2.1 认识一元二次方程-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-07-09 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程是（）

A、 $2 a x + x + 1 = 0$ B、 $\frac{1}{x} + x = 0$ C、 $x y + x = 0$ D、 $x^{2} + x = 0$

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2. 若关于x的方程 $(m + 1) x^{2} + m x - 1 = 0$ 是一元二次方程，则m的取值范围是（）

A、 $m \neq - 1$ B、 $m = - 1$ C、 $m \geq - 1$ D、 $m \neq 0$

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3. 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 3) x^{2} + m^{2} x = 9 x + 5$ 化为一般形式后不含一次项，则 $m$ 的值为（）

A、0 B、 $\pm 3$ C、3 D、-3

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4. 若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 中的a，b，c满足 $a + b + c = 0$ ，则方程必有根（）

A、 $x = 0$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x = \pm 1$

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5. 一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（）

A、 $x (x + 1) = 306$ B、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 306$ C、 $x (x - 1) = 306$ D、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 306$

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6. 若m是一元二次方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 的根，则 $4 m - m^{2}$ 的值为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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7. 若关于x的一元二次方程为ax²+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是

A、2018 B、2008 C、2014 D、2012

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8. 关于x的方程（a﹣1）x²＋ $\sqrt{a + 1}$ x＋2=0是一元二次方程，则a的取值范围是( )

A、a≠1 B、a≥－1且a≠1 C、a＞－1且a≠1 D、a≠±1

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二、填空题

9. 一元二次方程x²＋6x＝3x＋2化成一般式为：．

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10. 若一元二次方程 $(a + 1) x^{2} - a x + a^{2} - 1 = 0$ 的一个根为0，则 $a =$ .

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11. 已知m是一元二次方程 $x^{2} - x - 4 = 0$ 的一个根，则代数式 $2 + m - m^{2}$ 的值是

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12. 若方程 $(m + 2) x^{m^{2} - 2} + (m - 1) x - 2 = 0$ 是关于x的一元二次方程，则 $m =$ ．

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13. 关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两根分别为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} = 2 x_{2}$ ，若 $a + b + c = 0$ ，则 $\frac{b}{a} =$ ．

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三、解答题

14. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2} - 4) x^{2} + (m + 2) x + 3 m - 1 = 0$ ．

(1)、当 $m$ 为何值时，该方程是一元二次方程？

(2)、当 $m$ 为何值时，该方程是一元一次方程？

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15. 已知 $m$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的一个根，求代数式 ${(m + 1)}^{2} + (m + 1) (m - 1)$ 的值．

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16. 已知a是方程 $2 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ 的一个根，求代数式 $a (2 a - 7) + 5$ 的值．

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17. 已知关于 $x$ 的方程 $(m^{2} + 2) x^{2} + (m - 1) x - 4 = 3 x^{2}$ ．

(1)、若这个方程是一元二次方程，求 $m$ 的值；

(2)、若 $x = - 2$ 是它的一个根，求 $m$ 的值．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $(a + b) x^{2} - 2 c x + (a - b) = 0$ ，其中a ， b ， c分别为 $△ A B C$ 三边的长.

(1)、如果 $x = 1$ 是方程的一个根，试判断 $△ A B C$ 的形状，并说明理由；

(2)、如果 $△ A B C$ 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

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19. 若a是方程x²﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a²﹣2019a+ $\frac{a^{2} + 1}{2018}$ 的值．

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四、阅读理解题

20. 阅读理解题：
问题：已知方程x²+x﹣1=0，求一个一元二次方程使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y=2x
从而x= $\frac{y}{2}$
把x= $\frac{y}{2}$ 代入已知方程，得：（ $\frac{y}{2}$ ）²+ $\frac{y}{2} - 1 = 0$
整理，得：y²+2y﹣4=0
因此，所求方程为：y²+2y﹣4=0
请你用上述思路解决下列问题：
已知方程x²+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．

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21. 阅读下列材料：
方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 两边同时除以 $x (x \neq 0)$ ，得 $x + 3 - \frac{1}{x} = 0$ ，即 $x - \frac{1}{x} = - 3$ ．因为 ${(x - \frac{1}{x})}^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2$ ，所以 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = {(x - \frac{1}{x})}^{2} + 2 = 11$ ．
根据以上材料解答下列问题：

(1)、已知方程 $x^{2} - 4 x - 1 = 0 (x \neq 0)$ ，则 $x - \frac{1}{x} =$ _____； $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} =$ _____．

(2)、若m是方程 $2 x^{2} - 7 x + 2 = 0$ 的根，求 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}}$ 的值．

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