天津市2025年中考数学真题

试卷更新日期：2025-06-25 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 计算 $(- 21) \div (- 7)$ 的结果等于（）

A、-3 B、3 C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 估计 $1 + \sqrt{6}$ 的值在（）

A、1和2之间 B、2和3之间 C、3和4之间 D、4和5之间

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4. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 据2025年5月7日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到31492000人次．将数据31492000用科学记数法表示应为（）

A、 $0.31492 \times 1 0^{8}$ B、 $3.1492 \times 1 0^{7}$ C、 $31.492 \times 1 0^{6}$ D、 $314.92 \times 1 0^{5}$

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6. $t a n 4 5^{°} - \sqrt{2} c o s 4 5^{°}$ 的值等于（）

A、0 B、1 C、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1 - \sqrt{2}$

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7. 若点 $A (- 3, y_{1}), B (1, y_{2}), C (3, y_{3})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{9}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{3} < y_{2} < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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8. 《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马 $x$ 天可以追上慢马，则可以列出的方程为（）

A、 $240 x = 150 (x + 12)$ B、 $240 x = 150 (x - 12)$ C、 $150 x = 240 (x + 12)$ D、 $150 x = 240 (x - 12)$

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9. 计算 $\frac{2}{a^{2} - 1} + \frac{1}{a + 1}$ 的结果等于（）

A、 $\frac{1}{a - 1}$ B、 $\frac{1}{a + 1}$ C、 $\frac{1}{1 - a}$ D、1

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10. 如图，CD是 $△ A B C$ 的角平分线．按以下步骤作图：①以点 $A$ 为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点 $E$ ，与边AC相交于点 $F$ ；②以点 $B$ 为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点 $G$ ；③以点 $G$ 为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 $H$ ；④作射线BH ，与CD相交于点 $M$ ，与边AC相交于点 $N$ ．则下列结论一定正确的是（）

A、 $∠ A B N = ∠ A$ B、 $B N ⊥ A C$ C、 $C M = A D$ D、 $B M = B D$

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，点B ， C的对应点分别为 $B^{^{'}}, C^{^{'}}, B^{^{'}} C^{^{'}}$ 的延长线与边BC相交于点 $D$ ，连接 $C C^{^{'}}$ ．若 $A C = 4, C D = 3$ ，则线段 $C C^{^{'}}$ 的长为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、4 D、 $\frac{24}{5}$

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12. 四边形ABCD中， $A D / / B C, ∠ B = 9 0^{°}, A B = 8 c m, A D = 10 c m, B C = 16 c m$ ．动点 $M$ 从点 $B$ 出发，以 $2 c m / s$ 的速度沿边BA、边AD向终点 $D$ 运动；动点 $N$ 从点 $C$ 同时出发，以 $1 c m / s$ 的速度沿边CB向终点 $B$ 运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 $t s$ ．当 $t = 2 s$ 时，点M ， N的位置如图所示．有下列结论：
①当 $t = 6 s$ 时， $C N = D M$ ；②当 $1 ⩽ t ⩽ 2$ 时， $△ B M N$ 的最大面积为 $26 c m^{2}$ ；③ $t$ 有两个不同的值满足 $△ B M N$ 的面积为39 $c m^{2}$ ．其中，正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．

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14. 计算 $3 x - x - 5 x$ 的结果为．

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15. 计算 $(\sqrt{61} + 1) (\sqrt{61} - 1)$ 的结果为．

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16. 将直线 $y = 3 x - 1$ 向上平移 $m$ 个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则 $m$ 的值可以是（写出一个即可）．

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17. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 2, B C = 3$ ，点 $E$ 在边BC上，且 $E C = 2 B E$ ．
（I）线段AE的长为；
（II） $F$ 为CD的中点， $M$ 为AF的中点， $N$ 为EF上一点，若 $∠ F M N = 7 5^{°}$ ，则线段MN的长为．

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18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P ， A均在格点上．
（I）线段PA的长为 ▲ ；
（II）直线PA与 $△ A B C$ 的外接圆相切于点 $A, A B = B C$ ．点 $M$ 在射线BC上，点 $N$ 在线段BA的延长线上，满足 $C M = 2 A N$ ，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M ， N ，并简要说明点M ， N的位置是如何找到的（不要求证明）．

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三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x ⩽ 2 x + 1, \\ 2 x - 3 ⩾ x - 5 . \end{array} \begin{array}{l} ① \\ ② \end{array}$
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式①，得    ▲        ；
（II）解不等式②，得    ▲        ；
（III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为    ▲         ．

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20. 为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校 $a$ 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（I）填空： $a$ 的值为 ▲ ，图①中 $m$ 的值为 ▲ ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 ▲ 和 ▲ ；
（II）求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数；
（III）根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为多少？

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21. 已知AB与 $⊙ O$ 相切于点 $C, O A = O B, ∠ A O B = 8 0^{°}, O B$ 与 $⊙ O$ 相交于点D ， E为 $⊙ O$ 上一点．
（I）如图①，求 $∠ C E D$ 的大小；
（II）如图②，当 $E C / / O A$ 时，EC与OB相交于点 $F$ ，延长BO与 $⊙ O$ 相交于点 $G$ ，若 $⊙ O$ 的半径为3，求ED和EG的长．

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22. 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑AB的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点 $A, E, C$ 依次在同一条水平直线上， $C D ⊥ A C, E F ⊥ A C$ ，且 $C D = E F = 1.7 m$ ．在 $D$ 处测得世纪钟建筑顶部 $B$ 的仰角为 $2 2^{°}$ ，在 $F$ 处测得世纪钟建筑顶部 $B$ 的仰角为 $3 1^{°}, C E = 32 m$ ．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑AB的高度（结果取整数）．
参考数据： $t a n 2 2^{°} \approx 0.4, t a n 3 1^{°} \approx 0.6$ ．

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23. 已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家．下面图中 $x$ 表示时间， $y$ 表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（I）①填表：
小华离开家的时间 $/ m i n$
1
6
18
50
小华离家的距离 $/ k m$

0.6

②填空：小华从公园返回家的速度为 ▲ $k m / m i n$ ；
③当 $0 ⩽ x ⩽ 30$ 时，请直接写出小华离家的距离 $y$ 关于时间 $x$ 的函数解析式；
（II）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以 $0.05 k m / m i n$ 的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个 $x$ 的值，小华离家的距离为 $y_{1}$ ，小华的妈妈离家的距离为 $y_{2}$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，求 $x$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

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24. 在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，等边 $△ A B C$ 的顶点 $A (0, 2), B (0, - 1)$ ，点 $C$ 在第一象限，等边 $△ E O F$ 的顶点 $E (- \sqrt{3}, 0)$ ，顶点 $F$ 在第二象限．
（I）填空：如图①，点 $F$ 的坐标为 ▲ ，点 $C$ 的坐标为 ▲ ；
（II）将等边 $△ E O F$ 沿水平方向向右平移，得到等边 $△ E^{'} O^{'} F^{'}$ ，点 $E, O, F$ 的对应点分别为 $E', O', F'$ ．设 $O O^{'} = t$ ．
①如图②，若边 $E' F'$ 与边AB相交于点 $G$ ，当 $△ E' O' F'$ 与 $△ A B C$ 重叠部分为四边形 $O O^{^{'}} F^{^{'}} G$ 时，试用含有 $t$ 的式子表示线段GA的长，并直接写出 $t$ 的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为 $S$ ，当 $\frac{3 \sqrt{3}}{4} ⩽ t ⩽ \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）.

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a, b, c$ 为常数， $a < 0, b > 0)$ ．
（I）当 $a = - 1, b = 2, c = 3$ 时，求该抛物线顶点 $P$ 的坐标；
（II）点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ 为抛物线与 $x$ 轴的两个交点，点 $C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点．
①当 $a = - 2$ 时，若点 $D$ 在抛物线上， $∠ C A D = 9 0^{°}, A C = A D$ ，求点 $D$ 的坐标；
②若点 $B (m, 0), ∠ C A B = 2 ∠ A B C$ ，以AC为边的 $▱ A C E F$ 的顶点 $F$ 在抛物线的对称轴 $l$ 上，当 $C E + C F$ 取得最小值为 $2 \sqrt{6}$ 时，求顶点 $E$ 的坐标．

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小华离开家的时间 $/ m i n$	1	6	18	50
小华离家的距离 $/ k m$		0.6