相关试卷

1、问题背景：
如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，我们把小正方形顶点处的点称为格点。

(1)、问题提出：
若格点△ABC是锐角三角形且面积为3，请在图①中任意画出一个符合要求的格点△ABC。

(2)、问题探究：
若格点△DEF 满足 $D E = \sqrt{10}, D F = \sqrt{5}, E F = \sqrt{13},$ 请在图②中画出一个符合要求的格点△DEF，并计算△DEF 的面积。

(3)、问题解决：
我们将(2)中求解△DEF 面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为 $\sqrt{a^{2} + 25 b^{2}}, \sqrt{9 a^{2} + b^{2}}, 2 \sqrt{a^{2} + 4 b^{2}}$ 且满足a>0，b>0。请利用构图法求这个三角形的面积。

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2、满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 的三个正整数，称为勾股数。

(1)、请把下列三组勾股数补充完整：① ， 8，10；②9，， 15；③9，40，。

(2)、小明发现，很多已经约去公因数的勾股数组中都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成 $m^{2} + n^{2}, m^{2} - n^{2}$ ，如4=2×2×1，5=2²+1² ， 3=2²-1² ，试说明这三个数2mn，m²+n² ， m²-n²是勾股数组。

(3)、如果28，96，100是满足上述小明发现的规律的勾股数组，则m+n=。

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3、阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P的位置。费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法。如图①，我们可以将△BPC 绕点B 顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD=PB，由旋转可得DE=PC，故PA+PB+PC=PA+PD+DE，由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE 的长度相等。
解决问题：如图②，在直角三角形ABC 内部有一动点 P，∠BAC=90°，∠ACB=30°，连接PA，PB，PC，若AB=3，求 PA+PB+PC的最小值。
(注：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半)

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4、如图，在长方形ABCD中，AD=3，AB=5，点E为射线DC 上一动点(不与点D重合)，将△ADE沿AE 折叠得到△AD'E，连接D'B，若△ABD'为直角三角形，则AE=。

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5、“出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创建的，我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取 H得了巨大成就。如图是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形ABCD、BEFG、AHIG均为正方形。若AD=5，EI=7，则正方形AHIG 的面积为。

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6、已知 $x = \sqrt{2} + 1, y = \sqrt{2} - 1,$ 则 $x^{2} - 5 x y +$ $y^{2} + 6 =$ 。

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7、

(1)、思维启迪：
如图①，点 P 是线段AB，CD的中点，则AC与BD 的数量关系为，位置关系为。

(2)、思维探索：
①如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，点D 为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE=CD，连接AE，若BD⊥AE，请用等式表示AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由。
②如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 D为AB的中点，点E在线段 BD上(点E不与点B、点D重合)，连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD。若AF=8，CF=3，请直接写出FD的长。

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8、如图①，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知。
小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：
小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5m，示意图如图①；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6m ，示意图如图②。
小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点 D处(示意图如图③)。

(1)、请你按小明的方案求出旗杆的高度。

(2)、已知小亮举起绳结离杆 6.75 m远，此时绳结离地面多少米？

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9、已知2a+1的算术平方根是2 $\sqrt{b^{2}} = 4$ ，是 $\sqrt{19} - 3$ 的整数部分。

(1)、求a，b，c的值。

(2)、求 4a+b-2c的立方根。

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10、如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AC为对角线，DE⊥AC于点E，AB=8，BC=6，CD= $2 \sqrt{15}, A D = 2 \sqrt{10} 。$ 求线段DE 的长。

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11、计算或解方程：

(1)、 ${(\frac{1}{3})}^{- 1} + \sqrt{{(- 2)}^{2}} - \sqrt[3]{64} 。$

(2)、 $\sqrt{15} \times \frac{3}{5} \sqrt{20} \div (- \frac{1}{3} \sqrt{6}) 。$

(3)、 $9 {(x + 1)}^{2} - 169 = 0 。$

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12、如图，在△ABC 中，∠B=∠C=45°，BC=24，点 D，E都在边BC 上，且BD=CE，若AD=13，则DE 的长为。

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13、如图，在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，点A在数轴上对应的数是1，以点A 为圆心、斜边AC的长为半径画弧，交数轴于点 E，则点 E 表示的实数是。

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14、 $∣ 1 - \sqrt{2} ∣ =$ 。

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15、如图，已知圆柱底面的周长为6 dm，圆柱的高为4d m，在圆柱的侧面上，过点A 和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝周长的最小值为( )

A、10 dm B、15 dm C、20 dm D、25 dm

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16、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=5，BC=3，分别以点A，C为圆心、大于 $\frac{1}{2}$ AC的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线 BE交AD 于点F，交AC于点O，若点O是AC 的中点，则CD的长为( )

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、4

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17、△ABC的三边长a，b，c满足( ${(a - b)}^{2} + \sqrt{2 a - b - 3} + ∣ c - 3 \sqrt{2} ∣ =$ 0，则△ABC是( )

A、等腰直角三角形 B、锐角三角形 C、等边三角形 D、无法确定形状

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18、若 $\sqrt[3]{x - 1} = - 2$ ，则x=( )

A、9 B、-9 C、7 D、-7

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19、如图，在△ABC中，∠C=90°，若AC=1，AB=2，则BC的长是( )

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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20、若 $\sqrt{{(x - 2)}^{2}} = 2 - x,$ 则x的取值范围是( )

A、x=2 B、x≤-2 C、x≤2 D、x≥2

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