相关试卷

1、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 在第一象限内的图象交于点C， $C D ⊥ x$ 轴， $\tan ∠ B A O = \frac{1}{2}$ ， $O A = 4 ， O D = 2$ ．

(1)、求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、若点E是反比例函数在第三象限内图象上的点，过点E作 $E F ⊥$ y轴，垂足为点F，连接 $O E 、 A F$ ，如果 $S_{△ B A F} = 4 S_{△ E F O}$ ，求点E的坐标．

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2、图1是电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 $A B$ 可以绕 $O$ 点旋转一定角度，如图2，当眼睛 $E$ 与显示屏顶端 $A$ 在同一水平线上，且望向显示器屏幕中心 $P$ （点 $P$ 是 $A B$ 中点）的视线 $E P$ 与水平线 $E A$ 形成的夹角 $∠ E = 18 °$ 时，观看屏幕最舒适，此时 $A C ⊥ C D$ ， $∠ B C D = 30 °$ ， $∠ A P E = 90 °$ ．已知眼睛 $E$ 与显示屏顶端 $A$ 的水平距离 $A E = 58 cm$ ．

(1)、求液晶显示屏的宽 $A B$ （结果精确到 $1 cm$ ）；

(2)、求显示屏顶端 $A$ 与底座 $C$ 的距离 $A C$ （结果精确到 $1 cm$ ）．
（参考数据： $\sin 18 ° \approx 0.3$ ， $\cos 18 ° \approx 0.95$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

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3、如图，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 经过 $△ A B C$ 的顶点 $C$ ，经过点 $C$ 的切线与 $A B$ 的延长线交于点 $D ， A E ⊥ D C$ 于点 $E, F$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接 $C F, A F$ ．

(1)、求证： $∠ A C E = ∠ A F C$ ．

(2)、若 $A F = 3 \sqrt{2}, B D = 4$ ，求 $C D$ 的长．

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4、2025年1月14日，教育部办公厅印发了《中小学科学教育工作指南》（以下简称《指南》），旨在推动中小学科学教育更加重视激发学生好奇心、想象力、探求欲，培育具备科学家潜质、愿意献身科学研究事业的青少年群体．某校为落实《指南》要求，准备在七年级开设“ $3 D$ 打印”“航模”“机器人”“无人机”共四类科技社团（每名学生必选且仅选一个社团）．为了解学生参加各社团的意向，现随机抽取七年级部分学生进行问卷调查，并对问卷数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：
请根据以上信息，解答下列问题：

(1)、本次调查的样本容量为　　　，并将条形统计图补充完整；（画图后请标注相应的数据）

(2)、若该校七年级共有1000名学生，请估计计划参加“机器人”社团的学生人数；

(3)、请用画树状图或列表法，求甲，乙两同学都没有选择“ $3 D$ 打印”的概率．

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5、按要求计算：

(1)、计算： $|1 - \tan 60 °| + {(3.14 - π)}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{- 1} - 2 \sqrt{3}$ ；

(2)、先化简，再求值 $(\frac{3}{a + 1} - 1) \div \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 1}$ ，其中 $a = 2 - \sqrt{3}$ ．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ，以点 $A$ 为圆心，以任意长为半径画弧，交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $A C$ 于点 $N$ ，再分别以 $M$ 、 $N$ 为圆心，以大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $A P$ 并延长 $A P$ 交 $B C$ 于点 $D$ ．则下列说法：① $A D$ 平分 $∠ B A C$ ；② $∠ A D C = 30 °$ ；③点 $D$ 在 $A B$ 的垂直平分线上；④若 $A N : N C = \sqrt{2} - 1$ ，则 $A M : M B = 3 - 2 \sqrt{2}$ ；⑤ $△ A B C$ 是轴对称图形．其中正确的说法有（填序号）．

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7、如图， $A B ∥ C D$ ，若 $∠ 1 = 65 °$ ， $∠ 2 = 120 °$ ，则 $∠ 3$ 的度数为．

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8、已知 $x - y = 4$ ， $x y = 1$ ，则代数式 $x^{3} y - 2 x^{2} y^{2} + x y^{3}$ 的值为．

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9、式子 $\frac{1}{\sqrt{x - 2}}$ 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是．

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10、学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从 $A$ 处匀速跑向 $B$ 处，乙同学从 $B$ 处匀速跑往 $A$ 处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为 $x$ （秒），甲、乙两人之间的距离为 $y$ （米）， $y$ 与 $x$ 之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　）

A、甲、乙同学的速度和为10米/秒 B、甲、乙同学在8秒时相遇 C、甲同学的速度为5米/秒 D、 $t = \frac{40}{3}$

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11、手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料
类别
彩色纸（张）
细木条（捆）
手工艺品A
5
3
手工艺品B
2
1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（）

A、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 17 \\ 2 x + y = 10 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 3 y = 10 \\ 2 x + y = 17 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 17 \\ 3 x + y = 10 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 3 x + y = 17 \end{array}$

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12、下列命题是真命题的是（　　）

A、五边形有五条对角线 B、相似图形一定是位似图形 C、矩形的对角线互相垂直且相等 D、中位数一定是这组数据中的某一个数

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13、乐高，创立于1932年，公司位于丹麦，全球知名的玩具制造厂商之一．截至2025年，乐高已有93年的发展历史．如图是乐高的一个块状颗粒，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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14、在平面直角坐标系中，将点 $P (5, 6)$ 关于 $x$ 轴对称后，得到对应点 $Q$ 的坐标是（　　）

A、 $(- 5, 6)$ B、 $(5, - 6)$ C、 $(- 6, 5)$ D、 $(6, - 5)$

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15、下列运算正确的是（　　）

A、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$ B、 $x^{2} \cdot x^{5} = x^{10}$ C、 $3 m^{2} + 2 m^{3} = 5 m^{5}$ D、 ${(x - 1)}^{2} = x^{2} - 1$

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16、如图是某市城区2025年12月连续四天的天气预报信息，其中日温差最大的一天是（　　）
12月14日
12月15日
12月16日
12月17日
$- 9 ～ 6 ℃$
晴
$- 11 ～ 11 ℃$
晴
$- 10 ～ 13 ℃$
晴
$- 11 ～ 10 ℃$
多云

A、12月14日 B、12月15日 C、12月16日 D、12月17日

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17、【模型呈现】

(1)、如图1，点A在直线l上，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥l于点C，过点D作DE⊥l于点E，由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D，又∠ACB=∠DEA=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC= ， BC=.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；

(2)、【模型体验】
如图2，在△ABC中，点D为AB上一点，DE=DF=3，∠A=∠EDF=∠B，四边形CEDF的周长为10，△ABC的周长为18.小诚同学发现根据模型可以推理得到△ADE≌△BFD，进而得到AE=BD，AD=BF，那么AB=AE+BF，再根据题目中周长信息就可得AB=；

(3)、【模型拓展】
如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.请猜想线段DE，AD，BE之间的数量关系，并写出证明过程：

(4)、【模型应用】
如图4，已知在矩形ABCD中，AB=14，BC=7，点E在CD边上，且DE=4.P是对角线AC上一动点，Q是边AD上一动点，且满足 $s i n ∠ E P Q = \frac{2}{5} \sqrt{5},$ 当P在AC上运动时，请求线段AQ的最大值，并求出此时线段AP的长度.

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18、代数推理
我们约定：若一个点的纵坐标是横坐标的一半，则称这个点为“减半点”，若一个函数图象上至少存在一个“减半点”，则称该函数为“减半函数”.

(1)、函数 $y = \frac{1}{2} x + 5$ 是“减半函数”吗?如果是，请求出它的一对“减半点”，如果不是，请说明理由；

(2)、求函数 $y = \frac{18}{x}$ 图象上的“减半点”；

(3)、若抛物线G： $y = m x^{2} + (m + 1) x + \frac{1}{4} m$ 图象上存在唯一的“减半点”.
①求抛物线G的解析式；
②若抛物线G向上平移 $\frac{5}{16}$ 个单位长度，得到抛物线H，作直线x=t交抛物线H于点A，作直线x=2t+1交抛物线H于点B，连接AB，若直线AB的“减半点”恰好为线段AB的中点，求t的值.

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19、综合与实践

【问题情境】熙春塔坐落于恩平市恩城街道锦江河畔，是当地标志性古建筑。某校数学实践小组利用所学数学知识测量熙春塔的高度

【实践探究】下面是两个方案及测量数据：

项目	测量熙春塔的高度
方案	方案一：借助太阳光线构成相似三角形.测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.				方案二：利用锐角三角函数.测量：距离CD，仰角α，仰角β.
测量示意图
测量数据	测量项目	第一次	第二次	平均值	测量项目	第一次	第二次	平均值
	CD	1.61m	1.59m	1.6m	β	26.4°	26.6°	26.5°
	ED	1.18m	1.22m	1.2m	α	37.1°	36.9°	37°
	DB	38.9m	39.1m	39m	CD	34.8m	35.2m	35m

【问题解决】

(1)、根据“方案一”的测量数据，直接写出熙春塔AB的高度；

(2)、根据“方案二”的测量数据，求出熙春塔AB的高度；（参考数据：

s i n 3 7^{\circ} \approx 0.60,

cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）

(3)、请对本次实践活动进行评价（一条即可）.

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20、【项目背景】《哪吒之魔童闹海》以传统神话为基底，赋予传统英雄叙事当代个体意识觉醒的新内涵，成为中华文化创造性转化的典范.春节档上映后便火爆出圈，成为唯一一部跻身全球影史票房榜前50的非好莱坞影片，某校学生们要调查观众对电影剧情、表演、画面、音效等方面的满意度.
【数据收集与整理】
他们随机抽取了一些观众进行调查评分（满分10分，A：6分，B：7分，C：8分，D：9分，E：10分），并将调查结果绘制成如图所示的不完整的条形图和扇形图.
请根据图中所给出的信息解答下列问题：

(1)、【数据分析与应用】
补全上面的条形统计图，本次问卷中，众数是 ▲ ；

(2)、某市共有3600名观众观看该影片，请问该市大约有多少人评分达9分及以上.

(3)、此次调查E组中恰好有甲、乙、丙、丁四名女生，同学们要从这四名女生当中抽取两名面对面访问其观影感受，请用树状图或列表法求出正好抽中甲、乙两名女生的概率.

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