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相关试卷

1、

信息1

小刚和小颖两家人分别开车匀速行驶在笔直的高速公路上（如图 $1$ ），小颖家车的速度是 $100$ 千米/时，小刚家车的速度是小颖家车的速度的 $1.2$ 倍，将车看成点，高速公路看成直线，得到图 $2$ 的示意图，甲表示小刚家的车，乙表示小颖家的车．

信息2

某时刻乙车在甲车前方 $20$ 千米，此时小刚看到自己手表，显示的时间如图 $3$ 中表盘所示，时针 $O A$ 和分针 $O B$ 在转动的过程中形成的角是 $∠ A O B (0 ° < ∠ A O B < 180 °)$ ，表带所在直线为 $M N$ ．

根据以上信息回答问题：

(1)、小刚看表时，

∠ A O B

为

°

；

(2)、①经过小时，甲车追上乙车；②甲车刚追上乙车时，此时

∠ A O B

为

°

；

(3)、①在表盘中分针

O B

每分钟转过

°

，时针

O A

每分钟转过

°

；

②从小刚看表时刻开始，到甲车追上乙车时这段时间之内，求经过多少分钟后， $∠ A O B$ 的度数是 $90 °$ ？

(4)、小刚根据时针和分针的启示，做了一个类似的装置（如图

4

），该装置的“表带”所在直线是

M N

，指针

O E

和

O F

在转动过程中保持

∠ E O F = 90 °

，指针

O D

始终平分

∠ F O N

，指针

O F

从图

4

所示位置（

O F

和射线

O N

重合）以每秒

6 °

顺时针开始旋转，经过

t

秒后（

0 < t < 15

），转到图

5

位置时，小刚记下此时

∠ E O D = x °

，继续转动

m

秒（

0 < m < 15

），当

O F

转到图

6

位置时，小刚记下此时

∠ E O D = y °

，请问是否存在某一时刻的

m

值，使

| x - y | = 21

．若存在，求出

m

的值；若不存在，请说明理由．

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2、《庄子∙天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，探究课上，同学们运用此数学思想研究下列问题．“聪慧组”的同学将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，并用数形结合的思想解决下列问题：

(1)、请按照“聪慧组”同学的思路填空：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$ ；
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = 1 - \frac{1}{2^{3}}$ ；
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = 1 -$ ________；
猜想： $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}} = 1 -$ ；

(2)、为了证明“聪慧组”同学得到的结论，“明辨组”的同学采用了以下方法进行证明，请将证明过程补充完整．
设 $S = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}}$
则 $2 S = 2 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}})$
即 $2 S = 2 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{8} + 2 \times \frac{1}{16} + \dots + 2 \times \frac{1}{2^{n}}$
化简得 $2 S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}}$
$② - ①$ 得： $2 S - S = (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}}) - (\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}})$
即 $S =$ ___________；

(3)、通过阅读，你一定学到了多种解决问题的方法．
①请计算 $\frac{1}{2^{21}} + \frac{1}{2^{22}} + \frac{1}{2^{23}} + \dots + \frac{1}{2^{100}}$ 的值．
②请选择“聪慧组”的作图法或“明辨组”的代数法进行计算： $\frac{2}{3} + \frac{2}{3^{2}} + \frac{2}{3^{3}} + \dots + \frac{2}{3^{6}} ．$ （只选一种解法，若选择作图，请标注出各部分图形的面积，下图是边长为 $1$ 的正方形）

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3、如图，长为 $60 c m$ ，宽为 $x$ （ $c m$ ）的大长方形被分割成 $7$ 小块，除阴影 $A$ ， $B$ 外，其余 $5$ 块是形状、大小完全相同的小长方形．其较短一边长为 $y$ （ $c m$ ）．

(1)、从图中可知，这 $5$ 块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是 $c m$ （用含 $y$ 的代数式表示）；

(2)、分别求出阴影 $A$ ， $B$ 的周长（用含 $x$ ， $y$ 的代数式表示）

(3)、当 $y = 5$ 时，求出阴影 $A$ 与阴影 $B$ 的周长差．

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4、2024年2月下旬，我省各地中小学陆续正常开学．开学之际，学生对书包的需求量增加．某班数学兴趣小组对某商场进行调研后了解到如下信息：

信息一	信息二
商场从厂家购进A、B两款书包，其中A款书包7个，B款书包5个，共付款650元，已知每个B款书包的进价比每个A款书包贵10元．	商场将B款书包按信息一中的进价提高 $50 %$ 后标价，实际销售时再打折出售，此时每个B款书包仍可获利 $20 %$ ．

(1)、求每个A款书包和B款书包的进价；

(2)、在信息二中，B款书包实际销售时打多少折出售？

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5、下面是晓彬同学进行整式的加减的过程，请认真阅读并完成相应任务．
$(2 a^{2} b - 5 a b) - 2 (a^{2} b - a b)$
$= 2 a^{2} b - 5 a b - 2 a^{2} b - 2 a b$ 第一步
$= 2 a^{2} b - 2 a^{2} b - 5 a b - 2 a b$ 第二步
$= - 7 a b$ 第三步

(1)、以上步骤第一步是进行，依据是；

(2)、以上步骤第步开始出现错误；

(3)、请你进行正确化简，并求当 $a = 2$ ， $b = - 3$ 时，式子的值．

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6、如图， $∠ A O B = 120 °$ ， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ， $O D$ 平分 $∠ A O C$ ，求 $∠ B O D$ 的度数．

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7、（1）计算： $|- 3| - 5 + {(- 1)}^{2026}$ ；
（2）解方程： $\frac{x + 3}{2} = \frac{2 x + 1}{3}$ ．

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8、若 $a ， b$ 互为相反数， $c ， d$ 互为倒数， $x$ 的绝对值为4，则 $\frac{a + b}{2} - c d + x$ 的值为．

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9、若关于x的方程 $2 x + k = 3$ 的解为 $x = 1$ ，则k的值为．

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10、若向南走3米记作 $+ 3$ 米，则向北走4米记作米．

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11、《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（）

A、 $3 (x - 2) = 2 x - 9$ B、 $\frac{x}{3} + 2 = \frac{x - 9}{2}$ C、 $\frac{x}{3} - 2 = \frac{x + 9}{2}$ D、 $3 (x - 2) - 9 = 2 x$

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12、已知关于 $x$ 的多项式 $- 2 x^{3} + 6 x^{2} + a x^{2} + 9 x - 5$ 的结果不含 $x^{2}$ 项，那么 $a$ 的值是（）

A、 $- 6$ B、6 C、 $- 2$ D、2

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13、将二进制数 ${(101)}_{2}$ 转成十进制数是（）

A、 $6$ B、 $5$ C、 $4$ D、 $3$

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14、如图，数轴上有点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，点 $A$ 、 $B$ 表示的数分别是 $- 14$ ， $10$ ，现以点 $C$ 为折点，将数轴向右对折，若点 $A$ 落在点 $B$ 的右侧且到点 $B$ 的距离为 $6$ ，则 $C$ 点表示的数是（）

A、 $1$ B、 $- 3$ C、 $1$ 或 $- 5$ D、 $1$ 或 $- 4$

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15、下列运用等式的性质，变形正确的是（）

A、若 $x = y$ ，则 $x - 5 = y + 5$ B、若 $a = b$ ，则 $a c = b c$ C、若 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ ，则 $2 a = 3 b$ D、若 $x = y$ ，则 $\frac{x}{2} = \frac{y}{3}$

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16、如图，将直角三角尺的顶点C放在直线EF上．若∠ACE＝49°，则∠BCF的度数是(　　)

A、41° B、49° C、51° D、59°

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17、下列结论不正确的是（）

A、 $\frac{x - y}{2}$ 是单项式 B、单项式 $- \frac{3 π x y}{5}$ 的系数是 $- \frac{3 π}{5}$ C、 $- 3 a^{2} b$ 和 $5 b a^{2}$ 是同类项 D、若 $a b = 12 ，$ 则 $a$ 与 $b$ 是反比例关系

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18、根据科学家估计，地球的年龄大约是 $4500000000$ 年，将数据 $4500000000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $45 \times 10^{7}$ B、 $0.45 \times 10^{6}$ C、 $4.5 \times 1 0^{8}$ D、 $4.5 \times 1 0^{9}$

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19、在2026年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小宸同学对会场进行装饰如图1所示，他在会场的两墙AB、CD之间悬挂一条近似抛物线 $y = a x^{2} - \frac{4}{5} x + 3$ 的彩带，如图2所示，已知墙AB与CD等高，且AB、CD之间的水平距离BD为8米．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、为了使彩带的造型美观，小宸把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M到墙AB距离为3米，使抛物线 $F_{1}$ 的最低点距墙AB的距离为2米，离地面2米，求点M到地面的距离；

(3)、为了尽量避免人的头部接触到彩带，小宸现将M到地面的距离提升为3米，通过适当调整M的位置，使抛物线 $F_{2}$ 对应的二次函数的二次项系数始终为 $\frac{1}{4}$ ，若设点M距墙AB的距离为m米，抛物线 $F_{2}$ 的最低点到地面的距离为n米，当 $2 \leq n \leq \frac{23}{9}$ 时，求m的取值范围．

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20、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，点D在边 $A C$ 上，以 $A D$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $B D$ 的延长线于点E，且 $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(1)、 $∠ C D E =$ ______（写出一个与 $∠ C D E$ 相等的角）；

(2)、判断 $△ B C E$ 的形状，并说明理由；

(3)、若 $C D = 2$ ， $B D = 2 \sqrt{5}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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