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1、如图，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{8}{3} x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ， $D$ 点为抛物线上第三象限内一动点，当 $\frac{1}{2} ∠ A C D + ∠ A B C = 90 °$ 时，点 $D$ 的坐标为．

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2、若点 $P (m, - 1)$ 与点 $Q (2, n)$ 关于原点对称，则抛物线 $y = x^{2} + m x + n$ 的顶点坐标为．

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3、已知 $|a - 2| + {(b - 1)}^{2} + \sqrt{6 - c} = 0$ ，则 $\sqrt{a + b + c}$ 的平方根为．

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4、如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图 $2$ ，抛物线上任意一点 $M$ 到焦点 $A$ 的距离 $A M$ 的长，等于点 $M$ 到一条平行于 $x$ 轴的直线 $l$ 的距离 $M N$ 的长．若抛物线的表达式为： $y = \frac{1}{2} x^{2} + 3$ ，那么此抛物线的焦点的坐标为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, \frac{7}{2})$ D、 $(0, \frac{9}{2})$

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5、在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x$ 上有两点 $A (1, y_{1})$ 和 $B (3, y_{2})$ ，则正确的是（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} < y_{2}$ C、 $y_{1} = y_{2}$ D、无法确定 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小

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6、如图，点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 外一点，连接 $A E$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ A E$ 交 $A D, B C$ 分别于点 $F, G$ ． $∠ 2 = 118 °$ ．则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $12 °$ B、 $18 °$ C、 $22 °$ D、 $28 °$

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7、如图， $A B = D B$ ， $∠ A = ∠ D$ ，则下列增加的条件中不能证明 $△ A B E ≌ △ D B C$ 的是（）

A、 $B E = B C$ B、 $A E = D C$ C、 $∠ A B D = ∠ E B C$ D、 $∠ E = ∠ C$

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8、方程 $x^{2} - 3 x = 0$ 的解为（）

A、 $x = 3$ B、 $x = 0$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = 3$

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9、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{2} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(- a)}^{2} = a^{2}$ D、 $\sqrt{a^{2}} = a^{2}$

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10、阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， $x^{2} - 9 > 0$
解： $∵ x^{2} - 9 = (x + 3) (x - 3)$ ， $∴ x^{2} - 9 > 0$ 可化为 $(x + 3) (x - 3) > 0$ ，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有
（1） $\{\begin{matrix} x + 3 > 0 \\ x - 3 > 0 \end{matrix}$ 或（2） $\{\begin{matrix} x + 3 < 0 \\ x - 3 < 0 \end{matrix}$ 解不等式组（1），得 $x > 3$ ，解不等式组（2），得 $x < - 3$ ，
故 $(x + 3) (x - 3) > 0$ 的解集为 $x > 3$ 或 $x < - 3$ ，即一元二次不等式 $x^{2} - 9 > 0$ 的解集为 $x > 3$ 或 $x < - 3$ ．
材料2：对于一个关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ ，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令 $a x^{2} + b x + c = y (a \neq 0)$ ，然后移项可得： $a x^{2} + b x + (c - y) = 0$ ，再利用一元二次方程根的判别式来确定 $y$ 的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求 $x^{2} + 2 x + 5$ 的取值范围：
解：令 $x^{2} + 2 x + 5 = y$ $∴ x^{2} + 2 x + (5 - y) = 0$ $∴ b^{2} - 4 a c = 4 - 4 \times (5 - y) \geq 0$
$∴ y \geq 4$ 即 $x^{2} + 2 x + 5 \geq 4$
解决问题：请根据上述材料，解答下列问题．

(1)、直接写出不等式 $(x + 4) (2 - x) < 0$ 的解集是；

(2)、求出代数式 $\frac{(x^{2} - 4 x + 2)}{(2 x - 1)}$ 的取值范围；

(3)、若关于 $x$ 的代数式 $\frac{2 b x + a}{x^{2} - 2 x + 3}$ （其中 $a$ 、 $b$ 为常数，且 $a b \neq 0$ ）的最小值为 $- 2$ ，最大值为4，请求出满足条件的 $a$ 、 $b$ 的值．

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11、如图1，正方形 $A B C D$ 的边长为2．E、F分别为边 $B C$ 、 $C D$ 上的动点， $△ C E F$ 的周长为4， $G$ 是 $C B$ 延长线上的一点，且 $G B = D F$ ．

(1)、求证： $A G ⊥ A F$ ；

(2)、试问 $∠ E A F$ 的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由；

(3)、如图2，若 $M$ 为边 $B C$ 的中点，过点 $A$ 作 $A H ⊥ E F$ ，垂足为 $H$ ．求 $M H$ 的最小值．

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12、已知关于x的方程 $x^{2} + 2 m x + m^{2} - 2 = 0$ ．

(1)、试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程有一个根为3，求 $m^{2} + 6 m + 2031$ 的值．

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13、已知关于x的方程 $k x^{2} + 2 (k + 2) x + (k - 2) = 0$ 至少有一个整数解．则整数k的值为．

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14、如图所示，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $B D$ 与 $A C$ 交于点 $O$ ，且 $A C = 2 B D$ ， $B O = 2$ ，则菱形的边长为．

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15、我们发现： $\sqrt{12 + 4} = 4$ ， $\sqrt{12 + \sqrt{12 + 4}} = 4$ ， $\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + 4}}} = 4$ …… $\sqrt{12 + \sqrt{12 + \sqrt{12 + \dots + \sqrt{12 + \sqrt{12 + 4}}}}} = 4$ ；一般地，对于正整数a，b，如果满足 $\sqrt{b + \sqrt{b + \sqrt{b + \dots + \sqrt{b + \sqrt{b + a}}}}} = a$ 时，称 $(a, b)$ 为一组完美方根数对．如上面 $(4, 12)$ 是一组完美方根数对，则下面结论正确的是（）

A、 $(5, 20)$ 是完美方根数对 B、 $(9, 91)$ 是完美方根数对 C、若 $(a, 380)$ 是完美方根数对，则 $a = 20$ D、若 $(x, y)$ 是完美方根数对，则点P $(x, y)$ 在函数 $y = x^{2} - x$ 的图象上

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16、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (k + 5) x + 6 + 2 k = 0$ ，下列说法正确的有（）

A、此方程总有两个不相等实数根 B、此方程必有一根是2 C、当 $k$ 为整数时，方程两根均是整数 D、当 $k = - 1$ 时， $x_{1} = x_{2} = 2$

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17、若 $a ， b ， c$ 满足 $a^{2} - 4 b = - 7$ ， $b^{2} - 6 c = - 14$ ， $c^{2} - 2 a = 7$ 则 $a + b + c$ 的值是（　　）

A、5 B、6 C、7 D、8

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18、已知方程 $2 (a - b) x^{2} + (2 b - a b) x + (a b - 2 a) = 0$ 有两个相等实根，则 $\frac{2}{b} - \frac{1}{a}$ 的值为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $10$ D、2

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19、设关于x的方程 $a x^{2} + （ a + 2 ） x + 9 a = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A、 $a ＜ - \frac{2}{11}$ B、 $- \frac{2}{7} ＜ a ＜ \frac{2}{5}$ C、 $a > \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{11} ＜ a ＜ 0$

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20、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，以其三边为边向外作正方形，点 $P$ 是 $A E$ 边上的一个动点，连结 $P C$ 并延长交 $H I$ 于点 $Q$ ，连结 $C G$ ．当 $P Q ⊥ C G$ 时， $P Q$ 的长为（）

A、 $\sqrt{65}$ B、 $\sqrt{70}$ C、 $8$ D、 $10$

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