1.1 菱形的性质与判定-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-07-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是（）

A、对角线垂直 B、两组对边分别平行 C、对角线互相平分 D、两组对角分别相等

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2. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线AC、BD的长分别为8cm、6cm，则这个菱形的周长为（）

A、10cm B、14cm C、20cm D、28cm

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3. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, A O = C O, B O = D O$ ．添加下列条件，不能判定四边形 $A B C D$ 是菱形的是（）

A、 $A B = A D$ B、 $A C = B D$ C、 $A C ⊥ B D$ D、 $∠ A B O = ∠ C B O$

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4. 如图，菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，则对角线 $A C$ 的长是（　　）

A、8 B、15 C、10 D、6

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5. 如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（）

A、AB平分∠CAD B、CD平分∠ACB C、AB⊥CD D、AB=CD

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6. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E 、 F$ 分别是 $A B 、 C D$ 上的点，且 $A E = C F, E F$ 与 $A C$ 相交于点O．若 $∠ D A C = 36 °$ ，则 $∠ O B C$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $54 °$ C、 $56 °$ D、 $64 °$

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7. 如图所示，菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，H为 $A D$ 边的中点，菱形 $A B C D$ 的周长为36，则 $O H$ 的长等于（）

A、 $4.5$ B、5 C、6 D、9

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8. 如图，同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的，其中菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以点A为中心（　　）

A、逆时针旋转120°得到 B、逆时针旋转60°得到 C、顺时针旋转120°得到 D、顺时针旋转60°得到

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二、填空题

9. 已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为cm² ．

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10. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点O为对角线 $A C, B D$ 的交点，且在 $△ A O B$ 内， $O A = 12$ ， $O B = 5$ ，则菱形 $A B C D$ 两对边的距离 $h =$ ．

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11. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $O A B C$ 的边长为2，点B在y轴上， $∠ A O C = 60 °$ ，则点B的坐标为．

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12. 如图，已知菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 为 $B C$ 的中点，若 $O E = 3$ ，则菱形的周长为．

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13. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ， $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，则 $D E$ 的长为．

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 、 $F$ 分别是边 $C D$ ， $B C$ 上的动点，连接 $A E$ ， $E F$ ，点 $G$ 、 $H$ 分别为 $A E$ 、 $E F$ 的中点，连接 $G H$ ．若 $∠ B = 45 °$ ， $A B = 4$ ，则 $G H$ 的最小值为．

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三、作图题

15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，连接 $A C$ ．

(1)、请用尺规作出 $A C$ 的垂直平分线，分别交 $A D$ 与 $B C$ 于点 $M$ ， $N$ ；（不写作法，保留作图痕迹）

(2)、求证：四边形 $A M C N$ 是菱形．

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四、解答题

16. 如图，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于 $O$ ， $A B = 5$ ， $A O = 4$ ，求菱形 $A B C D$ 的面积.

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17. 如图，在四边形 ABCD中，AB∥DC ， AB＝AD ，对角线 AC ， BD交于点 O ， AC平分∠BAD ，过点 C作CE⊥AB交 AB的延长线于点 E ．

(1)、求证：四边形 ABCD 是菱形；

(2)、若 $A B = \sqrt{5}$ ， BD＝2，求 BE 的长（直接写出答案）.

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18. 如图所示，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 任作一条直线分别交 $A B$ ， $C D$ 于点 $E$ ， $F$ ．

(1)、求证： $O E = O F$ ；

(2)、连接 $A F$ ， $C E$ 直接写出当 $E F$ 与 $A C$ 满足什么关系时，四边形 $A E C F$ 是菱形？

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19. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，BF交AC于G，连接CF．

(1)、求证：EF＝EB；

(2)、若∠BAC＝90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

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20. 如图，同一平面内三条不同的直线AB ， CD ， MN ， $A B / / C D$ ，直线MN与另外两条直线分别交于点M ， N ，点E ， F分别为AB ， CD上两点，且满足MF平分． $∠ B M N$ ， NE平分 $∠ C N M$ ．

(1)、求证：四边形ENFM为平行四边形；

(2)、若四边形ENFM为菱形，求出 $∠ M N F$ 的大小．

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五、实践探究题

21. 课本再现

思考

我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？

可以发现并证明菱形的一个判定定理；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

定理证明

(1)、为了证明该定理，小明同学画出了图形

(

如图

1)

，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．

已知：在▱ $A B C D$ 中，对角线 $B D ⊥ A C$ ，垂足为 $O$ ．

求证：▱ $A B C D$ 是菱形．

(2)、知识应用

如图 $2$ ，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 和 $B D$ 相交于点 $O$ ， $A D = 5$ ， $A C = 8$ ， $B D = 6$ ．

求证：▱ $A B C D$ 是菱形．

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22. AC是菱形ABCD的对角线，∠B＝60°，AB＝2， ∠EAF=60°，将∠EAF绕顶点A旋转，∠EAF的两边分别与直线 BC，CD交于点E，F，连接EF．

(1)、【感知】如图1，若E，F分别是边BC，CD的中点，则CE+CF＝；

(2)、【探究】如图2，若E是线段BC上任意一点，求CE+CF的长；

(3)、【应用】如图3，若E是BC延长线上一点，且EF⊥BC ，求△AEF的周长．

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六、阅读理解题

23. 阅读下列材料：如图（1），在四边形ABCD中，若AB＝AD ， BC＝CD ，则把这样的四边形称之为筝形．

(1)、写出筝形的两个性质（定义除外）．
①；② ．

(2)、如图（2），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE＝AF ， ∠AEC＝∠AFC ．求证：四边形AECF是筝形．

(3)、如图（3），在筝形ABCD中，AB＝AD＝26，BC＝DC＝25，AC＝17，求筝形ABCD的面积．

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七、综合题

24. .如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - \frac{1}{2} x + 4$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $B$ ， $C$ ，且与直线 $l_{2}$ ： $y = \frac{1}{3} x$ 交于点 $A$ ．

(1)、分别求出点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的坐标．

(2)、若 $D$ 是线段 $O A$ 上的点，且 $△ C O D$ 的面积为 $6$ ，求直线 $C D$ 的函数解析式．

(3)、在 $(2)$ 的条件下，设 $P$ 是射线 $C D$ 上的点，在平面内是否存在点 $Q$ ，使以 $O$ ， $C$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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