．
乙方案：过点C作 $A B$ 的垂线，垂足为H，先从水源地C沿线段 $C H$ 修筑一条水渠到 $A B$ 所在直线上，再从H分别沿线段 $H A, H B$ 向A，B两块试验田进行修筑．
以上两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短?请通过计算说明．

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5、如图，在正方形 $A B C D$ 中，延长 $B C$ 到点 $E$ ，使 $B E = B D$ ．连接 $A E$ ， $D E$ ．

(1)、求 $∠ C D E$ 的度数；

(2)、若 $A B = 1$ ，求 $A E$ 的长．

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6、如图，木工师傅从一块大正方形木板上裁去面积分别为 $50 c m^{2}$ 和 $48 c m^{2}$ 的两块小正方形木料．

(1)、裁去的两块小正方形木料的边长分别为cm和cm；

(2)、求剩余木料（阴影部分）的面积．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $D E = C E$ ，连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证：△ADE≌△FCE；

(2)、若AB＝2BC，∠F＝36°．求∠B的度数．

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $A B = 13$ ，点D是 $R t △ A B C$ 外一点，连接 $D C, D B$ ，且 $D C = 4, D B = 3$

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求证： $△ B C D$ 是直角三角形．

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9、计算：

(1)、 $2 \sqrt{3} + \sqrt{27} - \sqrt{12}$ ；

(2)、 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{18}} - (2 - \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ ．

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10、若等腰三角形的腰长是10，底边长是16，则底边上的高是.

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11、比较大小：4 $\sqrt{18}$ （填“ $>$ ”“ $<$ ”或“ $=$ ”）．

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12、如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ， $A D = 4$ ， P是 $A D$ 上一个动点， $P E ⊥ A C$ 于E， $P F ⊥ B D$ 于 $F$ ，则 $P E + P F$ 的值为（）

A、2.3 B、2.4 C、2.5 D、2.6

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13、如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面 $x$ 尺，根据题意，列出的正确方程为（）

A、 $x^{2} + 6^{2} = 1 0^{2}$ B、 ${(10 - x)}^{2} + 6^{2} = x^{2}$ C、 $x^{2} + 6^{2} = {(10 - x)}^{2}$ D、 ${(10 - x)}^{2} + x^{2} = 62$

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14、如图，在 $▱ A B C D$ 中，下列结论中错误的是（）

A、当 $A B = B C$ 时， $▱ A B C D$ 是菱形 B、当 $O A = O B$ 时， $▱ A B C D$ 是矩形 C、当 $A C$ 平分 $∠ B A D$ 时， $▱ A B C D$ 是菱形 D、当 $A C = B D$ 时， $▱ A B C D$ 是正方形

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，分别以点A和点C为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线 $M N$ ，交 $A C$ 于点D，连接 $B D$ ．若 $B D = 5$ ，则 $A C$ 的长是（）

A、12 B、10 C、8 D、6

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16、若一个多边形的每个外角的度数是 $40 °$ ，则这个多边形是（）

A、九边形 B、八边形 C、七边形 D、六边形

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17、以下列各组数为三边长的三角形中，能构成直角三角形的是（）

A、1，2，3 B、 $1, 1, \sqrt{2}$ C、6，7，10 D、 $3^{2}, 4^{2}, 5^{2}$

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18、下列各式计算正确的是（）

A、 ${(\sqrt{3})}^{2} = 9$ B、 $\sqrt{{(- 3)}^{2}} = - 3$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8} \div \sqrt{4} = 2$

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19、如图，将平行四边形 $A B C D$ 的一边 $B C$ 延长至点E，若 $∠ D C E = 55 °$ ，则 $∠ B A D$ 度数为（）

A、 $125 °$ B、 $115 °$ C、 $55 °$ D、 $135 °$

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20、一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则它的斜边长为（）

A、 $\sqrt{119}$ B、12 C、13 D、13或 $\sqrt{119}$

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