1.2 矩形的性质与判定-北师大版数学九年级上册

试卷更新日期：2025-07-07 类型：同步测试

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一、选择题

1. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、 $O A ⊥ O B$ B、 $∠ B A C = ∠ A C B$ C、 $O A = O B$ D、 $A D = A B$

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2. 如图， $E 、 F 、 G 、 H$ 分别是四边形 $A B C D$ 四条边的中点，要使四边形 $E F G H$ 为矩形，四边形 $A B C D$ 应具备的条件是（）

A、一组对边平行而另一组对边不平行 B、对角线相等 C、对角线互相垂直 D、对角线互相平分

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3. 在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，下列验证方法错误的是（）

A、 $A D ⊥ D C$ B、 $O A = O B$ C、 $A C = B D$ D、 $O A = A B$

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4. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 5$ ， $A D = 3$ ，点P满足 $S_{△ P A B} = \frac{1}{3} S_{矩形 A B C D}$ ，则点P到A，B两点距离之和 $P A + P B$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{29}$ B、 $\sqrt{34}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{41}$

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5. 如图，将两个矩形叠合放置，如果 $∠ 1 = 115 °$ ，那么 $∠ 2$ 等于（）

A、 $25 °$ B、 $45 °$ C、 $65 °$ D、 $85 °$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B C = 12$ ， $A D ⊥ B C$ 于点D，E为 $A C$ 的中点， $D E = 5$ ，则 $A D =$ （）

A、10 B、8 C、6 D、4

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7. 如图，点F是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点，连结 $B F$ ，作 $B E ⊥ A F$ 于点E，且满足 $B E = A D$ ，则下列结论中① $B E = 2 A E$ ， ② $△ B E F ≌ △ B C F$ ， ③ $S_{△ A B E} = S_{△ F A D}$ ， ④ $∠ A B F = ∠ A F B$ ，正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

8. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）．

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9. 如图，矩形ABCD中， $A B = 3$ ， $B C = 4$ ．以点A为中心，将矩形ABCD旋转得到矩形AB'CD'，使得点B'落在边AD上，此时DB'的长为．

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10. 如图，在矩形ABCD中， $A D = 4$ ， $A B = 6$ ，作AE平分∠BAD ，若连接BF ，则BF的长度为。

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11. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝10，BC＝16，则EF的长为.

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12. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 2$ ，点 $P$ 是 $A B$ 边上的一点（异于 $A$ ， $B$ 两点），过点 $P$ 分别作 $A C$ ， $B C$ 边的垂线，垂足分别为 $M$ ， $N$ ，连接 $M N$ ，则 $M N$ 的最小值是．

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13. 如图，边长为10的菱形 $A B C D$ ，点E是 $A D$ 的中点，点 $O$ 是对角线的交点，矩形 $O E F G$ 的一边在 $A B$ 上，且 $E F = 4$ ，则 $B G$ 的长为．

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三、作图题

14. 在学习了平行四边形与矩形的相关知识后，小明同学进行了关于矩形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意四边形，满足一组对边相等，一组对角是直角，则该四边形是矩形．可利用证明三角形的全等和平行四边形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．

(1)、尺规作图：在四边形 $A B C D$ 中，过点 $A$ 作 $C D$ 的垂线，交 $C D$ 于点 $E$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）所作的图中，连接 $A C$ ，其中 $A B ⊥ B C, A E = B C$ ，求证：四边形 $A B C E$ 是矩形．（请补全下面的证明过程）
证明： $∵ A E ⊥ C D$ ， ①______，
$∴ ∠ A E C = ∠ A B C = 90 °$ ，
$∵ A E = B C$ ， ②______，
∴ $Rt △ A E C ≌ Rt △ C B A (HL)$
$∴$ ③______，
$∴$ 四边形 $A B C E$ 是平行四边形
$∵ ∠ A B C = 90 °$
$∴$ 四边形 $A B C E$ 是矩形．
请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：④____________是矩形．

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四、解答题

15. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $E F$ 垂直平分对角线 $B D$ ， $B G = D H$ ．

(1)、求证：四边形 $E G F H$ 是菱形，

(2)、若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ，求 $B F$ 的长．

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16. 如图，四边形ABCD是矩形，点 $E$ 在CD边上，点 $F$ 在DC延长线上， $A E / / B F$ .

(1)、下列条件：
①点 $E$ 是CD的中点，②BE平分 $∠ A B F$ ；③点 $A$ 与点 $F$ 关于直线BE对称.请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程

(2)、若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长，

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17. 如图，菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} A C$ ，连接 $A E$ ， $C E$ ．

(1)、求证：四边形 $O C E D$ 为矩形；

(2)、若菱形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，求 $A E$ 的长．

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18. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E ，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F ，在AF的延长线上截取FG=BD ，连接BG、DF ．

(1)、求证：BD=DF；

(2)、求证：四边形BDFG为菱形；

(3)、若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

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19. 如图，O为矩形ABCD对角线AC的中点，EF⊥AC于点O ，交AD ， BC于点E ， F ，连接AF ， CE ．

(1)、求证：四边形AECF为菱形；

(2)、若AB=2，BC=4，求AE的长．

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五、实践探究题

20. 【作图与探究】如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6 ， B C = 8$ ．

(1)、用尺规作图法作菱形 $A E C F$ ，使点 $E 、 F$ 分别在 $B C$ 和 $A D$ 边上；

(2)、求 $E F$ 的长度．

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21. 在一堂数学课上，张老师要求同学们在一张长 12 cm 、宽 5 cm 的矩形纸片内折出一个菱形，甲同学很快想了一个办法，他将较短的一条边与较长一边重合，展开后得到四边形 $A B E F$ (见图 1)；乙同学按照取两组对边中点的方法折出四边形 $E F G H$ (见图 2)；丙同学也不甘示弱，他沿矩形的对角线 $A C$ 折出 $∠ C A E = ∠ D A C, ∠ A C F = ∠ A C B$ ，得到四边形 $A E C F$ (见图 3). 请解答下列问题：

(1)、关于甲、乙两位同学的做法描述正确的是____

A、甲、乙都得到菱形 B、甲、乙都没得到菱形 C、只有甲得到菱形 D、只有乙得到菱形

(2)、证明丙同学得到的四边形 $A E C F$ 是菱形.

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六、阅读理解题

22. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.如图（1），已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F.我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”.

(1)、若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是，若四边形ABCD矩形，则其“伴随四边形”是：（在横线上填特殊平行四边形的名称）

(2)、如图（2），若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME，MF之间的数量关系，并说明理由.

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