1.3 正方形的性质与判定-北师大版(2025)数学九年级上册

试卷更新日期：2025-07-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列说法正确的是（）

A、菱形的四个内角都是直角 B、矩形的对角线互相垂直 C、正方形的每一条对角线平分一组对角 D、平行四边形是轴对称图形

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2. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）

A、邻边相等的矩形是正方形 B、对角线相等的菱形是正方形 C、两个全等的直角三角形构成正方形 D、轴对称图形是正方形

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3. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， E，F分别为边 $A B, B C$ 的中点，连接 $A F, D E$ ，点G，H分别为 $D E, A F$ 的中点，连接 $G H$ ，则 $G H$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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4. 如图，小明用七巧板拼成一个边长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个矩形，则矩形的对角线长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、4 D、 $4 \sqrt{2}$

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5. 如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点M在CD的边上，且DM＝2，△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称，将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF，连接EF，则线段EF的长为（　　）

A、 $\sqrt{34}$ B、 $\sqrt{29}$ C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $A D$ 边上的一个动点，连接 $B E$ ，以 $B E$ 为斜边在正方形 $A B C D$ 内部构造等腰直角三角形 $B E F$ ，连接 $C F$ ．以下结论正确的是（）

A、 $D E = 1.5 C F$ B、 $D E = \sqrt{2} C F$ C、 $D E = \sqrt{3} C F$ D、 $D E = 2 C F$

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7. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A C$ 为对角线，点 $E$ 、 $F$ 分别为边 $B C$ 和 $A B$ 上的点且 $C E = B F$ ，连接 $E F$ ，过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，点 $H$ 为边 $A D$ 上的点，连接 $G H$ 且 $E F = G H$ ，若 $∠ F E B = a$ ，则 $∠ A H G$ 的度数（）

A、 $2 a$ B、 $90 ° + a$ C、 $180 ° - 2 a$ D、 $45 ° + a$

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二、填空题

8. 若一个正方形的面积是12，则它的边长是．

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9. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为3， $E$ 为 $C D$ 边上一点， $D E = 1$ ． $△ A D E$ 绕着点 $A$ 逆时针旋转后与 $△ A B F$ 重合，连结 $E F$ ，则 $E F =$ ．

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10. 平行四边形、菱形、矩形、正方形的关系是：． (请用文字或图形直观表述)

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11. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为对角线 $B D$ 上一点，连接 $A E$ ， $C E$ ， $∠ B C E = 70 °$ ，则 $∠ E A D$ 的度数为．

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12. 如图，边长为3的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $C D$ 边上一点，且 $D E = 1$ ， $M$ 是对角线 $A C$ 上的一个动点，则 $D M + E M$ 的最小值为．

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $D C$ 边上一点，连接 $A E 、 B D$ ，点 $M$ 为 $A E$ 中点，点 $O$ 为 $B D$ 中点，连接 $B M$ ，点 $K$ 为 $B M$ 中点，连接 $K O$ ，若 $A B = 3 \sqrt{5}$ ， $D E = \sqrt{5}$ ，则 $O K =$ ．

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三、作图题

14. 如图，在正方形ABCD中， $B E = C E$ ，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②

(1)、在图①中，画出AD的中点M；

(2)、在图②中，画出CD的中点N.

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15. 如图，已知四边形ABCD是矩形，尺规作图，求作正方形BECF，使得顶点E在矩形ABCD内．

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四、解答题

16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在 $A D$ ， $C D$ 上， $A F ⊥ B E$ ，垂足为 $M$ ．

(1)、求证： $A E = D F$ ；

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长是8， $\frac{A E}{E D} = \frac{1}{3}$ ，点 $N$ 是 $B F$ 的中点，求 $M N$ 的长．

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17. 如图，点E为正方形 $A B C D$ 外一点， $∠ A E B = 90 °$ ，将 $R t △ A B E$ 绕A点逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A D F, D F$ 的延长线交 $B E$ 于H点．
（1）试判定四边形 $A F H E$ 的形状，并说明理由；
（2）已知 $B H = 7, B C = 13$ ，求 $D H$ 的长．

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18. 如图①，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 90 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $E$ 是 $A D$ 的中点，过点 $A$ 作 $B C$ 的平行线交 $B E$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $C F$ .
图1 图2

(1)、求证：四边形 $A D C F$ 是菱形.

(2)、如图②，连接 $C E$ ，若 $∠ F C B = 90 °$ ， $C E = 5$ ，求 $A B$ 的长.

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19. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为8，点E在边 $A D$ 上，点F在边 $D C$ 的延长线上，且 $A E = C F$ ．

(1)、如图1，分别连接 $B E 、 B F 、 E F$ ，则 $△ B E F$ 的形状是________；

(2)、如图2，连接 $E F$ 交对角线 $A C$ 于点M，若 $A E = 2$ ，求 $D M$ 的长；

(3)、如图3，若点G、H分别在 $A B 、 C D$ 上，且 $G H = 4 \sqrt{5}$ ，连接 $E F$ 交 $G H$ 于点O，当 $E F$ 与 $G H$ 的夹角为 $45 °$ 时，求 $A E$ 的长．

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五、综合题

20. 已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC ，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF ，连接CF ．

(1)、如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF ．
②CF＝BC﹣CD ．

(2)、如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；

(3)、如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线AE、DF ，交点为O ，连接OC ，探究△AOC的形状，并说明理由．

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21. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．

(1)、求证：CE＝AD；

(2)、当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

(3)、在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）

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六、实践探究题

22. 【阅读理解】
半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题，
【初步探究】
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E, F$ 分别在边 $B C, C D$ 上，连接 $A E, A F, E F$ ．若 $∠ E A F = 45 °$ ，将 $△ A D F$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $90 °$ ，点 $D$ 与点 $B$ 重合，得到 $△ A B G$ ．易证： $△ A E F ≌ △ A E G$ ．
（1）根据以上信息，填空：
① $∠ E A G =$ _______°；
②线段 $B E 、 E F 、 D F$ 之间满足的数量关系为_______；
【迁移探究】
（2）如图2，在正方形 $A B C D$ 中，若点 $E$ 在射线 $C B$ 上，点 $F$ 在射线 $D C$ 上， $∠ E A F = 45 °$ ，猜想线段 $B E 、 E F 、 D F$ 之间的数量关系，请证明你的结论；
【拓展探索】
（3）如图3，已知正方形 $A B C D$ 的边长为 $3 \sqrt{2}, ∠ E A F = 45 °$ ，连接 $B D$ 分别交 $A E 、 A F$ 于点 $M 、 N$ ，若点 $M$ 恰好为线段 $B D$ 的三等分点，且 $B M < D M$ ，求线段 $M N$ 的长．

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23. 如图①．四边形ABCD与四边形AEFG是共一个顶点的两个大小不同的正方形．

(1)、操作发现：如图②．正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点E落在边AD上时．填空：
①线段BE与IG的数量关系是
②∠ABE与∠ADG的关系是

(2)、猜想与证明：如图③，正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转某一角度α（0<α< 90°）时．猜想（1）中的结论是否成立？并证明你的结论：

(3)、拓展应用：如图④．正方形AEFG绕顶点A逆时针旋转，使点F落在边AD上时，若AB= $2 \sqrt{2}$ ． AF=1，则BE=

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