相关试卷

结合图形，观察下列等式：

${\left(a+b\right)}^1=a+b$；

${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$；

${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$；

${\left(a+b\right)}^4=a^4+4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4$；

……

根据前面各式规律，写出${\left(a+b\right)}^6$的展开式的第4项： ．

（2）在（1）的条件下，如图2，将$△ECD$绕点C顺时针旋转一定的角度$\alpha \left(0°<\alpha <60°\right)$ ， 记$AD$与$BE$交于点F，猜想$\angle AFB$的度数并证明；

（3）如图3，在$△ABC$中，$AB=AC$ ， 过$△ABC$外一点D，作$\angle ADB=\angle ACB$ ， $BD$和边$AC$交于F，连结$CD$ ， 过点A作$AE\perp BD$于E，若$CD=7$ ， $BD=11$ ， $AD=5$ ， 请求出$S_{△ABF}-S_{△CDF}$的值．

请你补全下述证明过程中的条件或依据：

证：∵$DE\perp AB$ ， $DF\perp AC$ ，

∴$\angle BED=\angle CFD=90°$ ，

在$\text{Rt}△DBE$和$\text{Rt}△DCF$中，$BD=CD$ ， ①（___________）$=$（②__________），

∴$\text{Rt}△DBE\text{≌}\text{Rt}△DCF$（③___________），

∴$\angle B=\angle C$ ，

∴$AB=AC$（④___________）．

某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：

已知在四边形$ABCD$中，$AB=AD$ ， $E$ ， $F$分别是直线$BC$ ， $CD$上的点．

（1）如图，若$AB\perp CB$ ， $AD\perp CD$ ， $E$ ， $F$分别在线段$BC$ ， $CD$上，且满足$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$ ， 试探究线段$EF$ ， $BE$ ， $DF$之间的数量关系．

数学小组探究此问题的方法是：延长$CB$到点$G$ ， 使$BG=DF$ ． 连接$AG$ ， 先证$△ABG$与$△ADF$的全等，再证$△AEF$与$△AEG$的全等，可得到$EF$ ， $BE$ ， $DF$之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段$EF$ ， $BE$ ， $FD$之间的数量关系为__________．

（2）如图，若$\angle ABC+\angle ADC=180°$ ， 点$E$ ， 点$F$分别在线段$CB$ ， $DC$的延长线上，且满足$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$ ， 试探究线段$EF$ ， $BE$ ， $DF$之间的数量关系．

数学小组的同学们先猜想线段$EF$ ， $BE$ ， $DF$之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法：

请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明．

（3）如图，若$\angle ABC+\angle ADC=180°$不变，点$E$在$CB$的延长线上，点$F$在$CD$的延长线上，若$EF=BE+DF$ ， 请直接写出$\angle EAF$与$\angle BAD$的数量关系．

（1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．

图1：__________；图2：${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$；图3：__________．

这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知$a+b=3$ ， $ab=1$ ， 求$a^2+b^2$的值．

方法一：从“数”的角度解：

$\because a+b=3$ ，

$\therefore {\left(a+b\right)}^2=9$ ， 即：$a^2+2ab+b^2=9$ ，

又$\because ab=1$ ，

$\therefore a^2+b^2=7$ ．

方法二：从“形”的角度解：

$\because a+b=3$ ，

$\therefore S_{\mathrm{大}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}}=9$ ，

又$\because ab=1$ ，

$\therefore S_2=S_3=ab=1$ ，

$\therefore S_1+S_4=S_{\mathrm{大}\mathrm{正}\mathrm{方}\mathrm{形}}-S_2-S_3=9-1-1=7$ ． 即$a^2+b^2=7$ ．

类比迁移：

（2）若$a+b=5$ ， $ab=6$ ， 则$a^2+b^2=$__________．

（3）若$a$ ， $b$为非负数，$a-b=3$ ， $ab=1$ ， 则$a+b=$__________．

（4）若$\left(5-x\right)\left(x-1\right)=3$ ， 则${\left(5-x\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=$__________．

（5）如图5，点$C$是线段$AB$上的一点，以$AC$ ， $BC$为边向两边作正方形，设$AB=10$ ， 两个正方形的面积和$S_1+S_2=72$ ， 求图中阴影部分面积．