浙江省2025年中考真题数学试卷

试卷更新日期：2025-06-24 类型：中考真卷

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）

1. $\frac{3}{4}$ 的相反数是（）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 如图所示，直线 $a, b$ 被直线 $c$ 所截．若 $a / / b, ∠ 1 = 91^{\circ}$ ，则（）

A、 $∠ 2 = 91^{\circ}$ B、 $∠ 3 = 91^{\circ}$ C、 $∠ 4 = 91^{\circ}$ D、 $∠ 5 = 91^{\circ}$

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3. 国家税务总局发布的数据显示，2024年，现行支持科技创新和制造业发展的主要政策减税降费及退税达26293亿元，助力我国新质生产力加速培育、制造业高质量发展.将数2629300000000用科学记数法表示为（）

A、 $26.293 \times 10^{11}$ B、 $2.6293 \times 10^{12}$ C、 $0.26293 \times 10^{13}$ D、 $2.6293 \times 10^{11}$

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4. 底面是正六边形的直棱柱如图所示，其俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 已知反比例函数 $y = \frac{- 7}{x}$ ．下列选项正确的是（）

A、函数图象在第一、三象限 B、y随x的增大而减小 C、函数图象在第二、四象限 D、y随x的增大而增大

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6. 如图，五边形 $A B C D E, A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} E^{'}$ 是以坐标原点 $O$ 为位似中心的位似图形，已知点 $A, A^{'}$ 的坐标分别为 $(2, 0), (3, 0)$ ．若 $D E$ 的长为 3 ，则 $D^{'} E^{'}$ 的长为（）

A、 $\frac{7}{2}$ B、4 C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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7. 手工社团的同学制作两种手工艺品A和B ，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别彩色纸（张）细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A 有 $x$ 个，手工艺品 $B$ 有 $y$ 个，则 $x$ 和 $y$ 满足的方程组是（）

A、 ${\begin{matrix} 5 x + 3 y = 17, \\ 2 x + y = 10 \end{matrix}$ B、 ${\begin{matrix} 5 x + 3 y = 10 \\ 2 x + y = 17 \end{matrix}$ C、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 17, \\ 3 x + y = 10 \end{matrix}$ D、 ${\begin{matrix} 5 x + 2 y = 10 \\ 3 x + y = 17 \end{matrix}$

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8. 某书店某一天图书的销售情况如图所示.
根据以上信息，下列选项错误的是（）

A、科技类图书销售了60册 B、文艺类图书销售了120册 C、文艺类图书销售占比 $30 %$ D、其他类图书销售占比 $18 %$

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9. 如图，在 Rt $△ A B C$ 中， $∠ A = 35^{\circ}, ∠ A C B = 90^{\circ}, C D$ 是 $A B$ 边上的中线，其中 $A B = 2$ ，以 $C$ 为圆心， $C D$ 为半径画弧交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\overset{⏜}{D E}$ 的长为（）

A、 $\frac{1}{9} π$ B、 $\frac{2}{9} π$ C、 $\frac{11}{36} π$ D、 $\frac{7}{18} π$

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10. 如图 1， $P$ 是直线 $A B$ 上一点， $Q$ 为平面上一点， $P$ 是 $A B$ 上的一个动点，连结 $P Q$ ，设 $A P = x$ ， $P Q^{2} = y, y$ 关于 $x$ 的函数图象如图 2 所示，则下列选项中正确的是（）

A、 $m = 12$ B、 $n = 24$ C、 $y_{c} = 240$ D、过 $(15, 85)$

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二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. $| - 5 | + \sqrt[3]{- 27} =$

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12. 不等式组 ${\begin{matrix} x ⩾ - 2, \\ 2 x - 3 < 5 \end{matrix}$ 的解集是

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13. 无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点 $B$ 处有汽车发生故障．测得 $A$ 处到 $P$ 处的距离为 500 m ，从点 $A$ 观测点 $P$ 的仰角为 $α, \cos α$ $= 0.98$ ，则 $A$ 处到 $B$ 处的距离为

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14. 现有六张分别标有数字 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 的卡片，其中标有数字 $1, 4, 5$ 的卡片在甲手中，标有数字 $2, 3, 6$ 的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是.

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15. 【文化欣赏】
我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方 $(a + b)^{n}$ 腰开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： $(a + b)^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ ．
【应用体验】
已知 $(x + 2)^{4} = x^{4} + m x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ ，则 $m$ 的值为.

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16. 如图，矩形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O, E$ 是 $\overset{⏜}{A D}$ 上一点，连结 $C E$ 交 $A D$ 于点 $G$ ，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ， $A F = 1, E G = F G = 3$ ，则 $⊙ O$ 的直径为.

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三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 化简求值： $x (5 - x) + x^{2} + 3$ ，其中 $x = 2$

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18. 解分式方程： $\frac{3}{x + 1} - \frac{1}{x - 1} = 0$

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19. 【问题背景】
如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板 $A B C D$ 上剪下机翼状纸板（阴影部分），点 $E$ 在对角线 $B D$ 上．
【数学理解】

(1)、该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出 $△ A B E ≅ △ C B E$ 的证明过程．

(2)、若裁剪过程中满足 $D E = D A$ ，求＂机翼角＂ $∠ B A E$ 的度数．

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20. 2024年11月9日是浙江省第31个消防日，为增强师生消防安全意识、提高自救防范能力，某县教育与消防部门共同组织消防知识竞赛.全县九年级共120个班，每班选派10名选手参加，随机抽取其中10个班级，统计其获奖人数，结果如下表.
班级 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
获奖人数 7 8 6 8 6 6 9 7 8 5

(1)、若①班获奖选手的成绩分别为（单位：分）： $83, 91, 83, 90, 83, 88, 91$ ，求该班获奖选手成绩的众数与中位数.

(2)、根据统计信息，估计全县九年级参赛选手获奖的总人数.

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21. 【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
$(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}$
近似计算算术平方根的方法.
例如求 $\sqrt{67}$ 的近似值．
因为 $64 < 67 < 81$ ，
所以 $8 < \sqrt{67} < 9$ ，则 $\sqrt{67}$ 可以设成以下两种形式：
① $\sqrt{67} = 8 + s$ ，其中 $0 < s < 1$ ；
② $\sqrt{67} = 9 - t$ ，其中 $0 < t < 1$ ．
小明以①的形式求 $\sqrt{67}$ 的近似值的过程如图．

(1)、【尝试探究】请用②的形式求 $\sqrt{67}$ 的近似值（结果保留 2 位小数）．

(2)、【比较分析】你认为用哪一种形式得出的 $\sqrt{67}$ 的近似值的精确度更高，请说明理由．

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $O$ 在边 $A B$ 上，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 长为半径的半圆，交 $B C$ 于点 $D$ ，与 $A C$ 相切于点 $E$ ，连接 $O D, O E$ ．

(1)、求证： $O D ⊥ O E$ ．

(2)、若 $A B = B C, O B = \sqrt{3}$ ，求四边形 $O D C E$ 的面积．

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23. 已知抛物线 $y = x^{2} - a x + 5$ （ $a$ 为常数）经过点 $(1, 0)$ ．

(1)、求a的值；

(2)、过点 $A (0, t)$ 与 $x$ 轴平行的直线交抛物线于 $B, C$ 两点，且点 $B$ 为线段 $A C$ 的中点，求 $t$ 的值．

(3)、设 $m < 3 < n$ ，抛物线的一段 $y = x^{2} - a x + 5 (m ⩽ x ⩽ n)$ 夹在两条均与 $x$ 轴平行的直线 $l_{1}, l_{2}$ 之
间．若直线 $l_{1}, l_{2}$ 之间的距离为 16 ，求 $n - m$ 的最大值．

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24. 在菱形 $A B C D$ 中， $A B = 5, A C = 8$ ．

(1)、如图 1，求 $\sin ∠ B A C$ 的值．

(2)、如图 2， $E$ 是 $A D$ 延长线上的一点，连接 $B E$ ，作 $△ F B E$ 与 $△ A B E$ 关于直线 $B E$ 对称， $E F$ 交射线 $A C$ 于点 $P$ ，连接 $B P$ ．
①当 $E F ⊥ A C$ 时，求 $A E$ 的长．
②求 $P A - P B$ 的最小值．

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材料类别	彩色纸（张）	细木条（捆）
手工艺品A	5	3
手工艺品B	2	1

班级	①	②	③	④	⑤	⑥	⑦	⑧	⑨	⑩
获奖人数	7	8	6	8	6	6	9	7	8	5