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1、已知：如图，AC⊥BC，BD⊥AD， AC=BD，求证：AD=BC.

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2、已知等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则该等腰三角形的底角为（　　）

A、75°或15° B、30°或60° C、75° D、30°

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3、如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　）

A、AE＝DF B、∠A＝∠D C、∠B＝∠C D、AB＝DC

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4、如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子的高度AC与右边梯子的水平长度DF相等，两个梯子的倾斜角∠CBA和∠EFD的大小有什么关系？

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5、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，矩形纸片 $O A B C$ 的顶点 $A$ 在 $x$ 轴上，顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，顶点 $B$ 在第一象限内， $A B = 9, B C = 15$ ．现将矩形纸片 $O A B C$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 恰好在 $x$ 轴上，折痕为 $C E$ 过点 $B^{'}$ 作 $B' G$ ∥ $y$ 轴交 $C E$ 于点 $G$ ，抛物线 $y = \frac{1}{16} x^{2} + b x + c$ 经过点 $G$ ，关于 $y$ 轴对称，与 $x$ 轴的正半轴交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $N$ ．

(1)、 $A B^{'}$ 的长为_____， $B E$ 的长为_____，折痕 $C E$ 所在直线的解析式为____；

(2)、求抛物线的函数解析式；

(3)、设以点 $O$ 为圆心， $O G$ 为半径的圆与 $y$ 轴交于点 $T$ ， $R$ （ $T$ 在 $R$ 的上方)，与抛物线除点 $G$ 外的交点为 $H$ ，请求出四边形 $G T H R$ 的面积．

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6、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点是D，过点A的直线与 $D C$ 交于点C．

(1)、求证： $∠ A O D = 2 ∠ A D C$ ．

(2)、若 $C O ⊥ A D$ ，求证： $A C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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7、【综合与实践】如图，小红同学为了测量一栋楼 $A B$ 的高度，在脚下放了一面镜子 $P$ ，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到楼的顶部 $A$ ，且 $A B ⊥ B P, C D ⊥ D P$ ．

(1)、判断 $∠ A P B = ∠ C P D$ 成立吗？请简述理由；

(2)、若小红估计自己的眼睛距地面 $1.6 m$ ，同时量得 $D P = 0.4 m$ ， $B P = 4.5 m$ ，求这栋楼的高 $A B$ ．

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8、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $N$ 为边 $B C$ 上一点，且 $B N = 2 C N$ ，连接 $A N$ 并延长，交 $D C$ 的延长线于点 $P$ ．

(1)、求证： $△ A B N ∽ △ P D A$ ；

(2)、若 $A B = 6$ ，求 $D P$ 的长．

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9、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系 $x O y$ 内， $△ A B C$ 三个顶点的坐标分别为 $A (2, 4) 、 B (1, 1) 、 C (4, 3)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于原点对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出 $△ A B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $90 °$ 后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并写出点 $C_{2}$ 的坐标．

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10、如图， $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 °$ ， $⊙ O$ 截 $△ A B C$ 三条边所得弦长相等，则 $∠ B O C =$ ．

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11、如图，在平面直角坐标系中， $⊙ P$ 与x轴交于点M、N，与y轴相切于点Q，点P的坐标为 $(5, - 3)$ ，则点N的坐标为．

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12、如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象经过平行四边形 $A B C O$ 的顶点 $A$ ，已知 $O C$ 在 $x$ 轴上，若点 $B$ 的坐标是 $(- 1, 4)$ ，平行四边形 $A B C D$ 的面积是4，则实数 $k$ 的值为（）

A、4 B、 $- 4$ C、 $- 8$ D、8

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13、如图，半径为4的 $⊙ O$ 的弦 $A D = B C$ ，且 $A D ⊥ B C$ 于点 $E$ ，连接 $A B$ 、 $A C$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{2}$ D、2

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14、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 内接正 $n$ 边形的一条边，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $n =$ （）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $12$

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15、如图，下列条件不能判定 $△ A D B ∽ △ A B C$ 的是（）

A、 $∠ A B D = ∠ A C B$ B、 $∠ A D B = ∠ A B C$ C、 $A D \cdot B C = A B \cdot D B$ D、 $A B^{2} = A D \cdot A C$

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16、对于反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、图象位于第二、四象限 B、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小 C、图象经过点 $(1, - 5)$ D、若点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 都在图象上，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °, A C = 2, ∠ A C B = 60 °, D$ 为 $A B$ 的延长线上一点， $E$ 为线段 $B C, B D$ 的垂直平分线的交点，连接 $E C, E B, E D$ ．

(1)、如图1， $B C$ 的长为___________．

(2)、如图2，连接 $C D$ ，请判断 $△ C D E$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图3，过点 $B$ 作直线 $B F$ ，使得 $∠ B F D = ∠ B C E$ ， $P$ 为直线 $B F$ 上的一个动点，求 $P E - P D$ 的最大值．

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18、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，点 $E$ 为 $A C$ 边上一点，连接 $B E$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ B E$ ，与 $B E$ 的延长线交于点 $D$ ，与 $B A$ 的延长线交于点 $F$ ．

(1)、 $A B$ 与 $A C$ 的数量关系为___________．

(2)、尺规作图：在 $A B$ 边上截取 $A G = C E$ ，过点 $G$ 作 $G M ⊥ A B$ ，垂足为 $G$ ．

(3)、在（2）的条件下，在 $G M$ 上截取 $G H = A C$ ，连接 $B H$ ，求证： $B H = C F$ ．

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19、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示． $A$ ， $B$ ， $C$ 三点都在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A 、 B 、 C$ 的对应点分别为 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ ；

(2)、点 $B_{1}$ 的坐标为_____________________；

(3)、 $△ A C C_{1}$ 的面积为___________________．

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20、如图，已知点 $A 、 D 、 C 、 E$ 在同一直线上， $A C = D E ， A B = D F ， A B ∥ D F$ ．求证： $∠ B = ∠ F$

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