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1、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 内接正 $n$ 边形的一条边，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $n =$ （）

A、 $4$ B、 $6$ C、 $8$ D、 $12$

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2、如图，下列条件不能判定 $△ A D B ∽ △ A B C$ 的是（）

A、 $∠ A B D = ∠ A C B$ B、 $∠ A D B = ∠ A B C$ C、 $A D \cdot B C = A B \cdot D B$ D、 $A B^{2} = A D \cdot A C$

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3、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °, A C = 2, ∠ A C B = 60 °, D$ 为 $A B$ 的延长线上一点， $E$ 为线段 $B C, B D$ 的垂直平分线的交点，连接 $E C, E B, E D$ ．

(1)、如图1， $B C$ 的长为___________．

(2)、如图2，连接 $C D$ ，请判断 $△ C D E$ 的形状，并说明理由．

(3)、如图3，过点 $B$ 作直线 $B F$ ，使得 $∠ B F D = ∠ B C E$ ， $P$ 为直线 $B F$ 上的一个动点，求 $P E - P D$ 的最大值．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $∠ A C B = 45 °$ ，点 $E$ 为 $A C$ 边上一点，连接 $B E$ ，过点 $C$ 作 $C D ⊥ B E$ ，与 $B E$ 的延长线交于点 $D$ ，与 $B A$ 的延长线交于点 $F$ ．

(1)、 $A B$ 与 $A C$ 的数量关系为___________．

(2)、尺规作图：在 $A B$ 边上截取 $A G = C E$ ，过点 $G$ 作 $G M ⊥ A B$ ，垂足为 $G$ ．

(3)、在（2）的条件下，在 $G M$ 上截取 $G H = A C$ ，连接 $B H$ ，求证： $B H = C F$ ．

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5、 $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示． $A$ ， $B$ ， $C$ 三点都在格点上．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，点 $A 、 B 、 C$ 的对应点分别为 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$ ；

(2)、点 $B_{1}$ 的坐标为_____________________；

(3)、 $△ A C C_{1}$ 的面积为___________________．

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6、如图，已知点 $A 、 D 、 C 、 E$ 在同一直线上， $A C = D E ， A B = D F ， A B ∥ D F$ ．求证： $∠ B = ∠ F$

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7、如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ 是 $A C$ 的垂直平分线， $A E = 4 cm$ ， $△ A B D$ 的周长为 $23 cm$ ，则 $△ A B C$ 的周长为 $cm$ ．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，且 $A D = C D$ ，若 $∠ C B D = m$ ，则 $∠ A D C$ 一定等于（）

A、 $3 m$ B、 $90 ° + 2 m$ C、 $180 ° - 2 m$ D、 $180 ° - m$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 经过 $△ A B C$ 的重心 $G$ 交 $B C$ 于点 $D$ ，若 $△ A B C$ 的面积为 $16 {cm}^{2}$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $8 {cm}^{2}$ B、 $7 {cm}^{2}$ C、 $6 {cm}^{2}$ D、 $\frac{16}{5} {cm}^{2}$

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10、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，若 $∠ B = 40^{\circ}$ ，则 $∠ C A D =$ （）

A、 $30 °$ B、 $40^{\circ}$ C、 $50^{\circ}$ D、 $100^{\circ}$

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 65 °$ ， $∠ B = 54 °$ ，则 $△ A B C$ 的外角 $∠ A C D$ 的度数是（）

A、 $109 °$ B、 $119 °$ C、 $129 °$ D、 $139 °$

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12、线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点．

(1)、如图1，当AC＝4时，求DE的长．

(2)、如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长．

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13、如图， $A B = 10$ ，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点，点C是线段AB上一动点，则 $M N =$ ．

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14、如图，长方形 $A B C D$ 中，若图中阴影部分的面积分别为 $S_{1} = 6$ ， $S_{2} = 3$ ， $S_{4} = 2$ ，则 $S_{3} =$ ．

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15、如图，已知线段AB=8，点C是线段AB是一动点，点D是线段AC的中点，点E是线段BD的中点，在点C从点A向点B运动的过程中，当点C刚好为线段DE的中点时，线段AC的长为（）

A、3.2 B、4 C、4.2 D、 $\frac{16}{7}$

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16、观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第1个图形除外），则第2025个图形中，黑色正方形共有（）

A、3038个 B、3037个 C、3035个 D、3034个

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17、如图，在三角形 $A B C$ 中， $D$ ， $E$ 是 $A B$ 上的点， $F$ 是 $B C$ 上一点， $G$ ， $H$ 是 $A C$ 上的点， $F D ⊥ A B$ ．连接 $E F$ ， $E H$ ， $E G$ ．有下列三个条件：① $E G ⊥ A B$ ；② $∠ 1 = ∠ 2$ ；③ $E H ∥ B C$ ．

(1)、请从三个条件中任选两个与题干结合作为题设，另一个作为结论．写出所有命题，并判断这些命题是真命题还是假命题；

(2)、请你选择（1）中的一个真命题进行证明．

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18、如图，已知点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，连接 $E C$ 、 $B F$ 交 $A D$ 于点 $G$ 、 $H$ ．有以下三个论断：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ B = ∠ C$ ， ③ $A B ∥ C D$ ．

(1)、请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；

(2)、选择（1）中的一个真命题加以证明．

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19、如图，已知直线 $A B$ 、 $C D$ ，连接 $A D$ ， $B C$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $C D$ 上，连接 $E F$ ．现有以下选项：① $∠ 1 + ∠ 2 = 180 °$ ；② $∠ 3 = ∠ A$ ；③ $A B ∥ C D$ ．

(1)、请你以①②为题设，③为结论，用“如果…那么…”的形式写出这个命题；

(2)、判断（1）中所写命题的真假，若为真命题，则说明理由；若为假命题，则举出反例．

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20、观察下列算式：
算式 $①$ ： ${(2 + 3)}^{2} - 2^{2} = 7 \times 3$ ；
算式 $②$ ： ${(4 + 3)}^{2} - 4^{2} = 11 \times 3$ ；
算式 $③$ ： ${(6 + 3)}^{2} - 6^{2} = 15 \times 3$ ；
$⋯$

(1)、按照以上三个算式的规律，请写出算式 $⑥$ ：；

(2)、上述算式用文字可表述为“比任意一个偶数大 $3$ 的数与此偶数的平方差均能被 $3$ 整除”．若设偶数为 $2 n$ （ $n$ 为正整数），请用含 $n$ 的式子表示这个规律，并证明；

(3)、请直接判断“比任意一个奇数大 $5$ 的数与此奇数的平方差均能被 $5$ 整除”是命题．（填“真”或“假”）

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