相关试卷

1、在“勾股定理”一章的学习中，我们体会到了勾股定理应用的广泛性，以及“数形结合”是解决数学问题的一种重要的思想方法．

(1)、【已有认识】 $\sqrt{2}$ 既可以从算术平方根的角度理解，结合勾股定理的知识，也能将其看成是直角边都为1的直角三角形的斜边长，即 $\sqrt{2} = \sqrt{1^{2} + 1^{2}}$ ，由此得到在数轴上寻找 $\sqrt{2}$ 所表示的点的方法，如图1．
【拓展运用】如图2，点 $O$ 、点 $A$ 在数轴上，且 $O A = 2$ ， $A B = 1$ ， $A B ⊥ O A$ 于 $A$ ，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径画弧，交数轴于点 $P$ ，则数轴中点 $P$ 表示的数是．（直接写出答案）

(2)、【已有认识】结合正方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段．
【拓展运用】请在图3正方形网格（每个小正方形的边长为1）内画出顶点在格点的 $△ A B C$ ，其中 $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = \sqrt{10}$ ，并求出 $△ A B C$ 的面积，以及点 $C$ 到 $A B$ 边的距离．

(3)、【已有认识】如图4，结合直角坐标系，我们发现：要求出坐标系中 $A$ 、 $B$ 两点的距离，显然是转化为求 $R t$ △ $A B C$ 的斜边长．下面以求 $D E$ 为例来说明如何解决：
从坐标系中发现： $D (- 1, - 4), E (6, - 2)$ ，
所以 $D F = |6 - (- 1)| = 7, E F = |- 2 - (- 4)| = 2$ ，
所以由勾股定理可得， $D E = \sqrt{7^{2} + 2^{2}} = \sqrt{53}$ ．
【拓展运用】①在图5中，设 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ， $A C ∥ y$ 轴， $B C ∥ x$ 轴， $A C ⊥ B C$ 于点 $C$ ，则 $A C =$ _________， $B C =$ _________，由此得到平面直角坐标系内任意两点间的距离公式， $A B = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ （直接写出答案）
②图4中，平面直角坐标系中有两点 $M (- 3, 4), N (- 6, 1)$ ， $P$ 为 $x$ 轴上任一点，则 $P M + P N$ 的最小值为________；（直接写出答案）
③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 $\sqrt{{(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} + \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y + 1)}^{2}}$ 的最小值为：________．（直接写出答案）

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2、山青林场准备对一块四边形空地 $A B C D$ 进行绿化改造，某中学数学兴趣小组的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据： $A B = 15 m, C D = 8 m, A D = 17 m$ ，从点A修一条垂直 $B C$ 的小路 $A E$ (垂足为点E)， $A E = 12 m$ ，点E恰好是 $B C$ 的中点．

(1)、求 $B C$ 边的长；

(2)、求空地 $A B C D$ 的面积．

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3、在同一直角坐标系中，直线 $y = a x$ 与直线 $y = 2 x + a$ 可能是（）

A、 B、 C、 D、

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4、下列运算正确的是（）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{1} = \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = 6$ D、 $\sqrt{{(- 1)}^{2}} = - 1$

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5、下列各数中，是无理数的是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $0. \dot{3}$ C、 $π$ D、 $\sqrt{9}$

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6、如图1，直线 $D E$ 上有一点O，过点O在直线 $D E$ 上方作射线 $O C$ ．最开始，将直角三角板 $A O B$ 的直角顶点放在O处， $∠ O A B = 30 ° ， ∠ A O C = 40 °$ 一条直角边 $O A$ 在射线 $O D$ 上，另一边 $O B$ 在直线 $D E$ 上方，将直角三角板绕着点O按每秒 $10 °$ 的速度逆时针旋转一周停止，设旋转时间为t秒．

(1)、若射线 $O C$ 的位置保持不变，当 $∠ A O C = 20 °$ 时，求旋转的时间t；

(2)、如图2，在旋转的过程中，若射线 $O C$ 的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线 $O A$ ， $O C$ 与 $O D$ 中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的 t的取值，若不存在，请说明理由；

(3)、在三角板 $A O B$ 旋转过程的同时，射线 $O C$ 绕着点O按每秒 $4 °$ 的速度逆时针旋转，当 $∠ B O E - ∠ A O C = 30 °$ 时，求出t的取值．

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7、如下图， $C$ 为线段 $A B$ 延长线上一点， $D$ 为线段 $B C$ 上一点， $D C = 4 B D$ ．

(1)、若 $A B = 12, B C = 15$ ，求 $A D$ 的长．

(2)、若 $A B = 2 B D,$ $A B + D C = 36$ ， $E$ 是 $A C$ 的中点，求 $B E$ 的长．

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8、作图题：

(1)、如图，平面上有四个点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，根据下列语句画图．
①画直线 $A B$ ；
②作射线 $D C$ ，与直线 $A B$ 交于点 $O$ ；
③连接 $A D$ ；
④找到一点 $P$ ，使 $P$ 到 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四点的距离和最短，
作图的依据是___________．

(2)、用尺规完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，以点 $B$ 为顶点、射线 $B C$ 为一边，作 $∠ E B C$ ，使 $∠ E B C = ∠ A$ ．

(3)、已知：如图， $△ A B C$ 绕某点按一定方向旋转一定角度后得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 分别对应点 $A_{1} ， B_{1} ， C_{1}$ ．
①在图中画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
② $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 是以点___________（填“ $O_{1} $ ”，“ $O_{2} $ ”或“ $O_{3} $ ”）为旋转中心，将 $△ A B C$ ___________时针旋转___________度得到的．

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9、计算：

(1)、 $- 3 \frac{2}{7} - (- 6) + 11 \frac{6}{7} - (+ 5 \frac{3}{7})$ ；

(2)、 $(- 81) \div (- 2 \frac{1}{4}) \times \frac{4}{9} \div (- 8)$ ；

(3)、 ${(- 3)}^{2} \div [2 - (- 7)] + 2 \times (\frac{1}{2} - 1)$ ；

(4)、 ${(- 2)}^{3} \div \frac{4}{5} + 3 \times |1 - {(- 2)}^{2}|$ ．

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10、把下列各数对应的序号填在相应的大括号内．
①2025，② $- 3$ ， ③ $- 15 %$ ， ④ $- \frac{1}{2}$ ， ⑤3.14，⑥0，⑦ $- \frac{3}{4}$ ．

(1)、正数集合：{…．}；

(2)、分数集合：{…．}；

(3)、非负整数集合：{…．}．

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11、如图，在 $∠ A O C$ 中， $∠ A O B$ 是直角， $∠ B O C = 70^{\circ}$ ，射线 $O E$ 平分 $∠ A O C$ ，射线 $O F$ 平分 $∠ B O C$ ，则 $∠ E O F$ 的度数为．

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12、有两根木条，一根 $A B$ 长为 $80 cm$ ，另一根 $C D$ 长为 $130 cm$ ，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离 $M N$ 是（　　）

A、 $105 cm$ B、 $20 cm$ C、 $105 cm$ 或 $25 cm$ D、 $105 cm$ 或 $20 cm$

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13、若 $| x | = 9, | y | = 4$ ，且 $x + y < 0$ ，那么 $x - y$ 的值是（　　）

A、5或13 B、5或 $- 13$ C、 $- 5$ 或13 D、 $- 5$ 或 $- 13$

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14、阅读材料：
“糖水不等式”的证明
小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多．
糖水的甜度取决于糖水浓度（ $糖水浓度 = \frac{糖的质量}{糖水的质量}$ ）．
小聪这杯糖水原来的浓度为 $\frac{b}{a}$ ，添加 $c$ 克糖后，糖水的浓度变成 $\frac{b + c}{a + c}$ ．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a} (a > b > 0, c > 0)$ ．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？
——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料”
基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”．

(1)、【特例验证】假设 $a = 3$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ ，则 $\frac{b + c}{a + c}$ _____ $\frac{b}{a}$ ．（填“ $>$ 、 $<$ 或 $=$ ”）

(2)、【推理论证】证明（1）中，你得到的结论．

(3)、【应用拓展】若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 三边的长，证明： $\frac{c}{a + b} + \frac{b}{a + c} + \frac{a}{b + c} < 2$

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15、对于任意实数 $m$ ， $n$ ，定义一种新运算 $m ※ n = m n - m - n + 2$ ．例如： $2 ※ 6 = 2 \times 6 - 2 - 6 + 2 = 6$ ．请根据上述定义解决以下问题：

(1)、若 $2 ※ x < 4$ ，求实数 $x$ 的取值范围．

(2)、若 $a < 4 ※ x < 7$ ，且 $x$ 的解集中有3个整数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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16、如图， $A B ∥ C D$ ， $B P$ 和 $C P$ 分别平分 $∠ A B C$ 和 $∠ D C B$ ， $A D$ 过点 $P$ ，且与 $A B$ 垂直．

(1)、若 $A D = 8$ ，求点 $P$ 到 $B C$ 的距离；

(2)、直接写出线段 $A B$ 、 $B C$ 、 $C D$ 存在的数量关系．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ．

(1)、尺规作图：作 $∠ B A C$ 的平分线 $A D$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求角平分线 $A D$ 的长．

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18、如图，已知： $A B = A C$ ， $A D = A E$ ．

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、若 $∠ B = 25 °$ ， $∠ B O C = 105 °$ ，求 $∠ A$ 的度数．

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19、解不等式组 $\{\begin{array}{l} 3 x - 2 > 1 \\ \frac{2 x - 1}{3} > x - 2 \end{array}$ ，并把解集在数轴上表示出来．

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20、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $C D = 3$ ， $A D = B D = 8$ ，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连接 $C E$ ．若 $∠ A D E = 2 ∠ C B D$ ，且 $B D$ 平分 $∠ C D E$ ，则 $C E$ 的长为．

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