相关试卷

1、在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧 $A B$ ， $C$ 是弦 $A B$ 上一点．

(1)、根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段 $A C$ 的垂直平分线 $D E$ ，分别交劣弧 $A B$ 于点 $D$ ，交 $A C$ 于点 $E$ ；
②以点 $D$ 为圆心， $D A$ 长为半径作弧，交劣弧 $A B$ 于点 $F$ （ $F$ ， $A$ 两点不重合），连接 $B F$ ；

(2)、请连接 $D A$ ， $D C$ ， $D F$ ， $D B$ ，引理的结论为： $B C = B F$ ．请你证明此结论．

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2、某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A．制作视力表”、”B．近十年 $G D P$ 调研”、“C．测量旗杆的高度”三个项目供九年级学生选择，每名学生只能选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格．请根据信息解答下列问题：
项目
选择人数
频率
A．制作视力表
$a$
$b$
B．近十年 $G D P$ 调研
$4$
$c$
C．测量旗杆的高度
$20$
$0.5$

(1)、填空： $a =$ ___________， $b =$ ____________， $c =$ _______；

(2)、该校共有 $600$ 名九年级学生，请估计选择“B．近十年 $G D P$ 调研”项目学习的学生人数；

(3)、本次调查中，选择“B．近十年 $G D P$ 调研”项目学习的四人中男女生各有两名，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率．

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3、实数x、y满足 $x^{2} + \sqrt{2} y = 5$ ， $y^{2} + \sqrt{2} x = 5$ ， $x \neq y$ ，则 $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} =$ ．

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4、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $B C = 8$ ．连接 $A C$ ，按下列方法作图；以点C为圆心，适当长为半径画弧．分别交 $C A ， C D$ 于点E，F；分别以点E，F为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点G；连接 $C G$ 交 $A D$ 于点H，则 $S_{△ A C H}$ 的面积是（）

A、 $10$ B、 $12$ C、15 D、 $30$

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5、人体许多特征都是由基因决定的，如人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的一对基因有 $R R ， R r ， r r$ 三种，其中基因为 $R R$ 和 $R r$ 的人能卷舌，基因为 $r r$ 的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因分别是 $R r$ ， $r r$ ，则他们的子女可卷舌的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $(2, - 1)$ ，则 $k$ 的值是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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7、如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表 $100 m$ ，以点 $O$ 为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点 $O$ 处用雷达发现 $A$ ， $B$ 两处鱼群，那么 $A$ ， $B$ 两处鱼群的距离是（）

A、 $5 m$ B、 $100 m$ C、 $500 m$ D、 $300 m$

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8、若式子 $\sqrt{x - 1}$ 在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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9、数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如 $a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a \pm b)}^{2}$ ，那么 $\sqrt{a^{2} \pm 2 a b + b^{2}} = |a \pm b|$ ，如何将双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}}$ 化简．我们可以把 $5 \pm 2 \sqrt{6}$ 转化为 ${(\sqrt{3})}^{2} \pm 2 \sqrt{6} + {(\sqrt{2})}^{2} = {(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}$ 完全平方的形式，因此双重二次根式 $\sqrt{5 \pm 2 \sqrt{6}} = \sqrt{{(\sqrt{3} \pm \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{3} \pm \sqrt{2}$ 得以化简．
材料二：在直角坐标系 $x O y$ 中，对于点 $P (x, y)$ 和 $Q (x, y^{'})$ 给出如下定义：若 $y^{'} = \{\begin{array}{l} y (x \geq 0) \\ - y (x < 0) \end{array}$ 则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点 $(3, 2)$ 的“横负纵变点”为 $(3, 2)$ ，点 $(- 2,5)$ 的“横负纵变点”为 $(- 2, - 5)$ ．请选择合适的材料解决下面的问题：

(1)、点 $(\sqrt{2}, - \sqrt{3})$ 的“横负纵变点”为，点 $(- 3 \sqrt{3}, - 2)$ 的“横负纵变点”为；

(2)、化简： $\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}}$ ；

(3)、已知a为常数 $(1 \leq a \leq 2)$ ，点 $M (- \sqrt{2}, m)$ 是关于x的函数 $y = - {\frac{1}{x}}^{} (\sqrt{a + 2 \sqrt{a - 1}} + \sqrt{a - 2 \sqrt{a - 1}})$ 图像上的一点，点 $M^{'}$ 是点M的“横负纵变点”，求点 $M^{'}$ 的坐标．

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10、某农场要建一个饲养场（矩形 $A B C D$ ），两面靠墙（ $A D$ 位置的墙最大可用长度为 $27$ 米， $A B$ 位置的墙最大可用长度为 $15$ 米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留 $1$ 米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长 $45$ 米．

(1)、若饲养场（矩形 $A B C D$ ）的一边 $C D$ 长为 $8$ 米，则另一边 $B C =$ ___________米．

(2)、若饲养场（矩形 $A B C D$ ）的面积为 $180$ 平方米，求边 $C D$ 的长．

(3)、饲养场的面积能达到 $210$ 平方米吗？若能达到，求出边 $C D$ 的长；若不能达到，请说明理由．

(4)、请直接写出能围成饲养场面积的最大值为___________米² ．

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11、对于代数式 $a x^{2} + b x + c$ ，若存在实数 $n$ ，当 $x = n$ 时，代数式的值也等于 $n$ ，则称 $n$ 为这个代数式的不变值．例如：对于代数式 $x^{2}$ ，当 $x = 0$ 时，代数式等于0；当 $x = 1$ 时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作 $A$ ．特别地，当代数式只有一个不变值时，则 $A = 0$ ．

(1)、代数式 $x^{2} - 12$ 的不变值是______， $A =$ ______．

(2)、说明：代数式 $2 x^{2} - x + 1$ 没有不变值；

(3)、已知代数式 $x^{2} - n x + n$ ，若 $A = 0$ ，求 $n$ 的值．

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12、我们知道 $\sqrt{2}$ 是一个无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来．因为 $1 < \sqrt{2} = 2$ ，所以 $\sqrt{2}$ 的整数部分为1，所以 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分，差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分，即 $\sqrt{2}$ 的小数部分为 $\sqrt{2} - 1$ ．
根据以上方法解答下列问题：

(1)、 $\sqrt{23}$ 的整数部分为______，小数部分为______；

(2)、已知 $2 a - 3$ 的相反数为 $- 3$ ， $\sqrt{15}$ 的整数部分为b， $\sqrt{3}$ 的小数部分为c，求 $a + 2 b + c - \sqrt{3}$ 的立方根．

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13、解方程．

(1)、 $x (x - 3) = 0$

(2)、 $3 x (x - 2) = 2 (x - 1) (x + 1) - 7$

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14、计算：

(1)、 ${(- \sqrt{3})}^{2} - \sqrt{49} + \sqrt{{(- 2)}^{2}}$

(2)、 $\sqrt{18} \div \sqrt{2} + 8 \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{{(2 \sqrt{2} - 3)}^{2}}$

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15、设 $a_{1} = 1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}, a_{2} = 1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}, a_{3} = 1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}, \dots, a_{n} = 1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ ，其中 $n$ 为正整数，则 $\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \sqrt{a_{3}} + \dots + \sqrt{a_{2025}}$ 的值为．

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16、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的最大整数值是．

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17、欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x²+ax＝b²的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程x²+x﹣1＝0的一个正根．如图，一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出AD，BC的中点E，F，再沿过点A的直线折叠使AD落在线段AF上，点D的对应点为点H，折痕为AG，点G在边CD上，连接GH，GF，长度恰好是方程x²+x﹣1＝0的一个正根的线段为（　　）

A、线段BF B、线段DG C、线段CG D、线段GF

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18、已知实数 $a$ 满足 $|2024 - a| + \sqrt{a - 2025} = a$ ，那么 $a - 2024^{2}$ 的值是（　　）

A、 $2025$ B、 $2024$ C、 $2023$ D、 $2022$

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19、已知三角形的两边长分别是 $8$ 和 $6$ ，第三边的长是一元二次方程 $(x - 6) (x - 10) = 0$ 的一个实数根，则该三角形的面积是（　　）

A、 $24$ 或 $2 \sqrt{5}$ B、 $6$ 或 $10$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $8 \sqrt{5}$ 或 $24$

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20、若 $m$ 是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $- m^{3} + 2 m + 2025$ 的值为（　　）

A、 $2024$ B、 $2023$ C、 $2022$ D、 $2021$

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项目	选择人数	频率
A．制作视力表	$a$	$b$
B．近十年 $G D P$ 调研	$4$	$c$
C．测量旗杆的高度	$20$	$0.5$