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1、我们在学习矩形的性质时发现了：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，若点D是斜边 $A B$ 的中点，则 $C D = \frac{1}{2} A B$ ．在平面直角坐标系中，已知点 $A (a, b)$ 和点 $B (m, n)$ ，则 $A B$ 的中点坐标为 $(\frac{a + m}{2}, \frac{b + n}{2})$ ．

(1)、如图1，请以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，点 $A (0, 6)$ 和点 $B (8, 0)$ ，请以代数推理的方法完成这个定理的证明．

(2)、如图2，已知 $∠ A B C = ∠ A D C = 90 °$ ，点E、F分别为 $A C$ 、 $B D$ 的中点， $A C = 26$ ， $B D = 24$ ．求 $E F$ 的长．

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2、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为 $(5 ， 0)$ ，将 $A O$ 向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段 $B C$ ．连接 $A B$ ， $A C$ ， $O C$ ．

(1)、求点C的坐标和三角形 $A O C$ 的面积；

(2)、在x轴上是否存在一点D，使得三角形 $A B D$ 的面积等于三角形 $A O C$ 面积的一半？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

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3、在平面直角坐标系中，给出如下定义：点 $P$ 到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离的较大值称为点 $P$ 的“长距”，点 $Q$ 到 $x$ 轴、 $y$ 轴的距离相等时，称点 $Q$ 为“完美点”．如：点 $A (- 1, 2)$ 的“长距”为2，点 $B (- 3, 3)$ 称为“完美点”．

(1)、若点 $B (2 a - 3, - 5)$ 是“完美点”，求 $a$ 的值；

(2)、若点 $C (3 b - 2, - 2)$ 的长距为4，且点 $C$ 在第四象限内，点 $D$ 的坐标为 $(- 5, 9 - 2 b)$ ，试说明点 $D$ 是“完美点”．

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4、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，延长 $C B$ 到 $D$ ，使得 $B D = C B$ ，过点 $A$ ， $D$ 分别作 $A E / / B D$ ， $D E / / B A$ ， $A E$ 与 $D E$ 相交于点 $E$ ．下面是两位同学的对话：

(1)、 $B E$ 和 $C D$ 的位置关系是， $C E$ 和 $D E$ 的数量关系是；

(2)、请你选择一位同学的说法，并进行证明．

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5、如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为 $(- 3, - 2)$ ，黑棋的坐标为 $(- 1, 0)$ ．

(1)、请你根据题意，补充原点 $O$ 和 $y$ 轴；

(2)、写出黑棋和白棋④的坐标；

(3)、五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．

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6、

(1)、一个 $n$ 边形的每个外角都相等，如果它的内角与相邻外角的度数之比为 $3 : 1$ ，求 $n$ 的值．

(2)、已知点 $A (2 m, 2)$ 与点 $B (1, - n)$ ，当 $m$ ， $n$ 为何值时，点 $A$ 、 $B$ 关于 $x$ 轴对称．

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7、在边长为3的正方形 $A B C D$ 中， $B E = 2$ ，连接 $C E$ ，将 $△ C B E$ 沿 $C E$ 折叠得到 $△ C G E$ ， $C G$ 交 $B D$ 于点 $M$ ，延长 $C G$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，则点 $G$ 到 $A B$ 的距离是．

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8、在平面直角坐标系中，点 $P$ 在第四象限，且 $P$ 到 $x$ 轴的距离为2，到 $y$ 轴的距离为3，则点 $P$ 的坐标是．

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9、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ，交 $A D$ 于点 $E$ ，若 $B C = 9$ ， $C D = 5$ ，则 $D E$ 的长度为．

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10、在平面直角坐标系中，点 $A (2 a + 1, a - 2)$ 落在 $x$ 轴上，则点 $A$ 的坐标为．

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11、如图， $▱ A B C D$ 的对角线交于点 $O$ ， $M$ ， $N$ 分别是边 $A D$ ， $B C$ 的中点，连接 $A N$ ， $C M$ ．下列结论：①四边形 $A N C M$ 是平行四边形；②若 $A B = A C$ ，则四边形 $A N C M$ 是矩形；③若 $A B ⊥ A C$ ，则四边形 $A N C M$ 是菱形；④若 $A B ⊥ A C$ ， $A B = 6$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，则 $S_{四边形 A N C M} = 8 \sqrt{3}$ ．其中正确的是（）

A、①② B、①②③ C、①④ D、①②③④

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12、如图，在平面直角坐标系中， $∠ A = 90 °$ ， $O A = 4$ ， $O B$ 平分 $∠ A O x$ ，点 $B (a - 1, a - 2)$ 关于 $x$ 轴的对称点是（）

A、 $(- 4, 3)$ B、 $(5, - 2)$ C、 $(4, - 3)$ D、 $(5, - 3)$

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13、小美同学按如下步骤作四边形 $A B C D$ ：（1）画 $∠ M A N$ ；（2）以点 $A$ 为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交 $A M$ ， $A N$ 于点 $B$ ， $D$ ；（3）分别以点 $B$ ， $D$ 为圆心，以 $A B$ 长为半径画弧，两弧交于点 $C$ ；（4）连接 $B C$ ， $C D$ ， $B D$ ．若 $∠ A = 54 °$ ，则 $∠ C B D$ 的度数为（）

A、 $63 °$ B、 $64 °$ C、 $65 °$ D、 $66 °$

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14、把一个四边形截去一个角，剩下的多边形是（）

A、三角形或四边形 B、四边形或五边形 C、三角形或五边形 D、三角形或四边形或五边形

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15、如图，在五边形 $A B C D E$ 中， $A B / / C D$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3$ 的度数为（）

A、 $180 °$ B、 $150 °$ C、 $120 °$ D、 $90 °$

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16、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $A B$ ， $B C$ 的中点，若 $A B = 10$ ， $M N = 3$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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17、如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美，图中正八边形的每个内角度数为（）

A、 $120 °$ B、 $124 °$ C、 $135 °$ D、 $140 °$

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18、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ，添加下列条件后，仍无法判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $A D / / B C$ B、 $A D = B C$ C、 $∠ A D C = ∠ A B C$ D、 $A B = C D$

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19、下列各点位于第二象限的是（）

A、 $(2026, 2025)$ B、 $(- 2026, 2025)$ C、 $(2026, - 2025)$ D、 $(- 2026, - 2025)$

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20、未来将是一个可以预见的AI时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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