四川省宜宾市2025年中考数学试卷

试卷更新日期：2025-06-23 类型：中考真卷

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. $2025$ 的相反数是（）

A、 $- 2025$ B、 $2025$ C、 $\frac{1}{2025}$ D、 $- \frac{1}{2025}$

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2. 下列立体图形是圆柱的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一组数据： $4 ， 5 ， 5 ， 6 ， a$ 的平均数为6，则 $a$ 的值是（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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4. 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x \leq 2 \\ x > 0 \end{array}$ 的解是（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. 下列计算正确的是（）

A、 $m^{3} \div m = m^{2}$ B、 ${(- m n)}^{2} = - m n^{2}$ C、3 $m^{2} - m^{2} = 2$ D、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{6}$

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6. 采采不学办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每一道题，答对得10分．答错或不答扣5分．若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对的题数是（）

A、14道 B、13道 C、12道 D、11道

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，半径 $O C ⊥ A B$ 于点 $D$ ．若 $A B = 8 ， O C = 5$ ．则 $O D$ 的长是（）

A、3 B、2 C、6 D、 $\frac{5}{2}$

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8. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：“今有牛五、羊二，真金十两；牛二、羊五、直金八两，问牛、羊各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两：2头牛、5只羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 8 \\ 2 x + 5 y = 10 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 5 x - 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x - 5 y = 8 \end{array}$

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9. 如图， $O$ 是坐标原点，反比例函数 $y = - \frac{4}{x} (x > 0)$ 与直线 $y = - 2 x$ 交于点 $A$ ，点 $B$ 在 $y = - \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象上，直线 $A B$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ．连结 $O B$ ．若 $A B = 3 A C$ ，则 $O B$ 的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{34}$ D、 $\frac{\sqrt{130}}{2}$

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10. 如图，一张锐角三角形纸片 $A B C$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $A B$ 、 $A C$ 上， $A D = 2 D B$ ，沿 $D E$ 将 $△ A B C$ 剪成面积相等的两部分，则 $\frac{A E}{E C}$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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11. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘}$ ， $A C = 4$ ， $B C = 5$ ，过点 $A$ 作直线 $l ∥ B C$ ，点 $E$ 是直线 $l$ 上一动点，连结 $E C$ ，过点 $E$ 作 $E F ⊥ C E$ ，连结 $C F$ 使 $t a n ∠ E C F = \frac{1}{2}$ ．当 $B F$ 最短时，则 $A E$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、4 C、2 $\sqrt{5}$ D、2 $\sqrt{13}$

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12. 如图， $O$ 是坐标原点，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 C$ 两点，与 $y$ 轴交于 $B$ 点，顶点为 $D$ ，对称轴为 $x = - 2$ ，其中 $A (2 ， 0) ， B (0 ， c)$ ，且 $- 3 < c < - 2$ ．以下结论：① $a b c > 0 ；$ ② $\frac{2}{3} < b < 1$ ；③ $△ A C D$ 是钝角三角形；④若方程 $a x^{2} + (b - 2) x + c = 0$ 的两根为 $x_{1}$ 、 $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则 $- 2 < x_{1} < 4 - 2 \sqrt{7}$ ， $6 < x_{2} < 4 + 2 \sqrt{7}$ ．其中正确结论有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．

13. 分解因式： $a^{2} - a$ $=$ ．

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14. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x} = 0$ 的解为．

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15. 如图，已知 $∠ B A C$ 是 $⊙ O$ 的圆周角， $∠ B A C = 4 0^{∘}$ ，则 $∠ O B C =$ °

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16. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在BC、CD上，且 $E F ∥ B D$ ，把 $△ E C F$ 沿 $E F$ 翻折，点 $C$ 恰好落在矩形对角线 $B D$ 上，M处．若A、 $M$ 、 $E$ 三点共线，则 $\frac{A D}{D C}$ 的值为．

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17. 已知 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $a_{5}$ 是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则a₁+a₂+a₃+a₄+a₅= ．

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 9 0^{。}$ ， BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转 $9 0^{∘}$ 到 $C A_{1}$ ，在射线 $C A$ ₁上取一点D ，连结AD ，使得 $△ A C D$ 面积为24，连结 $B D$ ，则 $B D$ 的最大值是.

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三、解答题：本大题共7个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.

(1)、计算： $\sqrt{4} - 4 s i n 3 0^{∘} + | - \sqrt{3} |$ ；

(2)、计算： $(\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}) \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

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20. 某中学开学之初，为了解七年级新生对学校开展社团活动的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（社团活动的项目有：篮球、乒乓球、舞蹈、象棋、演讲与口才、手工与剪纸，每人必选且只能选一项）.根据调查结果，制成了如下的统计图.
请结合图中信息解答下列问题．

(1)、本次共调查了 ▲ 名学生，其中喜爱舞蹈的学生人数是 ▲ ，并补全条形统计图；

(2)、若七年级新生共有600人，估计有人喜欢乒乓球运动；

(3)、新生中有甲、乙、丙、丁四位同学，篮球基础较好，且喜欢篮球运动.学校篮球队在这四人中选2人加入篮球队，请用列表或画树状图的方法，求同时选中甲乙两人的概率.

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21. 如图，点 $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 边 $C D$ 的中点，连结 $A E$ 并延长交BC的延长线于点 $F ， A D = 5$ ．求证： $△ A D E ≅ △ F C E$ ，并求 $B F$ 的长.

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22. 如图，扇形 $O P N$ 为某运动场内的投掷区， $\overset{⌢}{P N}$ 所在圆的圆心为O、A、B、N、O在同一直线上.直线 $A P$ 与 $\overset{⌢}{P N}$ 所在 $⊙ O$ 相切于点 $P$ ．此时测得 $∠ P A O = 4 5^{∘}$ ；从点 $A$ 处沿 $A O$ 方向前进8.0米到达B处.直线 $B Q$ 与 $\overset{⌢}{P N}$ 所在 $⊙ O$ 相切于点 $Q$ ，此时测得 $∠ Q B O = 6 0^{∘}$ ．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， π \approx 3.14$ ）

(1)、求圆心角 $∠ P O N$ 的度数；

(2)、求 $\overset{⌢}{P N}$ 的弧长（结果精确到0.1米）．

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23. 如图，过原点 $O$ 的直线与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，一次函数 $y = m x + b (m \neq 0)$ 的图象过点A与反比例函数交于另一点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $M$ ，其中 $A (- 2 ， 1) ， C (- 1 ， n)$

(1)、求一次函数 $y = m x + b$ 的表达式，并求 $△ A O M$ 的面积．

(2)、连结 $B C$ ，在直线 $A C$ 上是否存在点 $D$ ，使以 $O$ 、 $A$ 、 $D$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在，求出点 $D$ 坐标；若不存在，请说明理由.

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24. 如图，已知 $A E$ 是 $⊙ O$ 的直径， $D$ 是 $⊙ O$ 上一点，过 $D$ 作直线 $D B$ 与 $A E$ 的延长线交于 $B$ 点，过点 $A$ 作 $A C ⊥ B D$ 于 $C$ 点，连结 $A D$ 、 $D E$ ，且 $∠ A E D = ∠ A D C$ ．

(1)、求证：直线 $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A E = 10$ ， $t a n ∠ C A D = \frac{3}{4}$ ，求 $D E$ 与 $B D$ 的长度；

(3)、在（2）的条件下，若 $F$ 为 $\overset{⌢}{A E}$ 上的一动点，且 $F$ 在直线 $A B$ 上方，连结 $A F 、 D F 、 E F$ ．当四边形 $A D E F$ 面积最大时，求 $D F$ 的长度．

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25. 如图， $O$ 是坐标原点，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，其中 $A (3 ， 0) ， C (0 ， 3)$ ．

(1)、求b、c的值；

(2)、点 $D$ 为抛物线上第一象限内一点，连结 $B D$ ，与直线 $A C$ 交于点 $E$ ，若 $D E ： B E = 1 ： 2$ ，求点D的坐标；

(3)、若 $F$ 为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为 $P (m ， n) (m > 1)$ ，若 $P$ 又在原抛物线上，新抛物线与直线 $x = 1$ 交于点 $N$ ，连结 $F P 、 P N ， ∠ F P N = 12 0^{∘}$ ．探新抛物线与 $x$ 轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．

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